昌平区初三数学期末试题及答案

昌平区 2015-2016学年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 2016．1 学校 姓名 考试编号 考 生 须 知 1．本试卷共 8页，共五道大题，29道小题，满分 120分．考试时间 120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共 10道小题，每小题 3分，共 30分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣2，3）向右平移3个单位长度后得到的对应点 A′的坐标是 A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，1） 2．下面四个几何体中，主视图是圆的是 A B C D 3．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购 买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色， 2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 4. 已知⊙O的半径长为 5，若点 P在⊙O内，那么下列结论正确的是 A. OP＞5 B. OP=5 C. 0＜OP＜5 D. 0≤OP＜5 5．如右图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 sin B的值等于 A． 4 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 3 5 6．已知 ( 2) 2my m x   是 y关于 x的二次函数，那么 m的值为 A．-2 B. 2 C. 2 D. 0 7．如右图，线段 AB是⊙O的直径，弦 CD丄 AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于 A．120° B． 140° C．150° D． 160° 8．二次函数 2 2 3y x x   的最小值为 A. 5 B. 0 C. -3 D. -4 9．如右图，将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A1B1C．若∠A=40°， ∠B1=110°，则∠BCA1的度数是 A．90° B．80° C．50° D．30° 10. 如右图，正方形 ABCD和正三角形 AEF都内接于⊙O，EF与 BC，CD分别相交 于点 G，H，则 EF GH 的值为 A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 二、填空题（共 6道小题，每小题 3分，共 18分） 11．如果 3 cos 2 A  ，那么锐角 A的度数为 . 12．如右图，四边形 ABCD内接于⊙O，E是 BC延长线上一点，若∠BAD=105°， 则∠DCE的度数是 . 13．在一个不透明的口袋中装有 5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2， 3，4， 5，从中随机摸出一个小球，其标号小于．．4的概率为 . 14．如右图，AB是⊙O的直径，弦CD AB 于点 E， 30 2 3CDB CD  ， , 则阴影部分的面积为 . 15．如图 1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为 D， 半圆（量角器）的圆心与点 D重合，此时，测得顶点 C到量角器最高点的距离 CE＝2cm，将量角器 沿DC方向平移1cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为 cm. 16. 如右图，我们把抛物线 y＝－x(x－3)（0≤x≤3）记为 C1， 它与 x轴交于点 O，A1；将 C1绕点 A1旋转 180°得 C2， 交 x 轴于另一点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180°得 C3，交 x 轴 于另一点 A3；……；如此进行下去，直至得 C2016．①C1的对 称轴方程是 ；②若点 P（6047，m）在抛物线 C2016 上， 则 m = . 三、解答题（共 6道小题，每小题 5分，共 30分） 17．计算： 2sin 60 cos30 (sin 45 ) tan 45      ． 18．如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格 点， △ABC的顶点均在格点上. （1）画出将△ABC向右平移 2个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点 B1按逆时针方 向旋转 90°后所得到的△A2B1C2； （2）求线段 B1C1旋转到 B1C2的过程中，点 C1所经过的路径长． 19．抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）直接写出当 y＜0时 x的取值范围． 20. 如下图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC= 32 ，求 AB的长. 21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为 a，b， c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为 A，B， C． （1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概 率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 100吨生活垃圾， 数据统计如下表（单位：吨）： 试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少． 22. 如右图，二次函数 2y x h k( )   的顶点坐标为 M(1，-4). （1）求出该二次函数的图象与 x轴的交点 A，B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P（点 P 与点 M 不重合），使 5 4PAB MABS S△ △ ，若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、解答题（共 4道小题，每小题 5分，共 20分） 23．