寒假作业（5）图形的相似
一、选择题：
1．若 = ，则 的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是 （ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D． =
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点
F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为 （ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
(第 2 题图) （第 3 题图） （第 4 题图）
4．如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线
段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 坐标为（5，0），则点 A 的坐标为 （ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
5．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB=1，CD=3，那
么 EF 的长是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
7．已知 ≠0，则 的值为 ．
8．如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上．若 BC=3，AD=2，EF= EH，
那么 EH 的长为 ．
9．在△ABC 中，AB=6cm，AC=5cm，点 D、E 分别在 AB、AC 上．若△ADE 与△ABC 相
似，且 S△ADE：S 四边形 BCED=1：8，则 AD= cm．
10．如图，△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，DE∥AC．若 BD=4，DA=2，BE=3，
则 EC= ．
（第 8 题图） （第 10 题图）
三、解答题：
11．如图，在 4×3 的正方形方格中，△ABC 和△DEC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点
上．
（1）填空：∠ABC= °，BC=
（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论
12.如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点 P 是
AB 上一个动点，当 PC+PD 的和最小时，PB 的长为多少？
13.如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为 F，交
AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若 AB=12，BM=5，
求 DE 的长
14.已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2、2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移 4 个单
位长度得到的△A1B1C1，点 C1 的坐标是 ；
（2）以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为 2：
1，点 C2 的坐标是 ；
（3）△A2B2C2 的面积是多少平方单位？
寒假作业（五）答案
一、选择题：
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C
二、填空题：
7. ．
8.
． 9. ． 10. ．
三、解答题：
11. ①135， 2
②△ABC 与
△
DEC 相似
理由：由图可知，AB=2，ED=2
∴ = =
∵∠ABC=∠DEC=135°，
∴△ABC∽△CED
12. 延长 CB 到 E，使 EB=CB，连接 DE 交 AB 于 P．则 DE 就是 PC+PD 的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，
∴PB= PA，
又∵PA+PB=AB=5，
∴PB= AB=3．
故答案为：3
13.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F 是 AM 的中点，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
14. （1）如图所示：C 1 （2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C 2 （1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵ =20， =20， =40，
∴△A 2 B 2 C 2 是等腰直角三角形，
∴△A 2 B 2 C 2 的面积是： × × =10 平方单位．
故答案为：10．
寒假作业(2) 圆
一、选择题：
1．如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若∠C=25°，则∠BOD 的度数是.......（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
2．如图，已知 PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC
的大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
3．一扇形的半径为 60cm，圆心角为 120°，用它做一个圆锥的侧面，则底面半径为（ ）
A．5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm
4．⊙o 的半径是 13，弦 AB∥CD，AB=24，CD=10，则 AB 与 CD 的距离是..........（ ）
A．7 B．17 C．7 或 17 D．4
第 1 题 第 2 题
5．已知⊙O 的半径为 15，弦 AB 的长为 18，点 P 在弦 AB 上且 OP=13，则 AP 的长为（ ）
A．4 B．14 C．4 或 14 D．6 或 14
6．A 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OA=3，则过点 A 且长小于 10 的整数弦的条数（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
二、填空题：
7．圆中一条弦所对的圆心角为 60°，那么它所对的圆周角度数为 度．
8．①平分弦的直径垂直与该弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形 各
顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 ．
9．⊙O 1 和⊙O 2 相切，两圆的圆心距为 9cm，⊙ 1O 的半径为 4cm，则⊙O 2 的半径为 ．
10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接 OA，OB，∠OBA=48°，则∠C 的度数为 ．
11．如图，圆内一条弦 CD 与直径 AB 相交成 30°角，且分直径成 1cm 和 5cm 两部分，则这
条弦的弦心距是 ．
12．如图，将△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C′，已知 AC=6，BC=4，则线段 AB 扫过图
形（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）
第 12 题 第 13 题 第 14 题
三、解答题：
13．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD.
求证：OC=OD.
14．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
15．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC+BC=8，点 O 是斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的
⊙O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E．
（1）当 AC=2 时，求⊙O 的半径；
（2）设 AC=x，⊙O 的半径为 y，求 y 与 x 的函数关系式．
16．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）连接 OP，若 OP∥BC，且 OP=8，⊙O 的半径为 2 ，求 BC 的长．
寒假作业（2）圆 答案
一．选择题:
1．D．2．D．3．C．4．C．5．C．6．C．
二．填空题:
7． 30 或 150 ． 8． ③④ ． 9 5cm 或 13cm ．
10． 42° ． 11． 1cm ． 12． ．
三．解答题:
13．证明（略）
14.（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
15. 解：（1）连接 OE，OD，
在△ABC 中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以 O 为圆心的⊙O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E，
