北师大版数学选修2-1第二单元测试题及答案

数学学科 选修 2-1 第二单元质量检测试题参赛试卷 学校：宝鸡铁一中 命题人： 杨文兵 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.已知向量 a ={1,2,3},b ={3,0,-1}, c ={ 5 1 ,1, 5 3 },有下列结论： ①｜ a + b + c ｜=｜ a - b - c ｜;②( a + b + c )2= a 2+ b 2+ c 2;③( a · b ) c = a ( b · c )； ④( a +b )· c = a ·(b - c ).其中正确的结论的个数有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2.同时垂直于 a =(2,2,1), b =(4,5,3)的单位向量是( ) A.( 3 2,3 2,3 1  ) B.( 3 2,3 2,3 1  ) C.( 3 2,3 1,3 1  ) D.( 3 2,3 2,3 1  )或( 3 2,3 2,3 1  ) 3.已知三点 A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则 a = AB ,b = AC 的夹角为( ) A. 2  B. 3  C. 6  D. 4  4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量 1AC 的个数有（ ） ①( AB + BC )+ 1CC ②( 1AA + 11DA )+ 11CD ③( AB + 1BB )+ 11CB ④( 1AA + 11BA )+ 11CB A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知 a =3i +2 j - k , b =i - j +2 k ,则 5 a 与 3b 的数量积等于（ ） A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 6.已知向量 a =(0,2,1), b =(-1,1,-2),则 a 与b 的夹角为（ ） A.0° B.45° C.90° D.180° 7.以下命题中，正确的命题为（ ） A.| a |-| b |＜| a +b |是 a 、b 不共线的充要条件 B.（ a ·b ）· c =b ·（ a ·b )=(b · c )· a C.向量 a 在向量b 方向上的射影向量的模为| a |·cos〈 a ，b 〉 D.在四面体 ABCD 中，若 AB ·CD =0， AC · BD =0，则 A AD · BC =0 8.若 a =(2,-2,-2), b =(2,0,4),则 sin〈 a ,b 〉等于（ ） A. 15 210 B. 85 69 C. 85 854 D.1 9.已知 a =（λ+1,0,2λ), b =(6,2μ-1,2),若 a ∥b ,则λ与μ的值分别为…（ ） A. 2 1,5 1 B.5，2 C. 2 1,5 1  D.-5，-2 10.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（ ） A. 5 2 B. 5 2 C. 5 3 D. 10 10 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 11.已知 a =(1,2,-2),若|b |=2| a |,且 a ∥b ,则b =______________. 12.已知 a =（cosα,1,sinα), b =(sinα,1,cosα),则向量 a +b 与 a -b 的夹角是_____________________. 13.已知过 O 点长为 1,2,3 的三个向量为 a , b , c ,且 a ·b =b · c = c · a =0,则｜ a +b + c ｜的 值为________. 14.已知{i , j , k }为单位正交基底，且 a =-i + j +3 k , b =2 i -3 j -2 k ，则向量 a +b 与向量 a -2 b 的 坐 标 分 别 是 _________________________________ ， ________________________________. 15.已知 A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若| a |= 3 ，且 a ⊥ AB , a ⊥ AC , 则向量 a 的坐标为___________________________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 60 分) 16.已知 a =(2,4,x), b =(2,y,2)，求| a |=6 且 a ⊥b ，求 x+y 的值. 17.已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD，证明 AD⊥BC.（用向量方法） 18.如右图，棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 为 DD1 中点，O1、O2、O3 分别是 面 A1C1、面 BC1、面 AC 的中心. (1)求证：B1O3⊥PA； (2)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值； 19.