如右图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点 P 是 CD延长线上的一点，且 AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若 4 3AB   ， 2 3BC  ，求⊙O的半径． 24．某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线 的一部分，记作 G，绳子两端的距离 AB约为 8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离 AC和 BD 基本保持 1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线 G关于直线 AB对称. （1）求抛物线 G的表达式并写出自变量的取值范围； （2）如果身高为 1.5米的小华站在 CD之间，且距点 C的水平距离为 m米，绳子甩过最高处时超过 她的头顶，直接写出 m的取值范围. 25．如图，⊙O的半径为 20，A是⊙O上一点，以 OA为对角线作矩形 OBAC，且 OC=12. 直线 BC 与⊙O交于 D，E两点，求 CE-BD的值. 26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且 sinα= 1 3 ，求 sin2α的值． 小娟是这样给小芸讲解的： 如图 1，在⊙O中，AB是直径，点 C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α， 则 sinα= BC AB = 1 3 ．易得∠BOC=2α．设 BC=x，则 AB=3x，则 AC= 2 2 x．作 CD⊥AB 于 D，求出 CD= （用含 x的式子表示），可求得 sin2α= CD OC = ． 【问题解决】已知，如图 2，点 M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ = 3 5 ，求 sin2β的值. 五、解答题（共 3道小题，第 27，28小题各 7分，第 29小题 8分，共 22分） 27．阅读下列材料： 春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、 亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费 通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出 现了很多的租赁公司. 某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500元 时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆. 根据以上材料解答下列问题： 设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出） . （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为 元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利? 28. 已知，点 O是等边△ABC内的任一点，连接 OA，OB，OC. （1）如图 1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得△ADC. ①∠DAO的度数是 ； ②用等式表示线段 OA，OB，OC之间的数量关系，并证明； （2） 设∠AOB=α，∠BOC=β. ①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图 2中画出符合条件的图形，并说明理 由； ②若等边△ABC的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC的最小值. 29. 在平面直角坐标系 xOy中，已知两点 A(0，3)，B(1，0)，现将线段 AB绕点 B按顺时针方向旋转 90°得到线段 BC，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 C. （1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 1 4 a  . ①求点 C的坐标及该抛物线的表达式； ②在抛物线上是否存在点 P，使得∠POB=∠BAO. 若存在，请求出所有满足条件的点 P的坐标， 若不存在，请说明理由； （2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 D(2，1)，点 Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO. 若符合条件的 Q点的个数是 4个，请直接写出 a的取值范围. 昌平区 2015-2016 学年第一学期初三年级期末质量抽测 数学参考答案及评分标准 2016. 1 一、选择题（共 10道小题，每小题 3分，共 30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C A B D B C 二、填空题（共 6道小题，每小题 3分，共 18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 30° 105° 3 5 2 3  2 3 3 2 x  ，-2 三、解答题（共 6道小题，每小题 5分，共 30分） 17．解： 2sin 60 cos30 (sin 45 ) tan 45      2 3 3 2 1 2 2 2           ………………………………………………………… 4分 3 1 1 4 2    1 4  ． ………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）如图所示. ………………………………………………………… 4分 （2）∵点 C1所经过的路径为一段弧， ∴点 C1所经过的路径长为 90π 4 2π. 180 l    ………………………………… 5分 19．