2009-2010学年度杭州第十四中学高二年级下学期期末考试（文）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
一、选择题
1． 2
1 2
i
i
的值是
A． 4
5 i B． 4 3
5 5 i C．i D． i
2．当 2 13 m 时，复数 3 2m i i 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ,x y R ，且满足 3 2x y ，则 3 27 1x y 的最小值是
A． 33 9 B．1 2 2 C．6 D．7
4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角
5．数列 1 ，3， 7 ，15，（ ），63，…，括号中的数字应为
A．33 B． 31 C． 27 D． 57
6．“因对数函数 logay x 是增函数（大前提），而 1
3
logy x 是对数函数（小前提），所以 1
3
logy x
是增函数（结论）．”上面的推理的错误是
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
7．设 2P ， 7 3Q ， 6 2R ，则 P，Q，R 的大小顺序是
A． P Q R B． P R Q C．Q P R D． Q R P
8．已知点列如下： 1 1,1P ， 2 1,2P ， 3 2,1P ， 4 1,3P ， 5 2,2P ， 6 3,1P ， 7 1,4P ， 8 2,3P ，
9 3,2P ， 10 4,1P ， 11 1,5P ， 12 2,4P ，……，则 60P 的坐标为
A． 3,8 B． 4,7 C． 4,8 D． 5,7
9．设 a b c ， n N ，且 1 1 n
a b b c a c
恒成立，则 n 的最大值是
A．2 B．3 C．4 D．6
10．一位同学画出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……．如果将此
若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的●的个数是
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题（本大题有 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．）
11．若 0a b ， 0m ， 0n ，则 a
b
， b
a
， b m
a m
， a n
b n
按由小到大的顺序排列为 ．
12．设 10 10 10 11
1 1 1 1
2 2 1 2 2 2 1A ，则 A 与 1 的大小关系是 ．
13．函数 2
123f x x x
（ 0x ）的最小值为 ．
14．如果关于 x 的不等式 4 5x x b 的解集为空集，则实数 b 的取值范围为 ．
15．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对边的边长分别为 a，b，c，其外接圆的半径为 5 6
36
，则
2 2 2
2 2 2
1 1 1
sin sin sina b c A B C
的最小值为 ．
16．已知 1 1 11 2 3f n n
（ n N ），经计算得 32 2f ， 4 2f ， 58 2f ， 16 3f ，
732 2f ，推测当 2n 时，有不等式 成立．
17．在等差数列 na 中，若 10 0a ，则有等式 1 2 1 2 19n na a a a a a （ 19n ， n N ）
成立．类比上述性质，相应地，在等比数列 nb 中，若 9 1b ，则有等式 成立．
三、解答题（本大题有 4 小题，前三小题 10 分，最后一小题 12 分，共 42 分）
18．实数 m 取什么值时，复平面内表示复数 2 28 15 5 14z m m m m i 的点
（1） 位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线 2 16 0x y 上？
19．用适当方法证明：已知： 0a ， 0b ，求证： a b a b
b a
．
20．求函数 3 2 4 6y x x 的最大值．
21．已知： 2f x x px q ．
（1）求证： 1 3 2 2 2f f f ；
（2）求证： 1f ， 2f ， 3f 中至少有一个不小于 1
2
．
四、附加题：（每小题 10 分，共 20 分）
23．已知 2 2 24 36x y kz （ 0k ），且 x y z 的最大值为 7，求 k 的值．
24．已知实数 x，y，z 满足 2 1x y z ，设 2 2 22t x y z ．
（1） 求 t 的最小值；（2）当 1
2t 时，求 z 的取值范围．
杭十四中第二学期阶段性测试
高二年级数学（文科）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D C B A B D C D
二、填空题
11． b b m a n a
a a m b n b
12． 1A
13．9
14． 9b
15． 25
6
16． 22 2
n nf
17． 1 2 1 2 17n nb b b b b b （ 17n ， n N ）
三、计算题
18．实数 m 取什么值时，复平面内表示复数 2 28 15 5 14z m m m m i 的点
（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线 2 16 0x y 上？
解：（1）
2
2
8 15 0
5 14 0
m m
m m
3 5
2 7
m or m
m
2 3 5 7m or m
（2） 2 28 15 5 14 0m m m m ( 3)( 5)( 2)( 7) 0m m m m
2 3 5 7m or m or m
（3） 2 28 15 2 5 14 16 0m m m m 1 2 15m
19．用适当方法证明：已知： 0a ， 0b ，求证： a b a b
b a
．
证明： 2a b a
b
， 2b a b
a
，两式相加，得证。
20．求函数 3 2 4 6y x x 的最大值．
解法一：函数定义域为 [2,6]x
2 22 23 2 4 6 3 4 2 6 10y x x x x
解法二：设 2 2cos , 6 2sin ( [0, ])2x x
则 6cos 8sin 10sin( )y
所以 max 10y
21．已知： 2f x x px q ．
（1）求证： 1 3 2 2 2f f f ；
（2）求证： 1f ， 2f ， 3f 中至少有一个不小于 1
2
．
证明：（1） 1 3 2 2 1 9 3 2(4 2 ) 2f f f p q p q p q
（2）反证：假设 1f ， 2f ， 3f 都小于 1
2
那么 1 1 12 1 3 2 2 1 3 2 2 2 22 2 2f f f f f f
矛盾，所以假设不成立，即 1f ， 2f ， 3f 中至少有一个不小于 1
2
附加题：
23．已知 2 2 24 36x y kz （ 0k ），且 x y z 的最大值为 7，求 k 的值．
解： 2 2 2 2 21 1 1 1 5 1( ) ( 1 2 ) ( 4 )(1 ) 36( )2 4 4x y z x y k z x y kz k kk
所以 2 5 17 36( ) 94 kk
24．已知实数 x，y，z 满足 2 1x y z ，设 2 2 22t x y z ．
（1）求 t 的最小值；（2）当 1
2t 时，求 z 的取值范围．
解：（1） 22 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 1 1 2 2) ( 2 )(1 1 2 ) 4x y z x y z x y z t
所以 1
4t ，所以 min
1
4t
（2） 1 2x y z ，
2 2
2 2 2
2
1(1 2 ) ( 2 )( ) ( ) 12 3 22 2 4
z zx y x yxy z z
所以 ,x y 是方程 2 2 1(2 1) (3 2 ) 04t z t z z 的两实根，
所以 2 2 1 1(2 1) 4(3 2 ) 0 04 2z z z z
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