如右图，四面体 PABC，PA、PB、PC 两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E 是 AB 的中点， F 是 CE 的中点. (1)写出点 B、C、E、F 的坐标； (2)求 BF 与底面 ABP 所成的角的余弦值. 金台区数学学科 选修 2-1 第二单元质量检测试题参赛试题答案 学校：宝鸡铁一中 命题人： 杨文兵 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.已知向量 a ={1,2,3},b ={3,0,-1}, c ={ 5 1 ,1, 5 3 },有下列结论： ①｜ a + b + c ｜=｜ a - b - c ｜;②( a + b + c )2= a 2+ b 2+ c 2;③( a · b ) c = a ( b · c )； ④( a +b )· c = a ·(b - c ).其中正确的结论的个数有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 答案:A 2.同时垂直于 a =(2,2,1), b =(4,5,3)的单位向量是( ) A.( 3 2,3 2,3 1  ) B.( 3 2,3 2,3 1  ) C.( 3 2,3 1,3 1  ) D.( 3 2,3 2,3 1  )或( 3 2,3 2,3 1  ) 答案:D 3.已知三点 A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则 a = AB ,b = AC 的夹角为( ) A. 2  B. 3  C. 6  D. 4  答案：B 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量 1AC 的个数有（ ） ①( AB + BC )+ 1CC ②( 1AA + 11DA )+ 11CD ③( AB + 1BB )+ 11CB ④( 1AA + 11BA )+ 11CB A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：D 5.已知 a =3i +2 j - k , b =i - j +2 k ,则 5 a 与 3b 的数量积等于（ ） A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 思 路 分 析 ： 设 空 间 向 量 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3), 则 a · b =a1·b1+a2·b2+a3·b3, 把 5 a =(15,10,-5),3b =(3,-3,6)代入上式即可. 答案：A 6.已知向量 a =(0,2,1), b =(-1,1,-2),则 a 与b 的夹角为（ ） A.0° B.45° C.90° D.180° 思路分析：设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3)，则 cos〈 a ,b 〉= 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 2 1 332211 bbbaaa bababa   ,把 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3)代入上式即可求 得 cos〈 a ,b 〉，从而得出 a 与b 的夹角. 答案：C 7.以下命题中，正确的命题为（ ） A.| a |-| b |＜| a +b |是 a 、b 不共线的充要条件 B.（ a ·b ）· c =b ·（ a ·b )=(b · c )· a C.向量 a 在向量b 方向上的射影向量的模为| a |·cos〈 a ，b 〉 D.在四面体 ABCD 中，若 AB ·CD =0， AC · BD =0，则 A AD · BC =0 答案：D 8.若 a =(2,-2,-2), b =(2,0,4),则 sin〈 a ,b 〉等于（ ） A. 15 210 B. 85 69 C. 85 854 D.1 答案：A 9.已知 a =（λ+1,0,2λ), b =(6,2μ-1,2),若 a ∥b ,则λ与μ的值分别为…（ ） A. 2 1,5 1 B.5，2 C. 2 1,5 1  D.-5，-2 思路分析： a ∥ b ，则存在 m∈R，使得 a =m b .又 a =(λ+1,0,2λ), b =(6,2μ-1,2),则有       .22 ),12(0 ,61 m m m    可得        .2 1 ,5 1   答案：A 10.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（ ） A. 5 2 B. 5 2 C. 5 3 D. 10 10 思路分析：建立空间直角坐标系 D1—A1C1D（图略），则易知 AM =（0， 2 1 ，-1），CN = （1，0， 2 1 ），代入向量的夹角公式，可求得 cos〈 AM ， CN 〉= 5 2 . 答案：B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 11.已知 a =(1,2,-2),若|b |=2| a |,且 a ∥b ,则b =______________. 答案：(2,4,-4)或（-2，-4，4） 12.已知 a =（cosα,1,sinα), b =(sinα,1,cosα),则向量 a +b 与 a -b 的夹角是_____________________. 