解：（1）由表得，抛物线 2y ax bx c   过点(0，6), ∴c = 6．…………………………………………………………………………… 1分 ∵抛物线 2 6  y ax bx 过点(-1，4)和(1，6), ∴ 4 6, 6 6. a b a b          …………………………………………………………………… 2分 解得， 1, 1. a b       ∴二次函数的表达式为 2 6y x x    ．…………………………………………………… 3分 ∵抛物线 2y ax bx c   过点(0，6)和(1，6), ∴抛物线的对称轴方程为 1 2 x  . ∵当 1 2 x  时， 25 4 y  , ∴抛物线的顶点坐标为 1 25 , 2 4       . …………………………………………………………4分 （2）当 y＜0时 x的取值范围是 x＜-2或 x＞3. …………………………………………………… 5 分 20．解： 过点 C作 CD⊥AB于点 D.…………………………………………………………………1分 在 Rt△ADC中， 30 , 2 3A AC    ， ∴ 1 3 2 CD AC  ，………………………2分 3 cos 2 3 3 2 AD AC A     . ………………3分 在 Rt△CDB中，∠B=45°， ∴∠DCB=∠B=45°. ∴ 3BD CD  .…………………………………………………………………4分 ∴ 3 3AB AD BD    . …………………………………………………… 5分 21．解：（1）画树状图或列表为 垃圾 垃圾箱 A B C a (A,a) (B,a) (C,a) b (A,b) (B,b) (C,b) c (A,c) (B,c) (C,c) ∴ P(垃圾投放正确)= 1 3 . ………………………………………………………………… 4分 (2)∵ 40 2 40 10 10 3    ， ∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为 2 3 .…………………………… 5分 22．解：（1）∵二次函数 2( )y x h k   的顶点坐标为 M(1，-4)， ∴抛物线的表达式为 21 4y x( )   . 令 y=0，得 1 21 3x x  , . ∴抛物线与 x轴的交点坐标为 A(-1，0)，B(3，0). ………………………………… 2分 （2）∵A(-1,0), B(3,0),M(1，-4), ∴AB=4. ∴ 8MABS  △ . ……………………………………………………………………… 3分 ∵AB=4, ∴点 P到 AB的距离为 5时， 5 4PAB MABS S △ △ . 即点 P的纵坐标为 5 . ∵点 P在二次函数的图象上，且顶点坐标为 M(1，-4)， ∴点 P的纵坐标为 5. …………………………………………………………………… 4 分 ∴  25 1 4x   . ∴ x1=-2，x2=4. ∴点 P的坐标为(4，5）或（-2，5）.……………………………………………………… 5 分 四、解答题（共 4道小题，每小题 5分，共 20分） 23．（1）证明：连接 OA． ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°． 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°．……………………1分 又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°． ∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°． ∴OA⊥PA． 又∵点 A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线．………………………………………………………………2分 （2）解：过点 C作 CE⊥AB于点 E． 在 Rt△BCE中，∠B=60°， 2 3BC  ， ∴ 1 3 2 BE BC  ，CE=3．…………………………………………………3分 ∵ 4 3AB   ， ∴ 4AE AB BE   ． ∴在 Rt△ACE中， 2 2 5AC AE CE   ．………………………………4分 ∴AP=AC=5． ∴在 Rt△PAO中， 5 3 3 OA  ． ∴⊙O的半径为 5 3 3 ． …………………………………………………………… 5分 24．解：（1）如图所示建立平面直角坐标系. 由题意可知： ( 4, 0)A  ， (4, 0)B ，顶点 (0,1)E . 设抛物线 G的表达式为 2 1y ax  . ……………………………………………… 2分 ∵ ( 4, 0)A  在抛物线 G上， ∴16 1 0a   ，求得 1 16 a   . ∴ 21 1 16 y x   . ……………………………………………………………………… 3分 自变量的取值范围为-4≤x≤4. ……………………………………………………… 4分 （2） 4 2 4+22 2m ＜ ＜ . ………………………………………………… 5分 25．解：过点 O作OF DE 于点 F. ∴DF EF ． …………………………………… 1分 在矩形 ABOC中，OA=20， ∴ 20BC OA  ， 90BOC   . ……………………… 2分 在 Rt△BOC中，OC=20 ， ∴cos∠ 12 3 20 5 OC OCB BC    . 在 Rt△OCF中，cos∠ 12 CF CF OCF OC   ， ∴ 3 12 5 CF  . ∴ 36 5 CF  . ………………………………………………………………………………3分 64 5 BF BC CF   . …………………………………………………………………4分 ∴ 28 ( ) ( ) 5 CE BD EF CF DF BF BF CF        . ……………………………… 5分 26．解： 2 2 3 x CD  ． ……………………………………………………………………… 1 分 sin2α= CD OC = 4 2 9 ． ……………………………………………………………… 2分 如图，连接 NO，并延长交⊙O于点 Q，连接 MQ，MO，过点 M作MR NO 于点 R． 