西城区初三数学期末试题及答案

北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末试卷 九年级数学 2015. 1 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数 2( +1) 2y x   的最大值是 A． 2 B． 1 C．1 D．2 2．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 CD 延长线上一点，如果 ∠ADE=120°，那么∠B 等于 A．130° B．120° C．80° D．60° 3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 4．把抛物线 2= +1y x 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 A．  23 1y x   B．  23 3y x   C．  23 1y x   D．  23 3y x   5．△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是 1∶2，如果△ABC 的面 积是 3，那么△A′B′C′的面积等于 A．3 B．6 C．9 D．12 6．如果关于 x 的一元二次方程 2 1 1 04x x m    有实数根，那么 m 的取值范围是 A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB= 90 ，AC=12，BC=5， CD⊥AB 于点 D，那么sin BCD 的值是 A． 5 12 B． 5 13 C．12 13 D．12 5 8．如图，在 10×10 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正 方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中 的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物 线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于 y 轴的抛物线与网 格对角线 OM 的两个交点为 A，B，其顶点为 C，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形， 3 2AB  ，且点 A，B，C 的横坐标 Ax ， Bx ， Cx 满足 Ax ＜ Bx ＜ Cx ，那么符合上述条件的抛物线条数是 A．7 B．8 C．14 D．16 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 2, )A n 在反比例函数 6y x   的图象上， AB  x 轴于 点 B，那么△AOB 的面积等于 ． 10．如图，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB′C′，使 AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点 D， 如果∠D=28°，那么 BAC  °． 11．如图，点 D 为△ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE=3， DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点 B，D 的对应点 为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中， ( ,0)A m ， ( ,0)B m （其中 0m  ），点 P 在以点 (3,4)C 为圆心，半径等于 2 的圆 上，如果动点 P 满足 90APB   ，（1）线段 OP 的长 等于 （用含 m 的代数式表示）；（2）m 的最小值 为 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 23tan30 cos 45 2sin60     ． 14．解方程： 2 4 1 0x x   ． 15．如图，在⊙O 中，点 P 在直径 AB 的延长线上，PC，PD 与⊙O 相切，切点分别为点 C，点 D，连接 CD 交 AB 于 点 E．如果⊙O 的半径等于 3 5 ， 1tan 2CPO  ，求 弦 CD 的长． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个 小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上，将△ ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到 △ AB C  ． （1）在正方形网格中，画出△ AB C  ； （2）计算线段 AB 在旋转到 AB 的过程中所扫过区域的面积． （结果保留 π ） 17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出 (800 10 )a 件．如果商店计划要每天恰好盈利 8000 元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品 的售价是多少元． 18．如果关于 x 的函数 2 ( 2) 1y ax a x a     的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 60°方向上，在 A 的正东 400 米的 B 处，测得 海中灯塔 P 在它的北偏东 30°方向上．问：灯塔 P 到环海路 的距离 PC 约等于多少米？（ 3 取 1.732，结果精确到 1 米） 20．如图，在正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中顶点 E，F，G 分别在 AB，BC，FD 上． （1）求证：△EBF∽△FCD； （2）连接 DH，如果 BC=12，BF=3，求 tan HDG 的值． 21．如图，在⊙O 中，弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称．E 为半径 OC 上一点， 3OC OE ， 连接 AE 并延长交⊙O 于点 F，连接 DF 交 BC 于点 M． （1）请依题意补全图形； （2）求证： AOC DBC   ； （3）求 BM BC 的值． 22． 