∴四边形 OECD 是正方形，
tan∠B=tan∠AOD= = = ，解得 OD= ，
∴圆的半径为 ；
（2）∵AC=x，BC=8﹣x，
在直角三角形 ABC 中，tanB= = ，
∵以 O 为圆心的⊙O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E，
∴四边形 OECD 是正方形．
tan∠AOD=tanB= = = ，
解得 y=﹣ x2+x．
16.（1）证明：连接 OB，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即 PB⊥OB，
∴PB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵⊙O 的半径为 2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2．
寒假作业（3）数据与概率
一、选择题：
1．某气象小组测得连续五天的日最低气温并计算出平均气温与方差后，整理得出下表（有
两个数据被遮盖）．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 平均气温 方差
1℃ ﹣1℃ 2℃ 0℃ ■ 1℃ ■
被 遮 盖 的 两 个 数 据 依 次 是
（ ）
A．2℃，2 B．3℃， 6
5
C．3℃，2 D．2℃， 8
5
2．甲、乙二人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶成绩如图所示，经计算得 x 甲= x 乙=7，
S2
甲=1.2，
S2
乙 =5.8 ， 则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是
（ ）
A．甲、乙的总环数相等
B．甲的成绩稳定
C．甲、乙的众数相同
D．乙的发展潜力更大
3. 一组数据按从小到大排列为 2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为 9，则这组数
据
的
众
数
为
(
)
A．6 B．8 C．9 D．1
4. 一 组 数 据 ： 2 ， 3 ， 4 ， x 中 ， 若 中 位 数 与 平 均 数 相 等 ， 则 数 x 不 可 能 是
( )
A．1 B．2 C．3 D．5
5．如图的四个转盘中，C．D 转盘分成 8 等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在
阴 影 区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是
（ ）
A． B． C． D．
6．有 A、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6），以
小莉掷 A 立方体朝上的数字为 x、小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P（x，y），那么
他们各掷一次所确定的点 P 落在抛物线 2 4y x x 上的概率为 （ ）
A． 1
18
B． 1
12
C． 1
9
D． 1
6
二、填空题：
7．若 x1、x2、x3、x4、x5 这 5 个数的方差是 2，则 x1﹣1、x2﹣1、x3﹣1、x4﹣1、x5﹣1 这 5
个数的方差是 ．
8．在 4 张卡片上分别写有 1～4 的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第
二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 ．
9．箱子中装有 4 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，2 个红球，4 个人依次从箱子中任意
摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______．
10．如果一组数据﹣2，0，3，5，x 的极差是 9，那么这组数据的平均数是 ．
三、解答题：
11．甲、乙两班参加学校迎“青奥”知识比赛，两班的参赛人数相等．比赛结束后，依据两
班学生成绩绘制了如下的统计图表．
分数 6 分 7 分 8 分 9 分
人数 1 10 3 6
乙班学生迎“青奥”知识比赛成绩统计表
（1）经计算乙班学生的平均成绩为 7.7 分，中位数为 7 分，请计算甲班学生的平均成绩、
中位数，并从平均数和中位数的角度分析哪个班的成绩较好；
（2）如果学校决定要组织 6 个人的代表队参加市级团体赛，为了便于管理，决定依据本次
比赛成绩仅从这两个班的其中一个班中挑选参赛选手，你认为应选哪个班？请说明理由．
12．甲乙两人在相同条件下各射靶 10 次，甲 10 次射靶的成绩的情况如图所示，乙 10 次射
靶的成绩依次是：3 环、4 环、5 环、8 环、7 环、7 环、8 环、9 环、9 环、10 环．
（1）请在图中画出乙的射靶成绩的折线图．
（2）请将下表填完整：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上次数
甲 7 1.2
乙 4.8 3
（3）请从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析．
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩稳定些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）．
13．甲口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有 3 个相同
的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为 x，
再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为 y．设点 A 的坐标为（x，y）．
（1）请用树状图或列表法表示点 A 的坐标的各种可能情况；
（2）求点 A 落在 42 xxy 的概率．
参考答案
1～6.C C D B A B
7．5 8． 1
2
9． 1
3 10．2.6 或 0.4
11.解：（1）甲班学生的平均成绩为 6×25%+7×20%+8×35%+9×20%=7.5（分）
甲班的中位数为（8 分）
由于平均数 7.5＜7.7，所以从平均数来看，乙班的成绩较好；
由于中位数 8＞7，所以从中位数来看，甲班的成绩较好．
（2）应选乙班．
因为选 6 人参加市级团体赛，其中乙班有 6 人的成绩为（9 分），
而甲班只有 4 人的成绩为（9 分），所以应选乙班．
∴五年资助的总人数为 5÷20%=25 人，
∴08 年资助了 25﹣3﹣6﹣5﹣7=4 人，
∴方差为 2 人 2，
12．解：（1）如图：
（2）
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 4.8 7.5 3
（3）①∵平均数相同， 2 2S S甲 乙 ，∴甲的成绩比乙的成绩稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，乙的成绩比甲的成绩好些．
13．（1）略；（2）
9
2 ．
寒假作业（4）二次函数
一、选择题：
1. 函数 y=x2-2x+3 的图象的顶点坐标是
( )
A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3)
2. 已 知 函 数 2( 3) 2 1y k x x 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
( )
A． k＜4 B．k≤4 C. k＜4 且 k≠3 D. k≤4 且 k≠3
3.若一次函数 baxy 的图象经过二、三、四象限，则函数 bxaxy 2 的图象只可能是
( )
A. B. C. D.
4.将函数 2xy 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达
O
y
xO
y
xO
y
x O
y
x
式是 ( )
A. 2)1( 2 xy B. 2)1( 2 xy C. 2)1( 2 xy
D. 2)1( 2 xy
5.下列函数：① xy ；② xy ；③
xy 1 ；④ 2xy ．当 0x 时，y 随 x 的增大而
减
小
的
函
数
有
(
)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6. 若 0b ， 则 二 次 函 数 12 bxxy 2 的 图 象 的 顶 点 在
( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：
7. y＝2x2－bx＋3 的对称轴是直线 x＝1，则 b 的值为__________
8.已知抛物线 cxaxy 2 与 x 轴交点的横坐标为 1 ，则 ca =_________.
9.校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度 y （米）与水平距离 x （米）满足关
系式为：
3
5
3
2
12
1 2 xxy ，则小林这次铅球推出的距离是 米．
10. 将抛物线 22 12 16y x x 绕它的顶点旋转 180°，所得抛物线的解析式是 .
11. 已知二次函数 y＝x2－(a＋2)x＋9 图像的顶点在坐标轴上，则 a＝ ．
12.已知实数 yxyxxyx 则满足 ,033, 2 的最大值为 .
