延庆县初三数学期末试题及答案

延庆县 2014-2015学年第一学期期末测试卷 初 三 数 学 考生 须知 1.本试卷共 6页，共五道大题，25道小题，满分 120分，考试时间 120分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本题共 32分，每小题 4分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题．．．．．．．．意．的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．在一个不透明的口袋中装有 5个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号小于 4的概率为 A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 3. 抛物线 2( 2) 3y x   的顶点坐标是 A．（2，3） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（-2，-3） 4. 如图，□ABCD中，点 E是边 AD的中点，EC交对角线 BD于点 F， 则 EF：FC等于 A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3 5．如图，⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足是 E，OC= 5，CD=8， 则 OE的长为 A．1 B．2 C．3 D． 4 6．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，若 AB＝ 5，BC＝2，则 sinB的值为 A． 5 5 B． 2 5 5 C． 1 2 D．2 7．二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示， 则下列结论中错误．．的是 A．函数有最小值 B．当－1 < x < 2时， 0y  C． 0a b c   D．当 1 2 x  ，y随 x的增大而减小 8．如图，矩形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，E，F分别是边 BC，AD的中点， AB=3，BC=4，一动点 P从点 B出发，沿着 B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到 点 C停止，点 M为图 1中某一定点，设点 P运动的路程为 x，△BPM的面积为 y，表 示 y与 x的函数关系的图象大致如图 2所示．则点 M的位置可能是图 1中的 A．点 C B．点 F C．点 D D．点 O 二、填空题 （本题共 16分，每小题 4分） 9．如果圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 2cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2． 10. 请写出一个开口向下，并且与 y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________． 11. 已知关于 的一元二次方程 2 4 1 0x x m    无实数根，那么 m的取值范围是____． 12. 如图，AD是⊙O的直径． (1)如图 1，垂直于 AD的两条弦 B1C1，B2C2把圆周 4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2 的度数是 ； (2)如图 2，垂直于 AD的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3把圆周 6等分，则∠B3的度数是 ； 图 2图 1 (3)如图 3，垂直于 AD的 n条弦 B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周 2n等分，则∠Bn 的度数是 （用含 n的代数式表示∠Bn的度数）． 图 1 图 2 图 3 三、解答题（本题共 35分，每小题 5分） 13. 计算： 0 218-4sin 45 ( 2015) ( ) 2      14. 解方程： 2 4 5 0x x   15. 已知：二次函数的图象过点 A（2，-3），且顶点坐标为 C（1，-4）． （1）求此二次函数的表达式； （2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当 1 2x   时，y的取值范围. 16. 如图，在⊙O中，弦 AC与 BD交于点 E，AB=8，AE=6，ED=4，求 CD的长． 17．如图，一渔船由西往东航行，在 A点测得海岛 C位于北偏东 60°的方向，前进 30海 里到达 B点，此时，测得海岛 C位于北偏东 30°的方向，求海岛 C到航线 AB的距离 CD的长（结果保留根号）． 18. 已知：AD是△ABC的高， 7AD  ，AB=4， tan 7ACD  ，求 BC的长. 19. 某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间 满足关系：y = ax2 + bx﹣75．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？ 最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润 不低于 16元？ （第 19题） （第 16题） （第 17题） 四、解答题（本题共 15分，每小题 5分） 20. 有六张完全相同的卡片，分 A，B两组，每组三张，在 A组的卡片上分别画上☆○☆， B组的卡片上分别画上☆○○，如图 1所示. （1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张， 求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解） （2）若把 A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到 3张卡片，其正反面标记 如图 2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看 到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？ 21. 如图，在△ABC中，以 AC为直径作⊙O交 BC于点 D， 交 AB于点 G，且 D是 BC中点，DE⊥AB，垂足为 E， 交 AC的延长线于点 F. （1）求证：直线 EF是⊙O的切线； （2）CF=5，cos∠A = 2 5 ，求 BE的长.[来~源#:*中&教网%] 22. 