已知抛物线 C： 2= 2 3y x x  . 抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标 抛物线 C： 2= 2 3y x x  ( )A ( )B (1,0) (0, 3) 变换后的抛物线 1C （1）补全表中 A，B 两点的坐标，并在所给的平面直 角坐标系中画出抛物线 C； （2）将抛物线 C 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍， 纵坐标变为原来的 1 2 ，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为 1C ），且抛物线 1C 的顶点是抛物 线 C 的顶点的对应点，求抛物线 1C 对应的函数 表达式. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 1( ,2)2A ， (3, )B n 在反比例函数 my x  （m 为常 数）的图象 G 上，连接 AO 并延长与图象 G 的另一个交点为点 C，过点 A 的直线 l 与 x 轴的交点为点 (1,0)D ，过点 C 作 CE∥x 轴交直线 l 于点 E． （1）求 m 的值及直线 l 对应的函数表达式； （2）求点 E 的坐标； （3）求证： BAE ACB   ． 24．如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，直线 l 经过点 A 并与 AC 垂直．当点 P 在直线 l 上运动到某一位置（点 P 不与点 A 重合）时，连接 PC，并将△ACP 绕点 C 按逆时针 方向旋转 60 得到△BCQ，记点 P 的对应点为 Q，线段 PA 的长为 m（ 0m  ）． （1）① QBC =  ； ② 如图 1，当点 P 与点 B 在直线 AC 的同侧，且 3m  时，点 Q 到直线 l 的距离 等于 ； （2）当旋转后的点 Q 恰好落在直线 l 上时，点 P，Q 的位置分别记为 0P ， 0Q ．在图 2 中画出此时的线段 0P C 及△ 0BCQ ，并直接写出相应 m 的值； （3）当点 P 与点 B 在直线 AC 的异侧，且△PAQ 的面积等于 3 4 时，求 m 的值． 25．如图 1，对于平面上不大于 90 的 MON ，我们给出如下定义：若点 P 在 MON 的内 部或边界上，作 PE OM 于点 E， PF ON 于点 F ，则称 PE PF 为点 P 相对于 MON 的“点角距离”，记为  ,d P MON ． 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对于 xOy ，点 P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足  ,d P xOy  5，点 P 运动形成的图形记为图形 G． （1）满足条件的其中一个点 P 的坐标是 ，图形 G 与坐标轴围成图形的面积 等于 ； （2）设图形 G 与 x 轴的公共点为点 A，已知 (3,4)B ， (4,1)M ，求  ,d M AOB 的值； （3）如果抛物线 21 2y x bx c    经过（2）中的 A，B 两点，点 Q 在 A，B 两点之间 的抛物线上（点 Q 可与 A，B 两点重合），求当  ,d Q AOB 取最大值时，点 Q 的坐标． 北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末 九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D D B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．3． 10.28． 11. 4 15 ． 12.（1）m；（2）3. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解： 23tan30 cos 45 2sin60     2 3 2 33 23 2 2          ……………………………………………………… 3 分 13 32    1.2  ………………………………………………………………………………… 5 分 14．解： 2 4 1 0x x   ． ∵ 1a  ， 4b   ， 1c  ， ……………………………………………………… 1 分 ∴ 2 24 ( 4) 4 1 1 12b ac       ．……………………………………………… 2 分 ∴ 2 4 4 12 2 2 b b acx a      ……………………………………………… 3 分 4 2 3 2 32    ． ∴ 原方程的解是 1 2 3x   ， 2 2 3x   ．…………………………………… 5 分 15．解：连接 OC．（如图 1） ∵ PC，PD 与⊙ O 相切，切点分别为点 C，点 D， ∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1 分 PC=PD，∠OPC=∠OPD． ∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2 分 ∵ 2 1tan CPO ， ∴ 1tan tan 2OCE CPO    ．……………3 分 设 OE=k，则 CE=2k， 5OC k ．（ 0k  ） ∵ ⊙ O 的半径等于 3 5 ， 图 1 ∴ 5 3 5k  ，解得 3k  ． ∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4 分 ∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5 分 16．（1）画图见图 2． …………………………… 2 分 （2）由图可知△ ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3， 所以 AB=5．…………………… 3 分 线段 AB 在旋转到 AB 的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为 90°，半径为 5． ……………………………………… 4 分 ∴ 2 21 1 25π π 5 π4 4 4AB BS AB     扇形 ． …………………………………… 5 分 所以线段 AB 在旋转到 AB 的过程中所扫过区域的面积为 25 π4 ． 17．解：根据题意，得 ( 20)(800 10 ) 8000a a   ．