三、解答题：
13.如果函数 2 3 2( 3) 1m my m x mx 是二次函数，求 m 的值．
14．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点．
（1）观察图象，写出 A、B、C 三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当 m 取何值时，ax2+bx+c=m 有两个不相等的实数根．
15.如图，直角△ABC 中，∠C=90°， ， ，点 P 为边 BC 上一动点，PD∥AB，
PD 交 AC 于点 D，连接 AP．
（1）求 AC、BC 的长；
（2）设 PC 的长为 x，△ADP 的面积为 y．当 x 为何值时，y 最大，并求出最大值．
16．如图，已知关于 x 的二次函数 y＝x2＋mx 的图像经过原点 O，并且与 x 轴交于点 A，对
称轴为
直线 x＝1．
（1）常数 m＝ ，点 A 的坐标为 ；
（2）若关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＝n（n 为常数）有两个不相等的实数根，求 n 的
取值范围；
（3）若关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－k＝0（k 为常数）在－2＜x＜3 的范围内有解，
求 k 的取值范围．
17.如图，已知抛物线 y= （x﹣2）（x+a）（a＞0）与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，
且点 B 在点 C 的左侧．
（1）若抛物线过点 M（﹣2，﹣2），求实数 a 的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE 的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点 H，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标．
O
y
xA
二次函数复习参考答案
一、选择题：
1~6 C B C B C D
二、填空题：
7．4 8．1 9．10 10．y=-2x2+12x-20 11．4 或-8 或-2 12．4
三、解答题：
13．解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且 m﹣3≠0，
解得：m=0．
14．解：（1）由题意得：A、B、C 三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为 x=1．
（3）由题意得：x2﹣2x﹣3=m，
即 x2﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当 m＞﹣4 时，ax2+bx+c=m 有两个不相等的实数根．
15．解：（1）在 Rt△ABC 中， ， ，
得 ，
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3 分）
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴ ；
设 PC=x，则 ， ，
∴
∴当 x=2 时，y 的最大值是 1．
16．解：（1）m=-2，A(2,0)；
（2）n＞-1．
（3）-1≤k＜8
17．解：（1）将 M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2= （﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a=4；
（2）①由（1）抛物线解析式 y= （x﹣2）（x+4），
当 y=0 时，得：0= （x﹣2）（x+4），
解得：x1=2，x2=﹣4，
∵点 B 在点 C 的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当 x=0 时，得：y=﹣2，即 E（0，﹣2），
∴S△BCE= ×6×2=6；
②由抛物线解析式 y= （x﹣2）（x+4），得对称轴为直线 x=﹣1，
根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=﹣1 对称，连接 BE，与对称轴交于点 H，即为所求，
设直线 BE 解析式为 y=kx+b，
将 B（﹣4，0）与 E（0，﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣2，
将 x=﹣1 代入得：y= ﹣2=﹣ ，
则 H（﹣1，﹣ ）．
寒假作业（6）三角函数与货比三家
一、选择题：
1.sin60 ° 的 相 反 数 是
（ ）
A. 1
2
B. 3
3
C. 3
2
D. 2
2
2. 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=900 ， AC=4 ， AB=5 ， 则 sinB 的 值 是
（ ）
A. 2
3
B. 3
5
C. 3
4
D. 4
5
3. 把 △ ABC 三 边 的 长 度 都 扩 大 为 原 来 的 3 倍 ， 则 锐 角 A 的 正 弦 函 数 值
（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 1
3
C．扩大为原来的 3 倍 D．不能确定
第 4 题图 第 6 题图
4.在 2015 年的体育中考中，某校 6 名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位
数
、
方
差
依
是
(
)
A.18，18，1 B.18，17.5，3 C.18，18，3 D.18，17.5，1
5. 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是
( )
A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B.把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至 少有 2 个球是必然事件
C.任意打开七年级下册数学教科书，正好是 97 页是确定事件
D.一只盒子中有白球 m 个，红球 6 个，黑球 n 个(每个球除了颜色外都相同).如果从中任
取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么 m 与 n 的和是 6
6.如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30º，朝物体 AB 方向前进 20
米 到 达 点 C ， 再 次 测 得 A 点 的 仰 角 为 60 º ， 则 物 体 的 高 度 为
（ ）
A.10 3 米 B.10 米 C.20 3 米 D. 20 3
3
二、填空题：
7.计算 cos60 º=__________; sin45°=_________.
8.在 Rt△ABC 中,∠C=900,AB=6,cosB=2
3
,则 BC 的长为___________.
9.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为__________.
10.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，
AB、CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值是 ．
11.如图所示，机器人从 A 点沿着西南方向行了 4 2个单位，到达 B 点后观察到原点 O 在它
的南偏东 60°的方向上，则原来 A 点的坐标为___________.(结果保留根号）．
三、解答题：
12.计算：
（1） 30tan60tan45tan60cos30sin （2） 11 |1 2 | 2sin 45
13.如图所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高， DACB costan .
（1）求证：AC＝BD; （2）若 1213
12sin BCC ， ，求 AD 的长.
14.如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时，教学楼在
建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45°时，教学楼顶 A 在地面
上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离（B、F、C 在一条直线上）
(1)求教学楼 AB 的高度；(2)学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离（结
果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈3
8
，cos22°≈15
16
，tan22°≈2
5
）
15.如图所示，电路图上有四个开关 A，B，C，D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关
A，B，C 都可以使小灯泡发光.
CB
A
(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
16.如图，直线 PQ 与⊙O 相交于点 A、B，BC 是⊙O 的直径，BD 平分∠CBQ 交⊙O 于点 D，过
点 D 作 DE⊥PQ，垂足为 E．
（1）求证：DE 与⊙O 相切；
（2）连结 AD，己知 BC=10，BE=2，求 sin∠BAD 的值．
寒假作业（6）答案
一、选择题：
1-6:C D A A A C
二、填空题：
7. 2
1 , 2
2 ;8.4; 9. 5
5
; 10.2; 11. 40, 3 43
12．（1）-1 （2）
3
2
13．(1)证明略 (2)8
14．(1)12(2)27
15.（1）P=O.25 (2)P=0.5
16.证明：（1）连结 OD，则 OD=OB, ∴∠OBD=∠ODB.
∵BD 平分∠CBQ， ∴∠OBD=∠DBQ.
∵ DE⊥PQ , ∴∠BED=90°.
∴ ∠EBD + ∠BDE = 90°. ∴ ∠EDB + ∠BDO = 90° .
即：∠ODE = 90°.
∴ DE⊥OD , ∴DE 是⊙O 的切线.
（2）连结 CD， 则∠CDB = 90°=∠BED,
∵ ∠CBD =∠DBE.∴ △CBD∽△DBE.
∴ BC BD
BD BE
即： 2BD =BC·BE=10×2=20, ∴ BD= 2 5
∴DE=4, ∴AB=6, ∴AE=8, ∴sin∠BAD= 5
5
寒假作业（1） 一元二次方程
一、选择题:
1.方程 1132 xx 的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
2.若关于 x 的一元二次方程的两个根为 1 1x ， 2 2x ，则这个方程是（ ）
A. 2 3 2 0x x B. 2 3 2 0x x
C. 2 2 3 0x x D. 2 3 2 0x x
3.以 3、4 为两边长的三角形的第三边长是方程 040132 xx 的根，则这个三角形的周
长为（ ）
A.15 或 12 B.12 C.15 D.以上都不对
4.关于 x 的方程 2 2 0x ax a 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）
A.－1 或 5 B.1 C.5 D.－1
5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若
每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少
株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是（ ）
A. 3 4 0.5 15x x ）（ （ ） B. 3 4 0.5 15x x （ ）（ ）
C. 4 3 0.5 15x x （ ）（ ） D. 1 4 0.5 15x x （ ）（ ）
6.已知实数 a，b 分别满足 2 6 4 0a a ， 2 6 4 0b b ，则 b a
a b
的值是（ ）
A.2 B.7 C.2 或 7 D.不确定
二、填空题:
7.已知 x满足
xxxx 1,0152 则 .