答案：90° 13.已知过 O 点长为 1,2,3 的三个向量为 a , b , c ,且 a ·b =b · c = c · a =0,则｜ a +b + c ｜的 值为________. 答案: 14 14.已知{i , j , k }为单位正交基底，且 a =-i + j +3 k , b =2 i -3 j -2 k ，则向量 a +b 与向量 a -2 b 的 坐 标 分 别 是 _________________________________ ， ________________________________. 答案：（1,-2,1），（-5,7,7） 15.已知 A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若| a |= 3 ，且 a ⊥ AB , a ⊥ AC , 则向量 a 的坐标为___________________________. 思路分析：设 a =(x,y,z),又 AB =(-2,-1,3), AC =(1,-3,2),则由| a |= 3 , a ⊥ AB , a ⊥ AC , 可解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1. 答案：（1，1，1）或（-1，-1，-1） 三、解答题(本大题共 4 小题,共 60 分) 16.已知 a =(2,4,x), b =(2,y,2)，求| a |=6 且 a ⊥b ，求 x+y 的值. 思路分析：本题只需代入向量的模的公式及向量垂直的条件，解方程组即可. 解：由| a |=6，得 22+42+x2=36， ① 又 a ⊥b  a ·b =0，即 4+4y+2x=0， ② 由①②,有 x=4,y=-3 或 x=-4,y=1.∴x+y=1 或-3. 17.已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD，证明 AD⊥BC. 证明：令 AB = a , AC = b , AD = c , ∵AB⊥CD,∴ AB ·CD =0, 即 AB ·( AD - AC )=0. ∴ a · c - a ·b =0,即 a · c = a ·b ∵AC⊥BD,∴ AC · BD =0,即 AC ( AD - AB )=0. ∴b · c -b · a =0,即b · c = a ·b ∴ a · c =b · c .∴ c ·(b - a )=0, 即 AD ·( AC - AB )=0.∴ AD · BC =0.∴AD⊥BC. 18.如右图，棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 为 DD1 中点，O1、O2、O3 分别是 面 A1C1、面 BC1、面 AC 的中心. (1)求证：B1O3⊥PA； (2)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值； 答案：(1)证明：以 D 为坐标原点，DA、DB、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如右 图所示空间直角坐标系 D—xyz. 则 A(1,0,0),B1(1,1,1),P(0,0, 2 1 ),O3( 2 1 , 2 1 ,0)， ∴ 31QB =(- 2 1 ,- 2 1 ,-1),PA=(1,0,- 2 1 ). ∴ 31QB · PA PA=- 2 1 ×1- 2 1 ×0-1×(- 2 1 )=0. ∴ 31QB ⊥ PA .∴B1O3⊥PA. (2)解：∵O1( 2 1 , 2 1 ,1),O2( 2 1 ,1, 2 1 ), ∴ 21OO =(0, 2 1 ,- 2 1 ).又 3PO =( 2 1 , 2 1 , 2 1 ), 设 3PO 与 21OO 夹角为θ, ∴cosθ= |||| 213 213 OOPO OOPO  = 3 6 2 2 2 3 2 1 4 1 4 104 1 4 1 4 1 )2 1(2 1 2 1 2 102 1      . ∴异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值为 3 6 . 19.如右图，四面体 PABC，PA、PB、PC 两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E 是 AB 的中点， F 是 CE 的中点. (1)写出点 B、C、E、F 的坐标； (2)求 BF 与底面 ABP 所成的角的余弦值. 解：(1)如右图，以 PA 为 x 轴，PB 为 y 轴，PC 为 z 轴，P 为原点建立空间直角坐标系， 则 B 点坐标为(0,2,0)，C 点坐标为(0,0,4),A 点坐标为(2,0,0). ∵E 为 AB 中点， ∴E(1,1,0). ∵F 为 CE 中点，∴F( 2 1 , 2 1 2). (2)设 G 为 PE 中点，则 G( 2 1 , 2 1 ,0). ∵PA、PB、PC 两两互相垂直，∴PC⊥面 ABP. ∵F、G 分别为 CE、PE 中点，∴FG∥PC. ∴FG⊥面 ABP. 故∠FBG 为 BF 与面 ABP 所成的角. ∴∠FBG=〈 BF , BG 〉, BF =( 2 1 , 2 3 ,2), BG =( 2 1 ,- 2 3 ,0). ∴cos〈 BF , BG 〉= |||| BGBF BGBF  = 2 65 2 5 = 13 65 .