平谷区初三数学期末试题及答案

平谷区 2014～2015 学年度第一学期末考试试卷 初 三 数 学 2015 年 1 月 考 生 须 知 1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答． 2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚． 3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用 2B 铅笔． 4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠． 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下列各小题均有 4 个选项，其中只有一个选项是正确的. 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则sin30 的值是 A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 2．将抛物线 2y x 向下平移 3 个单位，则得到的抛物线解析式为 A． 2 3y x  B． 2 3y x  C．  23y x  D．  23y x  3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sin A 是 A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 4．如图，已知 A、B、C 三点在⊙O 上，∠A=50°，则∠BOC 的度数为 A．50° B．25° C．75° D．100° 5．在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 6．如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且∠EAF=80°，则图中阴影部 分的面积为 A．4 B． 8 9  C． 84 9  D． 88 9  7．若关于 x 的二次函数 2 2 1y kx x   的图象与 x 轴仅有一个公共点，则 k 的取值范围是 A． 0k  B． 1k   C． 1k   D． 0 1k k  且 8．如图反映的过程是：矩形 ABCD 中，动点 P 从点 A 出发，依次沿对角线 AC 、边CD 、 边 DA 运动至点 A 停止，设点 P 的运动路程为 x ， ABPS y△ ．则矩形 ABCD 的周长是 A．6 B．12 C．14 D．15 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．在函数 2 1y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的 底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 米． 11．请写出一条经过原点的抛物线解析式 ． 12．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设 坐标轴的单位长度为 1cm，整点 P 从原点 O 出发，作向上或向右运动，速度为 1cm/s．当整 点 P 从原点出发 1 秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点 P 从原点出发 2 秒时，可到 达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点 P 从原点出发 4 秒时，可以得到的整点的个数 为 个．当整点 P 从原点出发 n 秒时，可到达整点（x,y），则 x、y 和 n 的关系 为 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．已知：如图，D 是 AC 上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE． （1）求证：△ABC∽△DAE； （2）若 AB=8，AD=6，AE=4，求 BC 的长． 14．计算：  0 113tan30 sin 60 2 ( ) 122        ． 15．如图，小明要测量河内小岛 B到河边公路 AD 的距离，在 A 点 测 得 30BAD  °， 在 C 点 测 得 60BCD  °， 又 测 得 50AC  米，求小岛 B 到公路 AD 的距离． 16．我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度 为 18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内 温度 y(℃)随时间 x (小时)变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线 x ky  的一部分．请根据图 中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度 18℃的时间有 小时； （2）求 k 的值； （3）当 x=16 时，大棚内的温度约为 度． 17．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB  CD 于点 E． 连接 AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD． （2）若 BE=3，CD=8，求⊙O 的直径． A B O x(时) y(℃) 2 12 18 C 16 题图 17 题图 18．如图，抛物线经过点 A、B、C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线和 x 轴的另一个交点为 D，求△ODC 的面积． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连结 AP、CP， 延长 CP 交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F． （1）求证：∠DCP=∠DAP； （2）若 AB=2，DP:PB=1:2，且 PA⊥BF，求对角线 BD 的长． 20．如图，BC 为⊙O 的直径，以 BC 为直角边作 Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边 AB 与⊙O 交 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 AC 于点 E，DG⊥BC 于点 F，交⊙O 于点 G． （1）求证：AE=CE； （2）若 AD=4，AE= 5 ，求 DG 的长． 21．如图，一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于 A、B 两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点 C．如果 点 A 的坐标为 4,0 ，OA=2OB，点 B 是 AC 的中点． （1）求点 C 的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式． ②线段 AD，BE 之间的数量关系为 ； （2）如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断∠AEB 的度数及线段 CM， AE，BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，在正方形 ABCD 中，CD= 2 ，若点 P 满足 PD=1，且∠BPD=90°，请求 出点 A 到 BP 的距离． 1 ﹣4 ﹣1 A B C O x y 19 题图 20 题图 平谷区 2014～2015 学年度第一学期末考试试卷答案及评分标准 初 三 数 学 2015 年 1 月 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 1 2x  ；10．5；11．答案不唯一，如： 2y x x  ； 12．（1,1）；… …………………………………………………………………………………1 分 5； ………………………………………………………………………………………2 分 x+y=n………………………………………………………………………………………4 分 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠CAB．……………………………………1 分 ∵∠B=∠DAE， ∴△ABC∽△DAE．…………………… ……………3 分 （2）∴ BC AB AE AD  ．