8. 已知关于 x 的方程 x2+（1﹣m）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数
值是 ．
9.已知关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x 的两个实数根分别为α、β，则 ( 3)( 3)
= .
10.若方程 0962 xkx 有实数根，则 K 满足的条件为 .
11. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数
为 .
三、解答题:
12.选择适当方法解下列方程：
（1） 0152 xx ； （2） 223 2 xxx ；
（3）x2－5x－6=0； （4）x2+2x－2=0（用配方法）
13.已知关于的方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m ．
（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系
数及常数项.
14.已知关于 x 的一元二次方程 2( 6) 8 9 0a x x 有实根．
（1）求 a 的最大整数值；
（2）当 a 取最大整数值时，求出该方程的根．
15.关于 x的方程 04)2(2 kxkkx 有两个不相等的实数根.
（1）求 k 的取值范围.
（2）是否存在实数 k ，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存
在，说明理由.
16.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈
利 0.3 元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡
的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，
每张贺年卡应降价多少元?
寒假作业（1）答案
一、选择题：
1—6：A B B D A C
二、填空题：
7． 5 8. 0 9. 9 10. K≤1 11. 25 或 26
三、解答题：
12.（1） 1
5 21
2x 2
5 21
2x
(2) 1 22, 3x x
(3) 1 26, 1x x
(4) 1 23 1, 3 1x x
13. （1）由题意得，
,01
,012
m
m 即当 1m 时，方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m 是一元
一次方程.
（2）由题意得， 2 1 0m ，即当 1m 时，方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m 是一元二
次方程.此方程的二次项系数是 2 1m 、一次项系数是 ( 1)m 、常数项是 m.
14. （1）根据题意得 64 4 6 9 0 6 0a a （ ） 且 ，
解得 70
9a 且 a≠6，
∴ a 的最大整数值为 7.
（2）当 a=7 时，原方程变形为 2 8 9 0x x ， 64 4 9 28 ，
∴ 8 28
2x ，∴ 1 4 7x ， 2 4 7x .
15. （1）由 Δ =（ k +2）2－4 k ·
4
k ＞0，解得 k ＞－1.
又∵ k ≠0，∴ k 的取值范围是 k＞－1 且 k ≠0.
（2）不存在符合条件的实数 k .
理由如下：设方程 2 ( 2) 04
kkx k x 的两根分别为 1x 、 2x ，
由根与系数的关系有
1 2
2kx x k
， 1 2
1
4x x ，
又 011
21
xx
，则
k
k 2 =0.∴ 2k .
由（1）知， 2k 时， Δ ＜0，原方程无实数解.
∴ 不存在符合条件的实数 k .
16．设每张贺年卡应降价 x 元，
则依题意得 100(0.3 ) 500 1200.1
xx
，
整理，得 2100 20 3 0x x ，
解得 1 20.1, 0.3x x （不合题意，舍去）.∴ 0.1x .
答：每张贺年卡应降价 0.1 元。
寒假作业（9）综合试卷（三）
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1．一元二次方程 22 3 0x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 （ ）
A． 2,1,3 B． 2,1, 3 C． 2, 1,3 D． 2, 1, 3
2．方程 x2 ＝2x 的解是 （ ）
A．x＝2； B．x1＝2，x2＝0； C．x1＝－ 2 ，x2＝0； D．x＝0
3.二次函数 y=2（x﹣1）2+3 的图象的顶点坐标是 （ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
4. 盒子中装有 2 个红球和 4 个绿球,每个球除颜色外完全相同,从盒子中任意摸出一个球，
是绿球的概率是 （ ）
A．
4
1 B．
3
1 C．
2
1 D．
3
2
5.已知扇形的半径为 6 ，圆心角为 60，则这个扇形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
6．如图，两条宽度都是 1 的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为 ，则它们重叠部分（图
中阴影部分）的面积是（ ）
A．
sin
1 B．
cos
1 C． sin D．1
7．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A，点 B，点 A 的坐标为（0，3），M 是第
三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC．点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过
点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，
连结 DF，给出以下四个结论：① = ；②若点 D 是 AB 的中点，则 AF= AC；③当
（第 6 题） （第 7 题） （第 8 题）
B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则 S△ABC=9S△BDF，其中正确的
结论序号是（ ）
A． ①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
9．母线长为 2cm，底面圆的半径为 1cm 的圆锥的侧面积是 cm2．
10．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则 sin B=_______．
11. 一等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 6cm，则其底角的余弦值为________．
12. 已知一组数据 1，2，x，5 的平均数是 4，这组数据的方差是 ．
13. 若 A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数 y=x2+4x﹣5 的图象上的三点，
则 y1，y2，y3 的大小关系是 ．
14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方
形的顶点上，AB、CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值是 ．
15.一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1），直角顶点 C 的坐标为（﹣
3，0），∠B=30°，则点 B 的坐标为 ．
16.如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点，BP 与半圆交于
点 Q，连结 DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②PQ
BQ =3
2
；③S△PDQ＝1
8
；④cos∠ADQ=3
5
．其
中正确结论是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共 8 题，共 72 分）
17 ． (8 分 ） （ 1 ） 解 方 程 ： 0142 xx . （ 2 ） 计 算 ：
30tan60tan45tan60cos30sin .
18.（8 分）某校为了解 2013 年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了 40 名学生
课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其
中科普类册数占这 40 名学生借阅总册数的 40%．
类别 科普类 教辅类 文艺类 其他
册数（本） 128 80 m 48
（1）求表格中字母 m 的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角 a 的度数；
（第 14 题） （第 15 题） （第 16 题）
（2）该校2013年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？
19.（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB
上的点 E 处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度．
20. （8 分）如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有△ABC,建立平面直角坐标系
后,点 O 的坐标是（0，0）．
（1）以 O 为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为 1：2，且保证△A′B′C′在第三象
限；
（2）点 B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段 BC 上有一点 D，它的坐标为（a，b），那么它的
对应点 D′的坐标为（ ， ）．
21. （ 本 题 8 分 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ：
．
（1）试判断原方程根的情况；
（ 2 ） 若 抛 物 线 与 轴 交 于
两点，则 ， 两点间的距离是否存在最大或
最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示： ）
22．（8 分）如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有 A、B 两艘巡逻船，
现均收到故障船 c 的求救信号．已知 A、B 两船相距 100( 3 ＋3)海里，船
C 在船 A 的北偏东 60°方向上，船 C 在船 B 的东南方向上，MN 上有一
观测点 D，测得船 C 正好在观测点 D 的南偏东 75°方向上．
(1)分别求出 A 与 C，A 与 D 之间的距离 AC 和 AD(如果运算结果有根号，
请保留根号)．
(2)已知距观测点 D 处 200 海里范围内有暗礁．若巡逻船 A 沿直线 AC
去营救船 C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）
23.(12 分)△ABC 为等边三角形，边长为 a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究
当 m 为何值时 S 取最大值；
（3）若 a=6 时，已知 A、D、F、E 四点在同一个圆上，tan∠EDF= ，求此圆直径．
24．(12 分) 如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y=﹣ x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴与 D，C
两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交
y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存
在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
寒假作业（9）综合试卷（三）答案
1-4:D B A D 5-8:B C C C
9. 2 ; 10. 5
3 ; 11.