（20≤a≤80） …………………… 1 分 整理，得 2 100 2400 0a a   ． 可得 ( 40)( 60) 0a a   ． 解方程，得 1 40a  ， 2 60a  ．…………………………………………………… 3 分 当 1 40a  时，800 10 800 10 40 400a     （件）． 当 2 60a  时，800 10 800 10 60 200a     （件）． 因为要使每天的销售量尽量大，所以 40a  ． ………………………………… 4 分 答：商店计划要每天恰好盈利 8000 元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售 价应是 40 元．……………………………………………………………………… 5 分 18．解：（1）当 0a  时，函数 2 1y x  的图象与 x 轴只有一个公共点成立．…………1 分 （2）当 a≠0 时，函数 2 ( 2) 1y ax a x a     是关于 x 的二次函数． ∵ 它的图象与 x 轴只有一个公共点， ∴ 关于 x 的方程 2 ( 2) 1 0ax a x a     有两个相等的实数根． ………2 分 ∴ 2( 2) 4 ( 1) 0a a a      ．………………………………………………3 分 整理，得 23 4 0a   ． 解得 2 33a   ．…………………………………………………………… 5 分 综上， 0a  或 2 33a   ． 图 2 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：如图 3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°． ………………………………………… 2 分 ∴ 30APB PBC PAC     ． ∴ ∠PAC=∠APB． ∴ PB=AB= 400．…………………………… 3 分 在 Rt△PBC 中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400， ∴ 3sin 400 200 3 346.42PC PB PBC       ≈346（米）．………………4 分 答：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于 346 米． …………………………………… 5 分 20．（1）证明：如图 4． ∵ 正方形 ABCD，正方形 EFGH， ∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°， BC=CD，GH=EF=FG． 又∵ 点 F 在 BC 上，点 G 在 FD 上， ∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°， ∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1 分 ∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2 分 （2）解：∵ BF=3，BC=CD=12， ∴ CF=9， 2 2 15DF CF CD   ． 由（1）得 BE CF BF CD  ． ∴ 3 9 9 12 4 BF CFBE CD     ． …………………………………………… 3 分 ∴ 2 2 15 4GH FG EF BE BF     ．……………………………………4 分 45 4DG DF FG   ． ∴ 1tan 3 GHHDG DG    ． ………………………………………………… 5 分 21．（1）补全图形见图 5．…………………………………………1 分 （2）证明：∵ 弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称， ∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2 分 又∵ 2AOC ABC   ， ∴ AOC DBC   ．……………………………3 分 （3）解：∵ ， ∴ ∠A=∠D． 又∵ AOC DBC   ， ∴ △AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4 分 ∴ OE BM OA BD  ． ∵ 3OC OE ，OA =OC， 图 4 图 5 图 3 ∴ 1 3 BM OE OE BD OA OC    ． ∵ 弦 BC，BD 关于直径 AB 所在直线对称， ∴ BC=BD． ∴ 1 3 BM BM BC BD   ．………………………………………………………… 5 分 22．解：（1） ( 1, 4)A   ， ( 3,0)B  ． ……………………………………………………… 2 分 画图象见图 6．……………………………………………………………… 3 分 （2）由题意得变换后的抛物线 1C 的相关点的坐标如下表所示： 抛物线 顶点坐标 与 x 轴交点坐标 与 y 轴交点坐标 变换后的抛物线 1C ( 2, 2)A   ( 6,0)B  (2,0) (0, 1.5) 设抛物线 1C 对应的函数表达式为 2( 2) 2y a x   ．（a≠0） ∵ 抛物线 1C 与 y 轴交点的坐标为 (0, 1.5) ， ∴ 3 4 22 a   ． 解得 1 8a  ． ∴ 2 21 1 1 3( 2) 28 8 2 2y x x x      ．……… 5 分 ∴ 抛物线 1C 对应的函数表达式为 21 1 3 8 2 2y x x   ． 说明：其他正确解法相应给分． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23．解：（1）∵ 点 1( ,2)2A 在反比例函数 my x  （m 为常数）的图象 G 上， ∴ 1 2 12m    ．………………………………………………………………1 分 ∴ 反比例函数 my x  （m 为常数）对应的函数表达式是 1y x  ． 设直线 l 对应的函数表达式为 y kx b  （k，b 为常数，k≠0）． ∵ 直线 l 经过点 1( ,2)2A ， (1,0)D ， ∴ 1 2,2 0. k b k b       解得 4, 4. k b     ∴ 直线 l 对应的函数表达式为 4 4y x   ． ………………………………2 分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点 C 的坐标为 1( , 2)2C   ． ………… 3 分 图 6 ∵ CE∥x 轴交直线 l 于点 E， ∴ E Cy y ． ∴ 点 E 的坐标为 3( , 2)2E  ．