海淀区初三数学期末试题及答案

2015-2016 学年海淀区九年级第一学期期末练习 数 学 试 卷 （分数：120 分 时间：120 分钟） 2016.1 学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中 相应的位置. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则 sinA 的值是 A． 5 3 B． 5 4 C． 3 4 D． 4 3 2．如图，△ABC 内接于⊙O，若 o100AOB  ，则∠ACB 的度数是 A．40° B．50° C．60° D．80° 3．抛物线 2( 2) 1y x   的顶点坐标是 A． ( 2 1) ， B． ( 2 1) ， C． (2 1)， D． (2 1)， 4. 若点 A（a，b）在双曲线 3y x  上，则代数式 ab-4 的值为 A． 12 B． 7 C． 1 D．1 5．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F， 则△BEF 与△DCF 的面积比为 A． 4 9 B． 1 9 C． 1 4 D． 1 2 6．抛物线 22y x 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线的解析式为 A．  22 1 3y x   B．  22 1 3y x   C．  22 1 3y x   D．  22 1 3y x   7．已知点（ 1 1,x y ）、（ 2 2,x y ）、（ 3 3,x y ）在双曲线 1y x  上，当 321 0 xxx  时， 1y 、 2y 、 3y 的大小关系是 A． 321 yyy  B． 231 yyy  C． 213 yyy  D． 132 yyy  8．如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆上的两点.若 BC=8， 2cos 3D  ， 则 AB 的长为 A． 8 13 3 B． 16 3 C． 24 5 5 D．12 9．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为双曲线 6y x   上一点，点 B 的坐标为（4，0）.若 △AOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为 A．（ 4 ， 3 2 ） B．（4， 3 2  ） C．（ 2 ，3）或（2， 3 ） D．（ 3 ，2）或（3， 2 ） 10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c   与 x 轴只有一个交点 M，与平行于 x 轴的直线 l 交于 A、 B 两点.若 AB=3，则点 M 到直线 l 的距离为 A． 5 2 B． 9 4 C． 2 D． 7 4 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式 ． 12．已知关于 x 的方程 2 6 0x x m   有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 与△ ' ' 'A B C 顶点的横 、 纵坐标都是整数．若△ABC 与△ ' ' 'A B C 是位似图形 ，则位似中 心的坐标是 . 14．正比例函数 1y k x 与反比例函数 2ky x  的图象交于 A、B 两点，若 点 A 的坐标是（1，2），则点 B 的坐标是___________． 15．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有 个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数， 谁人算出我佩服．”若设竿长为 x 尺，则可列方程为 ． 16．正方形 CEDF 的顶点 D、E、F 分别在 △ ABC 的边 AB、BC、AC 上. （1）如图，若 tan 2B  ，则 BE BC 的值为 ； （2）将△ ABC 绕点 D 旋转得到△ ' ' 'A B C ，连接 'BB 、 'CC . 若 ' 3 2 ' 5 CC BB  ，则 tan B 的值为 . 三、解答题（本题共 72 分,第 17～26 题，每小题 5 分，第 27 题 6 分，第 28 题 8 分，第 29 题 8 分） 17．计算： 2sin 30 3tan 60 cos 45     ． 18．解方程： 2 2 5 0x x   . 19．如图，D 是 AC 上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE． 求证：△ABC∽△DAE． 20．已知 m 是方程 2 1 0x x   的一个根，求代数式 2( 1) ( 1)( 1)m m m    的值． 21．已知二次函数 2 8y x bx   的图象与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标为 ( 2,0) ，求点 B 的坐标． 22．如图，矩形 ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够 长），另外两边用长度为 16 米的篱笆（虚线部分）围成.设 AB 边的长度为 x 米，矩形 ABCD 的 面积为 y 平方米. （1）y 与 x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）； （2）求矩形 ABCD 的最大面积． 23．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90 ，D 为 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，AC=12，BC=5． （1）求 cos ADE 的值； （2）当 DE DC 时，求 AD 的长． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x my  与直线 2 kxy 交于点 A（3，1）． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）直线 2 kxy 与 x 轴交于点 B，点 P 是双曲线 x my  上一点，过点 P 作直线 PC∥x 轴，交 y 轴于点 C， 交直线 2 kxy 于点 D．若 DC=2OB，直接写出点 P 的坐标为 ． 