4
3 或
3
1 ; 12.
2
15 ;
13 yyy 312
; 14.2; 15. )33,33( ； 16.①②④
17. 1)2(;32,32)1( 21 xx
18.m=64. 090 ;1000
19.①证略；② 53
20.①图略.②-2，-1③ ba 2
1,2
1
21.① 08)1(4 22 macb 方程有两个不相等的实数根。②存在。m=1 时 AB 最小,
22=AB
22.解 ① 3200600,3200 ADAC ②过点 D 作 DF 垂直 AC，F 为垂足，易求
200219)13300(=DF 无危险。
23.①证略。② 33)2(4
3 2 ms ，当 m=2 时，S 最大， 33s
③直径为 72
24.①
3
1,32
5
2
1 2 xxy
② )9
44,3
17(),36,11(),9
14,3
13(
寒假作业（8） 综合试卷（二）
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是
（ ）
A．x2﹣2x﹣3=0 B．2x2﹣y﹣1=0 C．x2﹣x（x+7）=0 D．ax2+bx+c=0
2．圆锥的侧面展开图是一个弧长为 12π的扇形，则这个圆锥底面积的半径是
（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
3. 如图，△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．AD2=DC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BC•BD D．AB•AC=AD•BC
4. 在△ABC 中， ，则△ABC 为
（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含 60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
第 3 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题
5. 若点 A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线 y=x2﹣4x﹣m 的图象上，
则 y1、y2、y3 的大小关系是
（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．如图，将 沿弦 BC 折叠，交直径 AB 于点 D，若 AD=4，DB=5，则 BC 的长是
（ ）
A．3 B．8 C． D．2
7．如图，扇子的圆心角为 x°，余下扇形的圆心角为 y°，x 与 y 的比通常按黄金比来设计，
这样的扇子外形比较美观，若黄金比取 0.6，则 x 为
（ ）
A．144° B．135° C．136° D．108°
8．如图，已知二次函数的解析式为 y=x2﹣1，其图象上有一个动点 P，连接 OP（O 为坐标
原点），并以 OP 为半径作圆，则该圆的最小面积是
（ ）
A． π B． π C．π D． π
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
9．数据 a，a+1，a+2，a+3，a﹣3，a﹣2，a﹣1 的平均数为 ，中位数是 ．
10．口袋中装有除颜色外完全相同的红球 3 个，白球 n 个，如果从袋中任意摸出 1 个球，摸
出红球的概率是 ，那么 n= 个．
11. 三角形的两边长为 2 和 4，第三边长是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则这个三角形的周长
是 ．
12. 如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B，C，D 均在半圆上，若 AB=BC，CD=DE，连接 OB，
OD，则图中阴影部分的面积为 ．
13. 若直线 y=m（m 为常数）与函数 y= 的图象有三个不同的交点，则常数
m 的取值范围 ．
14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tanB= ，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE⊥AC，
DE=6，DB=20，则 tan∠BCD 的值是 ．
第 12 题 第 14 题 第 16
题
15. 在 Rt△ABC 中，AC=3，BC=4．如果以点 C 为圆心，r 为半径的圆与斜边 AB 只有一个
公共点，那么半径 r 的取值范围是 ．
16. 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA，
CB 分别相交于点 P，Q，则线段 PQ 长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 10 题，共 72 分）
17．(6 分）（1）解方程（2x﹣3）2=x2； (2)解方程： 0132x 2 x
18.（6 分）计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣2+ ．
19.（6 分）已知：关于的方程 x2﹣（k+1）x+ k2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）求 k 实数的取值范围；
（2）当矩形的对角线长为 时，求实数 k 的值．
20.（6 分）万圣节两周前，某商店购进 1000 个万圣节面具，进价为每个 6 元，第一周以每
个 10 元的价格售出 200 个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个 10 元的价格销售可售
出 400 个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价 x 元销售（根据市场调查，单价每降低
1 元，可多售出 100 个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一
周售价的四折全部售出．
（1）当单价降低 2 元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；
（2）如果销售完这批面具共获利 1300 元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？
21.(6 分) 学校冬季趣味运动会开设了“抢收抢种”项目，八（5）班甲、乙两个小组都想代
表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八（5）班的班委组织了一次选拔赛，甲、乙两
组各 10 人的比赛成绩如下表：
甲组 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙组 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
（1）甲组成绩的中位数是 分，乙组成绩的众数是 分．
（2）计算乙组的平均成绩和方差．
（3）已知甲组成绩的方差是 1.4，则选择 组代表八（5）班参加学校比赛．
22．（6 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=3，D 为 AC 延长线上一点，AC=3CD，
过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H．
（1）求 BD•cos∠HBD 的值；
（2）若∠CBD=∠A，求 AB 的长．
23.(8 分) 如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°，沿山坡向上走到 P
处再测得点 C 的仰角为 45°，已知 OA=100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：
2，且 O、A、B 在同一条直线上．求电视塔 OC 的高度以及此人所在位置点 P 的铅直高度．（测
倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
24．(8 分) 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切
于点 A，边 CD 与⊙O 相交于点 E，连接 AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点 A 作 AH⊥BE 于 H，求证：BH=CE+EH．
25．(10 分) 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图 1，图 2，
图 3 中，AF，BE 是△ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为 P，像△ABC 这样的三角形均称为“中
垂三角形”，设 BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图 1，当∠ABE=45°，c=2 时，a= ，b= ．
如图 2，当∠ABE=30°，c=4 时，a= ，b= ．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2，b2，c2 三者之间的关系，用等式表示出来，
并利用图 3 证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图 4，在▱ ABCD 中，点 E、F、G 分别是 AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD=2 ，
AB=3，求 AF 的长．
26．(10 分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0）和点 B（4，
0），且与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为（2，0），点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点，
连接 CA，CD，PD，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点 P 的坐标；
（3）当 m＞0，n＞0 时，过点 P 作直线 PE⊥y 轴于点 E 交直线 BC 于点 F，过点 F 作 FG⊥x
轴于点 G，连接 EG，请求出随着点 P 的运动，线段 EG 的最小值．
寒假作业（8） 综合试卷（二）答案
一、选择题: ACDA CABB
二、填空题:
9．a，a 10．2 11. 10 12. π 13. 0＜m＜4 14. 15. 3＜r≤4 或 16.