………………………………………………… 4 分 （3）如图 7，作 AF⊥CE 于点 F，与过点 B 的 y 轴的垂线交于点 G，BG 交 AE 于点 M， 作 CH⊥BG 于点 H，则 BH∥CE， BCE CBH   ． ∵ 1( ,2)2A ， 1( , 2)2C   ， 3( , 2)2E  ， ∴ 点 F 的坐标为 1( , 2)2F  ． ∴ CF=EF． ∴ AC=AE． ∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5 分 ∵ 点 (3, )B n 在图象 G 上， ∴ 1 3n  ， ∴ 1(3, )3B ， 1 1( , )2 3G ， 1 1( , )2 3H  ． 在 Rt△ABG 中， 12 23tan 1 33 2 AGABH BG       ， 在 Rt△BCH 中， 1 2 23tan 1 33 2 CHCBH BH       ， ∴ ABH CBH   ．………………………………………………………… 6 分 ∴ BCE ABH   ． ∵ BAE AMH ABH AEC ABH         ， ACB ACE BCE     ， ∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7 分 24．解：（1）① QBC = 90  ；………………………………………………………………1 分 ② m=3 时，点 Q 到直线 l 的距离等于 32+ 32 ．……………………………… 2 分 （2）所画图形见图 8．………………………… 3 分 4 33m  ．……………………………… 4 分 （3）作 BG⊥AC 于点 G，过点 Q 作直线 l 的垂线交 l 于点 D，交 BG 于点 F． ∵ CA⊥直线 l， 图 7 图 8 ∴ ∠CAP=90  ． 易证四边形 ADFG 为矩形． ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 4， ∴ ∠ACB=60  ， 1 22DF AG CG AC    ， 1 302CBG CBA    ． ∵ 将△ACP 绕点 C 按逆时针方向旋转 60 得到△BCQ， ∴ △ACP≌△BCQ． ∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90  ． ∴ ∠QBF=60  ． 在 Rt△QBF 中，∠QFB=90  ，∠QBF=60  ，BQ=m， ∴ 3 2QF m ．…………………………………………………………… 5 分 要使△PAQ 存在，则点 P 不能与点 A， 0P 重合，所以点 P 的位置分为以下两 种情况： 1 如图 9，当点 P 在（2）中的线段 0P A上（点 P 不与点 A， 0P 重合）时， 可得 4 30 3m  ，此时点 Q 在直线 l 的下方． ∴ 32 2DQ DF QF m    ． ∵ 1 3 2 4APQS AP DQ    ， ∴ 1 3 3(2 )2 2 4m m  ． 整理，得 23 4 3 0m m   ． 解得 1 3 3m  或 2 3m  ． 经检验， 3 3m  或 3 在 4 30 3m  的范围内，均符合题意．… 7 分 2 如图 10，当点 P 在（2）中的线段 0AP 的延长线上（点 P 不与点 A， 0P 重 合）时，可得 4 3 3m  ，此时点 Q 在直线 l 的上方． ∴ 3 22DQ QF DF m    ． ∵ 1 3 2 4APQS AP DQ    ， 图 9 ∴ . 1 3 3( 2)2 2 4m m   ． 整理，得 23 4 3 3 0m m   ． 解得 2 3 21 3m  （舍负）． 经检验， 2 3 21 3m  在 4 3 3m  的范围内，符合题意．…………8 分 综上所述， 3 3m  或 3 或 3 2132  时，△PAQ 的面积等于 3 4 ． 25．解：（1）满足条件的其中一个点 P 的坐标是 (5,0) ；………………………………… 1 分 （说明：点 ( , )P x y 的坐标满足 5x y  ，0≤x≤5，0≤y≤5 均可） 图形 G 与坐标轴围成图形的面积等于 25 2 ．…………………………………2 分 （2）如图 11，作 ME⊥OB 于点 E，MF⊥x 轴于点 F，则 MF =1，作 MD∥x 轴，交 OB 于点 D，作 BK⊥x 轴于点 K． 由点 B 的坐标为 (3,4)B ，可求得直线 OB 对应的函数关系式为 4 3y x ． ∴ 点 D 的坐标为 3( ,1)4D ， 3 134 4 4DM    ． ∴ OB=5， 4sin 5 BKAOB OB    ， 4sin sin 5MDE AOB    ． ∴ 13 4 13sin 4 5 5ME DM MDE      ． ……………………………………… 3 分 ∴ 13 18( , ) 15 5d M AOB ME MF      ． ……………………………………… 4 分 （3）∵ 抛物线 21 2y x bx c    经过 (5,0)A ， (3,4)B 两点， ∴ 2 2 10 5 5 ,2 14 3 3 .2 b c b c             解得 2, 5.2 b c   ∴ 抛物线对应的函数关系式为 21 522 2y x x    ．………………………5 分 图 10 图 11 如图 12，作 QG⊥OB 于点 G，QH⊥x 轴于点 H．作 QN∥x 轴，交 OB 于点 N． 设点 Q 的坐标为 ( , )Q m n ，其中 3≤m≤5， 则 21 522 2QH n m m     ． 同（2）得 4sin sin 5QNG AOB    ． ∴ 点 N 的坐标为 3( , )4N n n ， 3 4NQ m n  ． ∴ 4 3sin ( )5 4QG NQ QNG m n     4 3 5 5m n  ． ∴ 4 3 4 2( , ) 5 5 5 5d Q AOB QG QH m n n m n        24 2 1 5( 2 )5 5 2 2m m m     21 8 15 5m m    21 21( 4)5 5m    ． ∴ 当 4m  （在 3≤m≤5 范围内）时，  ,d Q AOB 取得最大值（ 21 5 ）． ………………………………………………………… 6 分 此时点 Q 的坐标为 5(4, )2 ．…………………………………………………7 分 图 12