探究发现: 如图 1，△ABC是等边三角形，点 E在直线 BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角 平分线 CF于点 F，当点 E是 BC的中点时，有 AE=EF成立； 数学思考: 某数学兴趣小组在探究 AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思 想，通过验证得出如下结论： 当点 E是直线 BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论 AE=EF仍然成立．请你从“点 E在线段 BC上”；“点 E在线段 BC延长线”；“点 E在线段BC反向延长线上”三种情 况中，任选一种情况，在图 2中画出图形，并证明 AE=EF． 拓展应用:当点 E在线段 BC的延长线上时，若 CE=BC，在图 3中画出图形，并运用上 述结论求出 S△ABC：S△AEF的值． ○ ☆☆ ☆ ○ ○ 图 1 ○ ○○ ☆ ☆ ☆ 图 2 五、解答题（本题共 22分，第 23题 7分，第 24题 9分，第 25题 6分） 23. 已知关于 x的一元二次方程 2 12 0 2 kx x     有实数根， k为正整数. （1）求 k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数 2 12 2 ky x x     的图象 向下平移 9个单位，求平移后的图象的表达式； （3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与 x轴交于点 A，B（点 A在点 B左侧）， 直线 ( 0)y kx b k   过点 B，且与抛物线的另一个交点为 C，直线 BC上方的抛物 线与线段 BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求 k的取值范围. 24. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧 AC上，任取一点 D， 连接 AD，BD，CD， （1）如图 1， BAC   ，直接写出∠ADB的大小（用含 的式子表示）； （2）如图 2，如果 BAC=60°，求证：BD+CD=AD； （3）如图 3，如果 BAC=120°，那么 BD+CD与 AD之间的数量关系是什么？写出猜测 并加以证明； （4）如果 BAC   ，直接写出 BD+CD与 AD之间的数量关系. 图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C1: 2 2 4y mx mx    （ ）与抛物线 C2: 2 2y x x  ， （1）抛物线 C1与 轴交于点 A，其对称轴与 轴交于点 B．求点 A，B的坐标； （2）若抛物线 C1在 2 1x    这一段位于 C2下方，并且抛物线 C1在1 3x  这一段 位于 C2上方，求抛物线 C1的解析式. ----------------5分 ------------------4分 ----------------------2分 ----------------------1分 ------------------4分 ------------------5分 ------------------4分 ------------------5分 ------------------5分 ------------------4分 ---------------3分 延庆县 2 014—2015学年第一学期期末测试答案 初 三 数 学 一、选择题（共 32分，每小题 4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C A B D 二、填空题（共 16分，每题 4分） 题号 9 10 11 12 答案 10 2 2y x   5m  4522.5 ,67.5 ,75 ,90 n       三、解答题（本题共 35分，每小题 5分） 13. 计算： 0 218-4sin 45 ( 2015) ( ) 2      = 22 2 4 1 4 2     =5 14．解方程： 2 4 5 0x x   解 1: ( 5)( 1) 0x x   ∴ 1 25, 1x x   解 2: 2 4 5 0x x   2 4 4 9x x   2( 2) 9x   2 3x    ∴ 1 25, 1x x   解 3: 2 4 5 0x x   ∵a=1,b=-4,c=-5 ∴ 2 4 4 6 2 2 b b acx a       ∴ 1 25, 1x x   15.(1) 设二次函数的表达式为 2( )y a x h k   ∵此函数图象顶点 C（1，﹣4） ∴ 2( 1) 4y a x   过点 A（2，-3）， ∴a=1 -------4分 -----------2分 ---------3分 -----------5分 ---------2分 ---------3分 -------5分 ∴二次函数的解析式: 2 2 3y x x   （2） 二次函数的解析式: 2 2 3y x x   当 x= -1时，y=0 当 x=1时，y有最小值，为 y=-4 ∵x=1在 1 2x   内 ∴当 1 2x   时，y的取值范围-4 ≤ y ＜0 16. 解：∵∠B=∠C，∠A=∠D ∴△ABE∽△CDE ∴ AB AE CD DE  ∵AB=8，AE=6，ED=4， ∴ 8 6 4CD  ∴ 16 3 CD  17. 解： ∵DA⊥AD，∠DAC=60°， ∴∠1=30°. ∵EB⊥AD，∠EBC=30°， ∴∠2=60°. ∴∠ACB=30°. ∴BC = AB=30. 在 Rt△ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°， ∴ tan 2 CD BC   ---------1分 ---------2分 ---------3分 --------4分 ---------5分 ---------2分 ---------4分 ---------5分 ---------5分 ---------4分 ---------3分 ---------1分 ∴ 3tan 60 30 2 CD    ∴ 15 3CD  18. 分两种情况： （1）如图 1 在 Rt△ABD中，∠CDB=90°， 7AD  ，AB=4， 由勾股定理可得： 2 2 2 24 ( 7) 3BD AB AD     . 在 Rt△ACD中，∠ADC=90°， 7AD  ， ∵ tan 7ACD  ， 7AD  ， ∴ tan 7ADACD CD    . ∴CD=1. ∴BC=4. （2）如图 2 同理可求：BD=3，CD=1 ∴BC=2. 综上所述：BC的长为 4或 2. 图 1 图 2 19. 解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16）， ∴ ， 解得 ， y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25） 当 x=10时，y 最大=25， 答：销售单价为 10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为 25元； （2）∵函数 y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线 x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数 y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下， ∴当 7≤x≤13时，y≥16． 