石景山区初三数学期末试题及答案

石景山区 2014—2015 学年度第一学期期末考试试卷 初三数学 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页．全卷共五道大题，25 道小题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回． 第Ⅰ卷（共 32分） 一、选择题（本题共 8道小题，每小题 4分，共 32分） 在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字 母按规定要求填涂在答题纸第 1-8题的相应位置上． 1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC=3，则 sinA的值是 A． 3 4 B． 4 3 C． 5 4 D． 5 3 2．如图，A，B，C都是⊙O上的点，若∠ABC=110°，则∠AOC的度数为 A．70° B．110° C．135° D．140° 3．如图，平行四边形 ABCD中，E为 DC的中点，AC与 BE交于点 F．则 △EFC与△BFA的面积比为 A． 2:1 B． 1∶2 C．1∶4 D．1∶8 4．将抛物线 22xy  向右平移 1 个单位后，得到的抛物线的表达式是 A．  212  xy B．  212  xy C． 12 2  xy D． 12 2  xy 5．将 762  xxy 化为   khxay  2 的形式， h， k的值分别为 A．3， 2 B． 3 ， 2 C．3， 16 D． 3 ， 16 6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆 10 米的 A 处，测得旗杆顶部 B 的 仰角为 ，则旗杆的高度 BC 为 A． tan10 B． tan 10 C． sin10 D． sin 10 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 6 题 第 7 题 7．已知：二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，下列说法中正确的是 A． 0 cba B． 0ab C． 02  ab D．当 0y  时， 1 3x   8．如图，正方形 ABCD的边长为 a，动点 P从点 A出发，沿折线 A→B→D→C的路径运动， 到达点 C时运动停止．设点 P运动的路程长为 x，AP长为 y， 则 y 关于 x的函数图象大致是（ ） A B C D 第Ⅱ卷（共 88分） 二、填空题（本题共 4道小题，每小题 4分，共 16分） 9．一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留 ）10. 写出一个反比例函数  0ky k x   ，使它的图象在各自象限内， y的值随 x值 的增大而减小，这个函数的表达式为 . 11. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点 D在 AC上且 AD＝2， 如果要在 AB上找一点 E，使△ADE与△ABC相似， 那么 AE ＝ ． 12．二次函数 23xy  的图象如图，点 A0位于坐标原点， 点 A1，A2，A3…An在 y轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，…， Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2，C3，…， Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1， 四 边 形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3，…，四边形 An-1BnAnCn都 是 菱 形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3… a  2 1 a  2 2 a 2 a a a 2 a a  2 1 a  2 2 a 2 a a  2 1 a  2 2 aa a  2 1 a  2 2 a 2 a a =∠An-1BnAn=120°.则 A1的坐标为 ； 菱形 An-1BnAnCn的边长为 . 三、解答题（本题共 6道小题，每小题 5分，共 30分） 13．计算：  45sin260cos30tan8 ． 14．已知：二次函数   kxkxy 3232 2  （1）若二次函数的图象过点  0,3A ，求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象与 x轴只有一个交点，求此时 k的值． 15．如图，⊙O与割线 AC交于点 B，C，割线 AD过圆心 O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径 OB=5，AD=13，求弦 BC的长． 16．已知：如图，在△ ABC中， 2BC ， 3ABCS ，  135ABC ，求 AC和 AB的长． 17．一次函数 2 2y x  与反比例函数 ( 0)ky k x   的图象都过点  1,A m ， 2 2y x  的图象与 x轴交于点 B． （1）求点 B坐标及反比例函数的表达式； （2）  0, 2C  是 y轴上一点，若四边形 ABCD是平行四边形，直接写出点 D的坐标， 并判断 D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由． 