在⊙O中，∠NMQ=90°． ∵ ∠Q=∠P=β， ∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分 在 Rt△QMN中， ∵ sinβ = 3 5 MN NQ  ， ∴ 设 MN=3k，则 NQ=5k，易得 OM= 2 1 NQ= 5 2 k． ∴ MQ= 2 2 4QN MN k  ． ∵ Δ 1 1 2 2NMQS MN MQ NQ MR    ， ∴ 3 4 5k k k MR   ． ∴ MR= 12 5 k ． ………………………………………………………………………… 4分 在 Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON = 12 245 5 25 2 kMR kOM   ． …………………………… 5分 五、解答题（共 3道小题，第 27，28小题各 7分，第 29小题 8分，共 22分） 27．解：（1）1500-50x（0≤x≤20, x为整数）. …………………………………………………… 1 分 （2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量， ∴日租金收入＝x(1500-50x). …………………………………………………………… 2分 又∵日收益＝日租金收入-平均每日各项支出， ∴y＝x(1500-50x)-6250 ＝－50x2+1500x-6250＝－50(x－15)2+5000. …………………………………… 3分 ∵租赁公司拥有 20辆小型汽车， ∴ 0≤x≤20. ∴当 x＝15时,y有最大值 5000. ∴当日租出 15辆时, 租赁公司的日收益最大，最大值为 5000元. ………………… 4分 （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即 y＝0. ∴－50(x－15) 2 + 5000＝0，解得 x1＝25，x2＝5. …………………………………… 5分 ∴当 5＜x＜25时，y＞0. ……………………………………………………………… 6分 ∵租赁公司拥有 20辆小型汽车， ∴当每日租出 5＜x≤20（x为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利.…………… 7分 28．解：（1）①90°. …………………………………………………………………………………… 1 分 ②线段 OA，OB，OC之间的数量关系是 2 2 2OA OB OC  . 如图 1，连接 OD. ∵△BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°. ∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB. ∴△OCD是等边三角形. ∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°. ∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°. ∴∠AOD=30°，∠ADO=60°. ∴∠DAO=90°. 在 Rt△ADO中，∠DAO=90°， ∴ 2 2 2OA AD OD  . ∴ 2 2 2OA OB OC  . ……………………………………………………………… 3 分 （2）①如图 2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值. 作图如图 2的实线部分.……………………………………………………… 4分 如图 2，将△AOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得△A’O’C，连接 OO’. ∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°. ∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC, ∠A’O’C =∠AOC. ∴△OC O’是等边三角形. ∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°. ∵∠AOB=∠BOC=120°， ∴∠AOC =∠A’O’C=120°. ∴∠BOO’=∠OO’A’=180°. ∴四点 B，O，O’，A’共线. ∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小. …………………………………… 6分 ②当等边△ABC的边长为 1时，OA+OB+OC的最小值 A’B= 3 . ………………… 7分 29．解：（1）①如图 1，过点 C作 CD⊥x轴于点 D. ∴ 90CDB AOB     . ∵∠ABC=90º， ∴ 90ABO CBD     . 又∵ 90OAB ABO    ， ∴ OAB CBD   . ∵AB=BC， ∴△AOB≌△BDC. ∴BD=OA，CD=OB. ∵A(0，3)，B(1，0)， ∴C(4，1). ………………………………1分 ∵抛物线 y=ax2+bx+c经过原点 O，且 1 4 a  ， ∴ 21 4 y x bx  . ……………………………………………………………………2分 又∵抛物线经过点 C(4，1)， ∴ 3 4 b   . ∴该抛物线的表达式为 21 3 4 4 y x x  . ……………………………………………… 3分 ② 当点 P在第一象限时，过点 P作 PG⊥x轴于点 G,连接 OP. ∵∠POB=∠BAO， ∴ 1 tan tan 3 POB BAO    . 设 P(3m，m)，m>0. ……………………………………………………………………… 4分 ∵点 P在 21 3 4 4 y x x  上， ∴ 29 9 4 4 m m m  . 解得： 13 9 m  ， 0m  (舍去). ∴ 13 13 ( ) 3 9 P ， .…………………………………………………………………………… 5分 当点 P在第四象限时，同理可求得 5 5 ( ) 3 9 P ，- . ………………………………… 6分 当点 P在第二、三象限时，∠POB为钝角，不符合题意. 综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO的点 P，点 P的坐标为 13 13( ) 3 9 ， 或 5 5( ) 3 9 ，- . （2） a的取值范围为 1 8 a   或 6 35 6 a   . ………………………………………………… 8分