4.8
三、解答题:
17．（1）x1=3，x2=1． （2）x1=12，x2=-11．
18.（6 分）5．
19.（6 分）解：（1）设方程的两根为 x1，x2
则△=[﹣（k+1）
]
2﹣4（ k2+1）=2k﹣3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，
即 2k﹣3≥0，
∴k≥ ．
（2）由题意得： ，
又∵x12+x22=5，即（x1+x2）2﹣2x1x2=5，
（k+1）2﹣2（ k2+1）=5，
整理得 k2+4k﹣12=0，
解得 k=2 或 k=﹣6（舍去），
∴k 的值为 2．
20.（6 分）解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100×2=600．
总利润为：200×（10﹣6）+（8﹣6）×600+200（4﹣6）=1600．
答：当单价降低 2 元时，第二周的销售量为 600 和售完这批面具的总利润 1600；
（2）由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1000﹣200）﹣
（400+100x）
]
=1300，
整理得：x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=3；x2=﹣1（舍去），
∴10﹣3=7（元）．
答：第二周的销售价格为 7 元．
21.(6 分) 解：（1）把甲组的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，
最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是 9.5 分；
乙组成绩中 10 出现了 4 次，出现的次数最多，
则乙组成绩的众数是 10 分；
故答案为：9.5，10；
（2）乙组的平均成绩是： （10×4+8×2+7+9×3）=9，
则方差是： [4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2
]
=1；
（3）∵甲组成绩的方差是 1.4，乙组成绩的方差是 1，
∴选择乙组代表八（5）班参加学校比赛．
故答案为乙．
22．（6 分）解：（1）∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DHC，
∴ =3，
∴CH=1，BH=BC+CH，
在 Rt△BHD 中，
cos∠HBD= ，
∴BD•cos∠HBD=BH=4．
（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴ ，
∵△ABC∽△DHC，
∴ ，
∴AB=3DH，
∴ ，
解得 DH=2，
∴AB=3DH=3×2=6，
即 AB 的长是 6．
23．(8 分) 解：作 PE⊥OB 于点 E，PF⊥CO 于点 F，
在 Rt△AOC 中，AO=100，∠CAO=60°，
∴CO=AO•tan60°=100 （米）．
设 PE=x 米，
∵tan∠PAB= = ，
∴AE=2x．
在 Rt△PCF 中，∠CPF=45°，CF=100 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴100+2x=100 ﹣x，
解得 x= （米）．
答：电视塔 OC 高为 100 米，点 P 的铅直高度为 （米）．
24. (8 分) 证明：（1）∵AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切于点 A，
∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）作 AF⊥CD 于 F，
∵四边形 ABCE 是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH 和△AEF 中，
，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH 和△ACF 中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．
25．(10 分) 解：（1）∵AH⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP= AB=2，
∵AF，BE 是△ABC 的中线，
∴EF∥AB，EF= AB= ，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在 Rt△FPB 和 Rt△PEA 中，
AE=BF= = ，
∴AC=BC=2 ，
∴a=b=2 ，
如图 2，连接 EF，
同理可得：EF= ×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴ ，
在 Rt△ABP 中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2 ，
∴PF=1，PE= ，
在 Rt△APE 和 Rt△BPF 中，
AE= ，BF= ，
∴a=2 ，b=2 ，
故答案为：2 ，2 ，2 ，2 ；
（2）猜想：a2+b2=5c2，
如图 3，连接 EF，
设∠ABP=α，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF= PA= ，PE= = ，
AE2=AP2+PE2=c2sin2α+ ，BF2=PB2+PF2= +c2cos2α，
∴ =c2sin2α+ ， = +c2cos2α，
∴ + = +c2cos2α+c2sin2α+ ，
∴a2+b2=5c2；
（3）如图 4，连接 AC，EF 交于 H，AC 与 BE 交于点 Q，设 BE 与 AF 的交点为 P，
∵点 E、G 分别是 AD，CD 的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2 ，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE= AD，BF= BC，
∴AE=BF=CF= AD= ，
∵AE∥BF，
∴四边形 ABFE 是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH 和△CFH 中，
，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EQ，AH 分别是△AFE 的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，
∴AF2=5 ﹣EF2=16，
∴AF=4．
26．(10 分) 解：（1）把 A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入 y=ax2+bx+2 中，可得
解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2．
（2）∵抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x+2，
∴点 C 的坐标是（0，2），
∵点 A（﹣1，0）、点 D（2，0），
∴AD=2﹣（﹣1）=3，
∴△CAD 的面积= ，
∴△PDB 的面积=3，
∵点 B（4，0）、点 D（2，0），
∴BD=2，
∴|n|=3×2÷2=3，
∴n=3 或﹣3，
①当 n=3 时，
﹣ m2+ m+2=3，
解得 m=1 或 m=2，
∴点 P 的坐标是（1，3）或（2，3）．
②当 n=﹣3 时，
﹣ m2+ m+2=﹣3，
解得 m=5 或 m=﹣2，
∴点 P 的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
综上，可得
点 P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
（3）如图 1，
设 BC 所在的直线的解析式是：y=mx+n，
∵点 C 的坐标是（0，2），点 B 的坐标是（4，0），
∴
解得
∴BC 所在的直线的解析式是：y=﹣ x+2，
∵点 P 的坐标是（m，n），
∴点 F 的坐标是（4﹣2n，n），
∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣ ）2+ ，
∵n＞0，
∴当 n= 时，线段 EG 的最小值是： ，
即线段 EG 的最小值是 ．
寒假作业（7）综合试卷（一）
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1．一元二次方程 x2-8x-1=0 配方后可变形为（ ）
A. 17)4( 2 x B. 15)4( 2 x C. 17)4( 2 x D. 15)4( 2 x
2．下列说法正确的是 （ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件
B．甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲
2=0.4，
S 乙
2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
C．“明天降雨的概率为 0.5”，表示明天有半天都在降雨
D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
3. 如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =
4.如图， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a 的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第 3 题 第 4 题 第 5 题
5. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过 D 点的切线 PD 与直线
AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为（ ）
A． 40° B．35° C．30° D． 45°
6．如图，在直角△BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC= BD，连接 AC，若 tanB= ，则 tan∠CAD
的值（ ）A． B． C． D．
7．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形
AOB 与扇形 1 1 10A B 是相似扇形，且半径 1 1:OA O A k ( k 为不等于 0 的常数)。那么下面
四个结论：
①∠AOB＝∠ 1 1 10A B ；②△AOB∽△ 1 1 10A B ；③
1 1
AB kA B
；④扇形 AOB 与扇形 1 1 10A B 的
面积之比为 2k 。成立的个数为：（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第 6 题 第 7 题 第 8 题
8．如图，△ABC、△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、
FC 相交于点 M．当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是（ ）
A． 13 B． 13 C． 2 D． 32
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
9．抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 ．
10．已知圆锥的侧面积等于 60 cm2，母线长 10cm，则圆锥的高是 cm．
11. 关于 x 的方程 kx2﹣4x﹣ =0 有实数根，则 k 的取值范围是___ _____．
12. 已知一元二次方程 x2-4x-3=0 的两根为 m、n ，则 m2-mn+n2= ．
13. 如果将抛物线 y＝x2＋2x－1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的表达
式是_______________ ．
14. 如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2 所示的几何图形，已
知 BC=BD=15cm, ∠CBD=40°，则点 B 到 CD 的距离为 cm(参考数据：sin20°≈
0.342，com20°≈0.940， sin40°≈ 0.643， com40°≈ 0.766.精确到 0.1cm)
第 14 题 第 15 题
第 16 题
15. 如图 ，将一块含 300 角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆
相切。若半径 OA=2 ，则图中阴影部分的面积为____________．(结果保留π)
16. 如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当
△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ．
三、解答题（本大题共 10 题，共 72 分）
17．(6 分）（1）计算： ； (2)解方程： 046x2 x
18.（6 分）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A（-1,3），B（-1,1），C（-3,2）.