………………………………………4 分 ∵AB=8，AD=6，AE=4， ∴ 8 4 6 BC  ． ∴ 16 3BC  ．…………………………………………5 分 14．解：  0 113tan30 sin 60 2 ( ) 122        3 1 2 2 3    ……………………………………………………………………………4 分 3 3 1  ………………………………………………………………………………………5 分 15．解：过 B 作 BE⊥AD 于 E ∵ 30BAD  °， 60BCE  °， ∴ 30ABC  °．……………………………………1 分 ∴ 30ABC BAD    °．…………………………2 分 ∴BC = AC=50（米）．…………………………………3 分 在 Rt△BCE 中， 3sin 2 BDBCD BC    ． ∴ 25 3BE  （米）． ………………………………………………………………………4 分 答：小岛 B 到公路 AD 的距离是 25 3 米．…………………………………………………5 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A B A D B C D C 16．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度 18℃的时间为 10 小时．………………1 分 （2）∵点 B(12，18)在双曲线 x ky  上， …………………………………………2 分 ∴18= 12 k ， ∴k=216. ………………………………………………………………………3 分 （3）当 x=16 时， 5.1316 216 y ，…………………………………………………4 分 所以当 x=16 时，大棚内的温度约为 13.5 度．……………………………………5 分 17．证明：(1)∵AB为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB  CD 于 E， ∴CE=ED，  CB DB .………………………1 分 ∴ BCD=  BAC. ∵OA=OC, ∴ OAC=  OCA . ∴ ACO=  BCD. …………………………2 分 (2) ∵CE=ED=4，……………………………3 分 方法一：在 Rt  BCE 中， 2 2 5BC CE BE   . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=∠BEC=90°. ∵∠B=∠B， ∴△CBE∽△ABC．………………………………………………………………4 分 ∴ BC AB BE BC  ． ∴ 252 3AB R  .………………………………………………………………5 分 方法二：设⊙O 的半径为 Rcm，则 OE=OB EB=R-3 在 Rt  CEO 中，由勾股定理可得 OC 2 =OE 2 +CE 2 即 R 2 = (R 3) 2 +4 2 解得 R= 25 6 ………………………………………………………………………4 分 ∴2R=2  25 6 = 25 3 ………………………………………………………………5 分 答：⊙O 的直径为 25 3 ． 18．解：（1）由题意知  1,0A  ，  4C 1， ， 设抛物线的解析式为  21 4y a x   ．………………1 分 把  1,0A  代入，解得 a=1．……………………………2 分 ∴  2 21 4 2 3y x x x      ．………………………3 分 1 ﹣4 ﹣1 A B C O x y （2）∵对称轴 x=1， ∴点 D 的坐标为 3,0 ．………………………………………………………………………4 分 ∴ 6ODCS  ．…………………………………………………………………………………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD=AD，∠CDP=∠ADP． ∵DP=DP， ∴△CDP≌△ADP．……………………………………………………………………………1 分 ∴∠DCP=∠DAP． ……………………………………………………………………………2 分 （2）解：∵CD∥BA， ∴△CDP∽△FPB． ∴ 1 2 CD DP BF BP   ．……………………………………3 分 ∵CD=BA， ∴BA=AF． ∵PA⊥BF， ∴PB=PF．………………………………………………4 分 ∴∠PBA=∠PFA． ∴∠PCD=∠PDC． ∴PD =PC=PA． ∴BD=BP+PD． ∵ 1 2 DP BP  ， ∴ 1 2 PA BP  ． 在 Rt△ABP 中， 30ABP   ， ∵AB=2， ∴ 2 3 3AP  ， 4 3 3BP  ． ∴ 2 3BD  ．…………………………………………………………………………………5 分 20．（1）证明：连结 CD， ∵BC 为⊙O 的直径，∠ACB=90°， ∴AC 是⊙O 的切线. 又∵DE 与⊙O 相切， ∴ED=EC. ……………………………1 分 ∴∠1=∠3. ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BDC=90°. ∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°, ∴∠A=∠2. ∴ED=EA. ∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2 分 （2）解：∵AE= 5 , ∴AC=2AE= 2 5 ． 在 Rt△ACD 中， 2 2 2CD AC AD   .…………………………………………………3 分 ∴ 2 5sin 52 5 A   ∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°, ∴∠A=∠4. ∴ 5sin 4 sin 5A   ∴ 2 5 5DF  …………………………………………………………………………………4 分 ∵DG⊥BC 于点 F， ∴DG=2DF= 4 5 5 ．……………………………………………………………………………5 分 21．解：⑴作 CD⊥ x 轴于 D， ∴CD∥BO． ∵OA=2OB， ∴OB=2． ∴  0,2B ．………………………………………1 分 ∵点 B 是 AC 的中点， ∴O 是 AD 的中点．………………………………2 分 ∴OD=OA=4，CD=2OB=4． ∴点 C 的坐 标为 4,4 ．………………………3 分 ⑵设反比例函数的解析式为 ( 0)ky kx   ， ∴ 4 4 16k      ． ∴所求反比例函数的解析式为 16y x   ．……………………………………………………4 分 设一次函数为  0y ax b a   ， ∵A（4,0），C  4,4 ， ∴ 0 4 4 4 a b a b       解得： 1 2 2 a b      ． ∴所求一次函数的解析式为 1 22y x   ．…………………………………………………5 分 22．解：（1）S△ABD：S△ABC= 1：2 ；………………………………………………………1 分 （2）如图，作 OM⊥BC 于 M，作 AN⊥BC 于 N， ∴OM∥AN． ∴△OMD∽△AND．……………………………………2 分 ∴ OD OM AD AN  ． ∵AD=nOD； ∴ 1OD AD n  ∵ 1 2 1 2 BOC ABC BC OMS OM S ANBC AN       ， ∴ 1BOC ABC S OD S AD n     ．……………………………………………………………………3 分 （3） …………………………………………………………………4 分 1OD OE OF AD CE BF    ． ………………………………………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解:（1）证明：    24 1 4 3 3k k k      22 1k  .……………………………………………………………………………………1 分 ∵二次函数有两个不重合的零点 ∴ 12 1 0 .2k k  即 …………………………………………………………………………2 分 ∵ 0k  ∴当 0k  且 1 2k  时，二次函数有两个不重合的零点． …………………………………3 分 （2）解方程得：    24 1 2 1 2 k k x k     , ∴ 3x  或 11x k   ．…………………………………………………………………………4 分 ∵函数的两个零点都是整数， k 是整数， ∴ 1 k 是整数． ∴ 1k   ． ……………………………………………………………………………………5 分 （3）∵k