东城区初三数学期末试卷及答案

北京市东城区 2015—2016 学年第一学期期末统一测试 初三数学 2016.1 学校 班级 姓名 考号 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．若关于的 x 方程 2 3 0x x a   有一个根为 -1，则 a 的值为 A． 4 B． 2 C． 2 D． 4 2．二次函数 2 2 4y x x    的最大值为 A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列图形中，是中心对称图形的为 A. 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是 A．至少有 1 个球是黑球 B．至少有 1 个球是白球 C．至少有 2 个球是黑球 D．至少有 2 个球是白球 5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 BC＝1，AC＝2，则 cosA 的值为 A． 5 5 B． 2 5 5 C． 1 2 D．2 6．若二次函数 y=x2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的 方程 x2＋bx =5 的解为 A． 1 20, 4x x  B． 1 21, 5x x  C． 1 21, 5x x   D． 1 21, 5x x   7．如图，在△ABC 中， BCDE // ， 6AD ， 3DB ，则 ADE ABC S S △ △ 的值为 A． 1 2 B． 2 3 C． 4 5 D． 4 9 8. 如图，⊙O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP，若 OP=4， ∠P=30°，则弦 AB 的长为 A． 2 5 B． 2 3 C． 5 D．2 9. 如图，点 A, B, C 在⊙O 上，CO 的延长线交 AB 于点 D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为 A．70° B．90° C．110° D．120° 10. 如图 1， 在 ABC△ 中， AB AC ， 120BAC   .点 O 是 BC 的中 点，点 D 沿 B→A→C 方向从 B 运动到 C.设点 D 经过的路径长为 x ，图 1 中某条线段 的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中 的 A. BD B．OD C． AD D．CD 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：○1 二次项系数是 1；○2 方程有两个相等的实数 根. 此方程可以是 ． 图 1 图 2 12．将抛物线 y=x2﹣2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛 物线的解析式为 ． 13. 已知，AB 是⊙O 的一条直径 ，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC， CD 与⊙O 相切于 D 点，若 CD= 3 ,则⊙O 半径的长为 . 14. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置， 使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在 同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地 面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为 米． 15．如图，已知 A（ 2 3 ，2），B（ 2 3 ，1），将△AOB 绕 着点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′O B′，则图中阴影部 分的面积为 ． 16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下： 老师说：“小涵的作法正确．” 请回答：小涵的作图依据是 ． 尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O 和点 P. 求作：过点 P 的⊙O 的切线. 如图：（1）连结 OP，作线段 OP 的中点 A； （2）以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点 B，C； （3）作直线 PB 和 PC. 所以 PB 和 PC 就是所求的切线. 三、解答题（本题共 72 分，第 17—26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．计算： 24cos45 tan 60 8 ( 1)    . 18. 解方程： 2 6 1 0x x   . 19．如图，△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6， BD=4，求 CD 的长. 20．已知：抛物线 y = x2+(2m－1)x + m2－1 经过坐标原点，且当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减 小. (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象写出 y < 0 时，对应的 x 的取值范围； (3)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于 另一点 D，再作 AB⊥x 轴于点 B，DC⊥x 轴于点 C. 当 BC=1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长． 21．列方程或方程组解应用题： 某公司在 2013 年的盈利额为 200 万元，预计 2015 年的盈利额将达到 242 万元，若 每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多 少？ 22． 如图，在方格网中已知格点△ABC 和点 O． （1）画△A′B′C′，使它和△ABC 关于点 O 成中心对称； （2）请在方格网中标出所有的 D 点，使以点 A，O，C′，D 为顶点的四边形是平行四 边形． 23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各 方每次用一只手做 石头 、 剪刀 、 布 三种手势中的一种，规定 石头 胜 剪刀 、 剪刀 胜 布 、 布 胜 石头 ．两人游戏时，若出现相同手 势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三 种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同， 则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例 如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三 人每次都是随机地做这三种手势，那么： （ ）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率； （ ）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时， 不分胜负的概率． 24. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若 sinC  3 3 ，半径 OA=3，求 AE 的长． 25. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 PQ 的高度．他们采取的方法是：先 在地面上的点 A 处测得杆顶端点 P 的仰角是 45°，再向前走到 B 点，测得杆顶端点 P 和 杆底端点 Q 的仰角分别是 60°和 30°，这时只需要测出 AB 的长度就能通过计算求出电线 杆 PQ 的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出 计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值； 若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路. 26. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题. 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对 应成比例. 已知：如图，△ABC 中， AD 是角平分线. 求证： DC BD AC AB  . 证明：过 C 作 CE∥DA，交 BA 的延长线于 E. ∴ 1 E,2  3. ……………………………○1  AD 是角平分线， ∴ 1 2 .  E3 . AEAC  . .……………………………○2 又 CEAD // ， DC BD AE AB  . ……………………………○3  DC BD AC AB  . （1）上述证明过程中，步骤○1 ○2 ○3 处的理由是什么？（写出两条即可） （2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=7cm， AC=4cm，BC=6cm，求 BD 的长； （3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研 究△ABD 和△ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理． 27．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 8 16 1y mx mx m    （m＞0）与 x 轴的交点分 别为 A（x1，0），B（x2，0）． （1）求证：抛物线总与 x 轴有两个不同的交点； （2）若 AB=2，求此抛物线的解析式； （3）已知 x 轴上两点 C（2,0），D（5,0），若抛物线 2 8 16 1y mx mx m    （m＞0） 与线段 CD 有交点，请写出 m 的取值范围. 28. 已知：在等边△ABC 中， AB= 2 3 ， D，E 分别是 AB， BC 的中点（如图 1）．若将△BDE 绕点 B 逆时针旋转， 得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线 CE1 与 AD1 的交点为 P． （1）判断△BDE 的形状； （2）在图 2 中补全图形， 图 1 ①猜想在旋转过程中，线段 CE1 与 AD1 的数量关系并证明； ②求∠APC 的度数； （3）点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果） 图 2 备用图 29. 已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1，y2，都有 点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于 y=x 的对称函数.例 如， 1 1 2y x 和 2 3 2y x 为关于 y=x 的对称函数. （ 1 ） 判 断 ： ① 1 3y x 和 2y x  ； ② 1 1y x  和 2 1y x  ； ③ 2 1 1y x  和 2 2 1y x  ，其中为关于 y=x 的对称函数的是__________（填序号）. （2）若 1 3 2y x  和 2y kx b  （ 0k  ）为关于 y=x 的对称函数. ①求 k、b 的值. ②对于任意的实数 x，满足 x>m 时， 1 2y y 恒成立，则 m 满足的条件为______. （3）若 2 1y ax bx c   ( 0)a  和 2 2y x n  为关于 y=x 的对称函数，且对于任意的 实数 x，都有 1 2y y＜ ，请结合函数的图象，求 n 的取值范围.