（1）请画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
（2）以原点 O 为位似中心，将△A1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到
△A2B2C2，并求出 S△A1B1C1：S△A2B2C2 的值.
19.（6 分）一个不透明的袋子中装有大小，质地完全相同的 3 只球，球上分别标有 2、3、5
三个数字。
（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率为 ．
（2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从袋子中任意摸一只球，
记下所标数字，将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，
组成一个两数，求所组成的两位数是 5 的倍数的概率（请用“画树状图”或“列表”的
方法写出过程）
20.（6 分）如图 1 是一把折叠椅子，图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中 AD 和
BC 表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG 和 BC 相交于点 F，MN 表示地面所在的直线，
EG∥MN，EG 距 MN 的高度为 42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较
粗钢管 AD 和 BC 的长．（结果精确到 0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，
tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）
21.(6 分) 如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0），
点 C 的坐标为（0，3），它的对称轴是直线 x＝
2
1 . （1）求抛物线的解析式；
（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当△MBC 为
等腰三角形时，求 M 点的坐标.
22．（6 分）一种进价为每件 40 元的 T 恤，若销售单价为 60 元，则每周可卖出 300 件.为提
高利润，欲对该 T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价 1 元，每周要少卖出 10 件.
请确定该 T 恤涨价后每周的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，
并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？
23.(8 分) 如图四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=900，E 为 AB 的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2)若 AD=4，AB=6，求
AF
AC 的值．
24．(8 分) 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 D，过
点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于点 E．
（1）求证：AB=BE； （2）若 PA=2，cosB= ，求⊙O 半径的长．
25．(10 分) 如图，在⊙O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC 上，AM 的延长线交
⊙O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠1=∠2，连结 CB 与 DG 交于点 N．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点 M 是 CO 的中点，⊙O 的半径为 4，cos∠BOC= ，求 BN 的长．
26．(10 分) 如图，已知 A(3，0)、B(4，4)、原点 O(0，0)在抛物线 y ＝ ax2＋bx＋c (a≠0)上．
F
C
BE
D
A
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点 D，求 m 的
值及点 D 的坐标．
（3）如图，若点 N 在抛物线上，且∠NBO =∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足
△POD∽△NOB 的点 P 的坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应）
寒假作业（7） 综合试卷（一）答案
一、选择题:CBDD CDDA
二、填空题
9．（﹣1，2） 10．8 11. k≥﹣6．12.25．13. y=x2+2x+3．14. 14.1 15. + ．
16. 2，2 3 或2 7
三、解答题
17．略
18.（6 分）（1）略（2）所作图形如下图所示： ∵△A1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2 ∴
22
11
BA
BA =
2
1 ∴
222
111
CBA
CBA
S
S =（
2
1 ）2=
4
1 ， 即△A1B1C1：△A2B2C2=
4
1 .
C2
B2
A2
B1
A1
C1
19.（6 分）（1）
3
2
（2）解：
由树状图可知，所有可能的情况共有 6 种，所组成的两位数是 5 的倍数的情况有 2 种，
可知 P（组成的两位数是 5 的倍数）＝
6
2 =
3
1 .