18．已知：如图，△ ABD中， BDAC  于C， 2 3  CD BC ， E是 AB的中点， 2tan D ， 1CE ，求 ECBsin 和 AD的长． 四、解答题（本题共 4道小题，每小题 5分，共 20分） 19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分 成 三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转 动 转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色 相 同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局． （1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平． 20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函 数图象的一部分，如果球出手处 A点距离地面的高度为 2m，当球运行的水平距离为 6m 时，达到最大高度 5m 的 B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号) 21．已知：如图，Rt△AOB中，  90O ，以 OA为半径作⊙O，BC切⊙O 于点 C，连 接 AC交 OB于点 P． （1）求证：BP=BC； （2）若 3 1sin PAO ，且 PC=7， 求⊙O的半径． 22．阅读下面材料： 小乔遇到了这样一个问题：如图 1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为 CB， CA边上的点，且 AE=BC，BD=CE，BE与 AD的交点为 P，求∠APE的度数； 小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图 2，过点 B作 BF//AD且 BF=AD，连接 EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算 能够使问题得到解决（如图 2）． 请回答： APE 的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题： A B C 图 1 图 2 图 3 如图 3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且 BCAE 2 1  ， CEBD 2 1  ， BE与 AD交于点 P，在图 3 中画出符合题意的图形， 并求出 sin APE 的值． 五、解答题（本题共 22分，第 23题 7分，第 24题 7分，第 25题 8分） 23．已知二次函数  2( 4) 42 5y t x t x   在 0x  与 5x  的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若二次函数的图象与 x轴交于 A，B两点（A在 B左侧），与 y轴交于点 C，一次函数 y kx b  经过 B，C两点，求一次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，过动点  mD ,0 作直线 l //x轴，其中 2m ．将二次函数图象 在直线 l下方的部分沿直线 l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若 直线 y kx b  与新图象 M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围． 24．如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为 AB的中点，∠EDF=90°，DE交 AC于点 G，DF经过点 C． （1）求∠ADE的度数； （2） 如图 2，将图 1 中的∠EDF绕点 D顺时针方向旋转角（  600  ），旋转 过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2 ， DE1 交直线 AC于点 P，DF1 交直线 BC于点 Q，DE2 交直线 AC于点 M，DF2 交直线 BC于点 N，求 PM QN 的值； （3）若图 1 中∠B=   9060  ，（2）中的其余条件不变，判断 PM QN 的值是否 为定值，如果是，请直接写出这个值（用含  的式子表示）；如果不是，请说明 理由． ∴ 代入得： 1 12 a   图 1 图 2 ∴  21 6 5 12 y x    …………….3 分  令 0y  ∴ 15261 x （舍）， 2 6 2 15x   ……………. 4 分 ∴ 1526 OC 答：该同学把实心球扔出 1526  m. ……………… 5 分 21．(1)证明：连接OC ………………1 分  BC是⊙O切线 90OCB   90OCA BCA    OCOA OCA OAC   90O   90OAC APO    APO BPC  90OAC BPC    BPC BCA  BC BP  ………………2 分 (2) 延长 AO交⊙O于点 E，连接 CE 在Rt AOP 中 1sin 3 PAO  设 , 3OP x AP x  则 2 2AO x ………3分 AO OE ， 2 2OE x  4 2AE x  1sin 3 PAO  1 3 CE AE   2 2 3 AC AE   3 7 2 2 34 2 x x    ………4 分 解得：x=3 6 2AO  ……………5分 22．