答：销售单价不少于 7元且不超过 13元时，该商品每天销售利润不低于 ---------5分 ---------4分 ---------2分 ---------1分 ---------3分 16元． 20. （1）方法 1：由题意： 从树状图中可以看到，所有可能结果共 9种，且每种结果出现的可能性相等，其 中两张卡片上标记都是☆的结果共 2种，所以 2( ) 9 P 两张都是☆ . 方法 1：由题意可列表如下： ☆ ○ ☆ ☆ （☆，☆） （☆，○） （☆，☆） ○ （○，☆） （○，○） （○，☆） ○ （○，☆） （○，○） （○，☆） 从表中可以看到，所有可能结果共 9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两 张卡片上标记都是☆的结果共 2种，所以 2( ) 9 P 两张都是☆ . （2） 1 2 21.证明：（1）连接 CD ∵AO=CO，CD=BD ∴OD //AB ∴∠ODE=∠DEB ∵DE⊥AB ∴∠DEB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥BC ∴直线 EF是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为 x，则 OC=OA=OD， ∵OD //AB ∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A ∵OC=OD ∴∠ODC=∠OCD ∴∠B =∠OCD ∴AC=BC=2 ∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE． ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC， ∴∠GAE=∠FEC． 在△AGE和△ECF中 ---------5分 ---------4分 ---------3分 ---------2分 ， ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； 拓展应用：如图二： ∵△ABC是等边三角形，BC=CE ∴CE=BC=AC， ∴∠CAH=30°， 作 CH⊥AE于 H点， ∴∠AHC=90°． ∴CH= AC，AH= AC， ∵AC=CE，CH⊥AE ∴AE=2AH= AC． ∴ ． 由数学思考得 AE=EF， 又∵∠AEF=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴△ABC∽△AEF． ∴ = = ． 五、解答题（本题共 22分，第 23题 7分，第 24题 9分，第25题 6分） 23. （1）∵关于 x的一元二次方程 2 12 0 2 kx x     有实数根 ∴ 2 14 4 4 0 2 kb ac         ∴ 1 2k   ∴ 3k  …………………………………………………1分 ∵ k为正整数 ∴ k的值是 1,2,3 ……………………………………2分 （2）方程有两个非零的整数根 当 1k  时， 2 2 0x x  ，不合题意，舍 当 2k  时， 2 12 0 2 x x   ，不合题意，舍 当 3k  时， 2 2 1 0x x   ， 1 2 1x x   ∴ 3k  ……………………………3分 ∴ 2 2 1y x x   ∴平移后的图象的表达式 2 2 8y x x   ………………4分 (1) 90 2 ADB     （3）令 y =0， 2 2 8 0x x   ∴ 1 24, 2x x   ∵与 x轴交于点 A，B（点 A在点 B左侧） ∴A（-4,0），B（2,0） ∵直线 l： y kx b  ( 0)k  经过点 B， ∴函数新图象如图所示，当点 C在抛物 线对称轴左侧时，新函数的最小值有 可能大于 5 ． 令 5y   ，即 2 2 8 5x x    ． 解得 1 3x   ， 2 1x  （不合题意，舍去）． ∴抛物线经过点 ( 3, 5)  ． ……………5分 当直线 y kx b  ( 0)k  经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得 1k  …………6分 由图象可知，当0 1k  时新函数的最小值大于 5 ． ………………………7 分 （也可以用三角形相似求出-5以及 k的值） 24. ………………1分 （2）延长 BD到 E，使得 DE=DC ∵ BAC=60°，AB=AC ∴△ABC是等边三角形 ………………2分 ∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60° ∵四边形 ABCD内接于圆 ∴∠BAC+∠BDC=180° ∵∠BDC+∠EDC=180° ∴∠BAC=∠EDC=60° ∵DC=DE ∴△DCE是等边三角形 ………………3分 ∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD≌△BCE ∴BE=AD ∵BE=BD+DE ∴AD=BD+CD ………………4分 （3）延长 DB到 E，使得 BE=DC，连接 AE， 过点 A作 AF⊥BD于点 F， ∵AB=AC ∴∠1=∠2 ………………5分 ∵四边形 ABCD内接于圆 ∴∠DBA+∠ACD=180° ∵∠EBA+∠DBA =180° ∴∠EBA=∠DCA ∵BE=CD，AB=AC ∴△EBA≌△DCA ∴∠E=∠1 ∴AE=AD………………6分 在 Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴ cos 1 DF AD   ………………………………7分 ∵∠1=90°- 2  =30°, ∴ 3cos30 2 DF AD AD   ∴ 2 3DE DF AD  ∵ BE=BD+CD ∴ 3BD CD AD  …………………………………………8分 (4) 2 cos(90 ) 2 DF AD     ……………………………………………9分 25. （1）根据: 2 2 4y mx mx    2 1 2 2 b mx a m       可得点 A(0,4)，B(1,0) ……………………………2分 (2)根据对称, 抛物线 C1在 2 1x    这一段位于 C2下方,相当于抛物线 C1在3 4x  这 一段位于 C2下方 … …………………………3分 ∵抛物线 C1在1 3x  这一段位于 C2上方， ∴两条抛物线的交点横坐标:x=3……………………………4分 ∴把 x=3代入 2 2y x x  ∴y=3 ∴抛物线 C1： 2 2 4y mx mx    经过点（3,3）……………………………5分 ∴ 1 3 m   ∴抛物线 C1的解析式: 21 2 4 3 3 y x x   ……………………………6分