20.（6 分）解：作 FH⊥AB 于 H，DQ⊥AB 于 Q，如图 2，FH=42cm，
在 Rt△BFH 中，∵sin∠FBH= ，
∴BF= ≈48.28，
∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；
在 Rt△BDQ 中，∵tan∠DBQ= ，
∴BQ= ，
在 Rt△ADQ 中，∵tan∠DAQ= ，
开始
第一个球 532
第二个球 3255 23
5332 35 522523组成的两位数
∴AQ= ，
∵BQ+AQ=AB=43，
∴ + =43，解得 DQ≈56.999，
在 Rt△ADQ 中，∵sin∠DAQ= ，
∴AD= ≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管 AD 和 BC 的长分别为 58.2cm、90.3cm．
21.(6 分) （1）设抛物线的解析式 kxay 2)2
1(
把 A（2,0） C（0，3）代入得：
34
1
04
25
ka
ka 解得：
8
25
2
1
k
a
∴
8
25)2
1(2
1 2 xy 即 32
1
2
1 2 xxy
（2）由 y＝0 得 08
25)2
1(2
1 2 x ∴ 11 x 32 x
∴ )0,3(B
①CM=BM 时
∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形
∴当 M 点在原点 O 时，△MBC 是等腰三角形
∴M 点坐标（0,0）
②BC=BM 时
在 Rt△BOC 中, BO=CO=3, 由勾股定理得 OBOCBC 2
∴BC= 23 ∴BM= 23
∴M 点坐标（ )0,323
22．（6 分）y= ，当 x=65 时，y 有最大值 6250
23.(8 分) 解：(1) ∵AC 平分∠DAB
∴∠DAC =∠CAB
又∵∠ADC =∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB
∴ AD
AC = AC
AB
∴AC2=AB·AD
(2)∵E 为 AB 的中点
∴CE= 1
2 AB=AE
∠EAC =∠ECA
∵AC 平分∠DAB
∴∠CAD =∠CAB
∴∠DAC =∠ECA
∴CE∥AD
∴∠DAF =∠ECF ∠ADF =∠CEF
∴△AFD∽△CFE
∴ AD
CE = AF
CF
∵CE=
2
1 AB
∴CE=
2
1 ×6=3
又∵AD=4 由 AD
CE = AF
CF
得
3
4 = AF
CF
∴ AF
AC = 4
7
∴ AC
AF = 7
4
．
24．(8 分) （1）证明：连接 OD，
∵PD 切⊙O 于点 D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：有（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB= ，
在 Rt△POD 中，cos∠POD= = ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O 半径=3．
25．(10 分) （1）证明：∵△BCO 中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在 Rt△BCE 中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF 是⊙O 的切线；
（2）证明：∵AB 是⊙O 直径，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN；
（3）解：∵⊙O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4，
在 Rt△COE 中，cos∠BOC= ，
∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE= = = ，
AC= = =2 ，
BC= = =2 ，
∵AB 是⊙O 直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2CE=2 ，
∵△ACM∽△DCN，
∴ = ，
∵点 M 是 CO 的中点，CM=AO=×4=2，
∴CN= = = ，
∴BN=BC﹣CN=2 ﹣ = ．
26．(10 分) （1）∵ A（3,0）、B（4,4）、O（0,0）在抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)上.
∴
9 3 0,
16 4 4,
0,
a b c
a b c
c
解得
1,
3,
0.
a
b
c
∴ 抛物线的解析式为：y＝x2－3x
（2）设直线 OB 的解析式为 y ＝ k1 x( k1≠0)，由点 B(4,4)得
4＝4 k1，解得 k1＝1.
∴ 直线 OB 的解析式为 y = x，∠AOB = 45°.
∵ B（4,4），
∴ 点 B 向下平移 m 个单位长度的点 B′的坐标为（4,0），
故 m = 4.
∴ 平移 m 个单位长度的直线为 y = 的长的取值范围为 .
15.对于任何的实数 t，抛物线 y=x2 +(2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 .
16、如图所示，在△ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，
动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于点 D，∠CBP 的平分线交 CE 于 Q，
当 CQ= 1
3
CE 时， EP+BP=____________.
(第 14 题)
三、解答题（每本大题共 10 题，共 72 分）
17. (本题 6 分) 计算：． 1212)23(
13
2
+︱1- 60tan ︱
18. (本题 6 分)解方程：（1） 322 xx ； （2）（x﹣4）2=（5﹣2x）2
BA M
O·
19. (本题 6 分)为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知
抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在__________组，中位数在__________组；
（2）样本中，女生身高在 E 组的人数有__________人；
（3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160≤ x y 时小明获胜，否则小强获胜.
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由．
21. (本题 6 分)已知 ABC△ ，延长 BC 到 D，使CD BC ．取 AB 的中点 F ，连结 FD 交 AC
于点 E ．
（1）求 AE
AC
的值；
（2）若 AB a FB EC ， ，求 AC 的长．
22. (本题 6 分)初三（5）班综合实践小组去湖滨花园 测量人工湖的长，如图 A、D 是人工
湖边的两座雕塑，AB、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在 A 点北偏
东 60o 方向，C 点在 B 点北偏东 45o 方向，C 点在 D 点正东方向，且测得 AB=20 米，BC=40
米，求 AD 的长。（ 414.12,732.13 ，结果精确到
0.01 米）
23. (本题 8 分) 如图， ABC△ 是 的内接三角形， AC BC ，D 为 中 上一点，
延长 DA 至点 E ，使CE CD ．
（1）求证： AE BD ；
（2）若 AC BC ，求证： 2AD BD CD ．
24. (本题 8 分)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 AB(单位：米)。现以 AB 所在直线
为 x 轴．以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O．已知
AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax2-4．
(1)求 a 的值；
(2)点 C(一 1，m)是抛物线上一点，点 C 关于原点 0 的对称点为点 D，
连接 CD、BC、BD，求△ BCD 的面积。
25. (本题 10 分) 已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线
m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．
（1）操作发现：直线 l⊥m，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图①所示），
连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线 l 向上平移到如图②的位置，试问（1）中的 PA
与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），
若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA•PB=k•AB．
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
第 23 题图
26. (本题 10 分)已知抛物线 与 x 轴交于 A(－1，0)，B 两点，交 y 轴于点 C
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 点 E(m，n)是第二象限内一点，过点 E 作 EF⊥x 轴交抛物线于点 F，过点 F 作 FG⊥y
轴于点 G，连接 CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求 n 的值并直接写出 m 的取值范围（利用图
1 完成你的探究）．
(3) 如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B），PM⊥x 轴交抛物线于点 M，∠OBQ
＝∠OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求△PBQ 的周长．
21
2y x c
寒假作业（10）综合试卷（四）答案
一、选择题 ：1-4: A A C C 5-8: A B B C
二、填空题：
9.1 10. 22 8 6y x x 11. 072 12. 20
13. 1
3 14. 3 5OM 15.(1，3) 16. 12
三、解答题：
17. 1
2 18.（1） 1 21, 3x x （2） 1 21, 3x x
19.（1）B C（2）2（3）332
20.(1) 1
2 (2)不公平，小明的获胜概率不是 1
2
。
21. （1） 2
3
（2） 3
2 a
22. AD=38.28 米．
23．证明：(1)由同弧所对的圆周角相等，知∠ ∠ .
∵ , ,∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ,
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即：∠ ∠ .
又∵ , ,
∴ △ ≌△ . ∴ 5 分
(2) ∵ ，∴
∵ ,∴ ∠ , ∴ ∠ ∠ .
由勾股定理，得
又∵ , ∴ ，∴ ,
∴ .
24. （1） （2）l5 平方米
25.（1）PA=PB．（2）成立，理由略
（3）如图③，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，
∵直线 m∥n，∴ ，∴AP=PF，∵∠APB=90°，
∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；
在△AEF 和△BPF 中，
∴△AEF∽△BPF，
∴ ，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，
∴PA•PB=k•AB．
26. (1) y= 1
2
2x − 1
2
(2) 3
2n −2
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