解：(1) ∠APE=45° ………1 分 (2) 过点 B作 FB//AD且 FB=AD，连结 EF和 AF ∴四边形 AFBD是平行四边形， APE FBE   ， DBAF  ………2分 ∵AB是⊙O直径，∴∠C=90° ∴ FAE BCE   =90° ∵ 2CE BD ， 2BC AE ， ∴ 2CE AF ，∴ 2CE BC AF EA   ∴△AEF∽△CBE ……3分 ∴ 1 2 EF BE  ，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90° ……4分 在 Rt△BEF中，∠FEB=90°∴ 1tan 2 EFFBE BE    又∵ APE FBE   ∴ 5sin 5 APE  ……5分 五、解答题（本题共 3道小题，23、24每小题各 7分，25题 8分，共 22分） 23．（1）由题意得  2( 4) 5 2 5 5 4 4t t       ．……………………1 分 解得 5t  ． ∴ 二次函数的解析式为： 2 5 4y x x   ．…………………2 分 （2）令 0y  ,解得 4x  或 1x  ……………………3 分 ∴  1,0A ，  4,0B ， 令 0x  ，则 4y  ∴  0,4C 将 B、C代入 y kx b  ，解得 1k   ， 4b  一次函数的解析式为： 4y x   ……………………4 分 （3） 2 12  m 或0 4m  ……………………7 分 24．解： （1）∵∠ACB=90°，D为 AB的中点 ∴CD=DB ∴∠DCB=∠B ∵∠B=60° ∴∠DCB=∠B=∠CDB=60° ∴∠CDA=120° ∵ ∠EDC=90° ∴∠ADE=30° ………………2 分 （2）∵∠C=90°，∠MDN= 90° ∴∠DMC+∠CND=180° ∵∠DMC+∠PMD=180°， ∴∠CND=∠PMD 同理∠CPD=∠DQN ∴△PMD∽△QND ………4 分 过点 D分别做 DG⊥AC于 G, DH⊥BC于 H 可知 DG， DH分别为△PMD和△QND的高 ∴ PM DG QN DH  …………………5 分 ∵DG⊥AC于 G, DH⊥BC于 H ∴DG ∥BC 又∵D为 AC中点 ∴G为 AC中点 ∵∠C=90°， ∴四边形 CGDH 为矩形有 CG=DH=AG Rt△AGD中， 3 1  AG DG 即 3 3  QN PM ……………………6 分 (3) 是定值，值为 )90tan(  ………7 分 25．解： （1）依题意得： )0,4(D ,  0, 8C  ∴抛物线W 的解析式为： 21 2 8 3 3 y x x   ………………………1 分 另一交点为（6,0） ………………………………………2 分 （2）解法一：依题意:在运动过程中， 经过 t秒后，点 'O 的坐标为： 3 4, 5 5 t t     ………………………3 分 将 'O 代入 21 2 8 3 3 y x x   舍去负值得： 20 3 t  经过 20 3 秒 'O 落在抛物线W 上 …………………………………………4 分 解法二：射线 'OB 解析式为： 4 3 y x  ∴ 2 4 3 1 2 8 3 3 y x y x x          解得： 4 16 3 x y      ∴ 16' 4, 3 O      ……………………………3 分新_课_标第_一_网 ∴ 2 2 16 20' 4 3 3 OO        ∴经过 20 3 秒 'O 落在抛物线W 上 …………………………………4 分 （3）① 设  ,P x y (I)当0 20t  时，即点 P在 ' 'A B 边上， 2' 5 A P t ， 3 4' 6 , 5 5 A t t      ∴ 36 5 x t  ， 6 5 y t  ……………………………5 分 (II)当20 35t  时，即点 P在 ' 'B C 边上（不包含 'B 点）， 2' 8 5 B P t  , 3 4' 6 , 8 5 5 B t t       ， ∴ 1 14 5 x t  ， 48 5 y t   ……………………6 分 综上所述： ∴当0 20t  时， 3 66 , 5 5 P t t      当20 35t  时， 1 414, 8 5 5 P t t       ②当点 P在 ' 'A B 运动时，0 20t  ， 点 P所经过的路径所在函数解析式为： 2 12y x   又∵直线DC 解析式为: 2 8y x   ∴DC∥AP ∴△DCP面积为定值 ……………7 分 ∴CP取得最小值时，点 D到 CP的距离最大， 如图，当 CP⊥AP时，CP取得最小值 过点 P作 PM⊥y轴于点 M，∴∠PMC=90° ∵ 3 66 , 5 5 P t t      ∴ 68 5 CM t  ， 36 5 PM t  ∵∠DCO+∠PCM=90°， ∠CPM+∠PCM=90° ∴ CPM DCO   ∴ 1tan tan 2 CPM DCO    在 Rt△PMC中，∠PMC=90° ∴ 2PM CM ∴ 10 3 t  检验： 100 20 3   ∴经过 10 3 秒时，点 D到 CP的距离最大 ………………8 分