25．如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在 A 、B 两点测得塔顶的仰角 45 , 50 .     AB 为 10 米．已知小嘉的眼睛距地面的高度 AC 为 1.5 米，计算塔的高度．（参考数据：sin50 取 0.8， cos50取 0.6， tan50 取 1.2） 26．如图，△ ABC 内接于⊙O，过点 B 作⊙O 的切线 DE，F 为射线 BD 上一点，连接 CF． （1）求证： CBE A   ； （2）若⊙O 的直径为 5， 2BF  ， tan 2A  ，求CF 的长． 27．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，定义直线 x m 与双曲线 n ny x  的交点 ,m nA （m、n 为 正整数）为 “双曲格点”，双曲线 n ny x  在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行 于 x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”. （1）①“双曲格点” 2,1A 的坐标为 ； ②若线段 4,3 4,nA A 的长为 1 个单位长度，则 n= ； （2）图中的曲线 f 是双曲线 1 1y x  的一条“派生曲线”，且经过点 2,3A ，则 f 的解析式为 y= ； （3）画出双曲线 3 3y x  的“派生曲线”g（g 与双曲线 3 3y x  不重合），使其经过“双曲格 点” 2,aA 、 3,3A 、 4,bA . 28．（1）如图 1，△ABC 中， 90C   ，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD.若 AC=2， BC=1，则△BCD 的周长为 ； （2）O 为正方形 ABCD 的中心，E 为 CD 边上一点，F 为 AD 边上一点，且△EDF 的周长 等于 AD 的长. ①在图 2 中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图 3 中补全图形，求 EOF 的度数； ③若 8 9 AF CE  ，则 OF OE 的值为 . 29．在平面直角坐标系 xOy 中，定义直线 y ax b  为抛物线 2y ax bx  的特征直线， C ,a b（ ）为其特征点．设抛物线 2y ax bx  与其特征直线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）． （1）当点 A 的坐标为（0，0），点 B 的坐标为（1，3）时，特征点 C 的坐标为 ； （2）若抛物线 2y ax bx  如图所示，请在所给图中标出点 A、点 B 的位置； （3）设抛物线 2y ax bx  的对称轴与 x 轴交于点 D，其特征直线交 y 轴于点 E，点 F 的坐 标为（1,0），DE∥CF. ①若特征点 C 为直线 4y x  上一点，求点 D 及点 C 的坐标； ②若 1 tan 22 ODE   ，则 b 的取值范围是 . 海淀区九年级第一学期期末数学练习 答案及评分标准 2016.1 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A B D C C B B D C B 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 题 号 11 12 13 14 15 16 答 案 1y x   (答案不唯一) 9m  (8,0) ( 1, 2)  2 2 2( 2) ( 4)x x x    1 3(1) ;(2)3 4 三、解答题（本题共 72 分,第 17～26 题，每小题 5 分，第 27 题 6 分，第 28 题 8 分，第 29 题 8 分） 17．（本小题满分 5 分） 解：原式 2 1 23 32 2        ……………………………3 分 1 13 32 2    ……………………………4 分 3 3 ．……………………………5 分 18．（本小题满分 5 分） 解法一： 522  xx . 15122  xx . ……………………………2 分 6)1( 2 x . ……………………………3 分 61 x . 16 x . ∴ 161 x ， 162 x . ……………………………5 分 解法二： 521  cba ，， .  = acb 42  )5(1422  204  = 24 0 . …………………………2 分 ∴ 2 4 2 b b acx a    2 24 2 1    ……………………………3 分 2 2 6 2   1 6   . ∴ 161 x ， 162 x . ………………………………5 分 19．（本小题满分 5 分） 证明：∵DE//AB， ∴∠CAB =∠EDA． ………………………………3 分 ∵∠B=∠DAE， ∴△ABC∽△DAE． ………………………………5 分 20．（本小题满分 5 分） 解：∵ m 是方程 2 1 0x x   的一个根， ∴ 2 1 0m m   ． ………………………………1 分 ∴ 2 1m m  ． ∴ 2 22 1 1m m m    原式 ………………………………3 分 22 2m m  2 ． ………………………………5 分 21．（本小题满分 5 分） 解：∵二次函数 2 8y x bx   的图象与 x 轴交于点 A ( 2,0) ， ∴ 0 4 2 8b   ． ………………………………1 分 ∴ 6b  ． ………………………………2 分 ∴二次函数解析式为 2 6 8y x x   ． ………………………………3 分 即 ( 2)( 4)y x x   ． ∴二次函数 ( 2)( 4)y x x   与 x 轴的交点 B 的坐标为 ( 4,0) ． ……5 分 22．（本小题满分 5 分） 解：（1） 2 16y x x   ； ………………………………2 分 （2）∵ 2 16y x x   ， ∴ 2( 8) 64y x    ． ………………………………4 分 ∵0 16x  ， ∴当 8x  时， y 的最大值为 64． 答：矩形 ABCD 的最大面积为 64 平方米． ………………………………5 分 23．（本小题满分 5 分） 解：解法一：如图，（1）∵DE⊥AB， ∴∠DEA=90°． ∴∠A+∠ADE=90°． ∵∠ACB= 90 ， ∴∠A+∠B=90°． ∴∠ADE=∠B． ………………………………1 分 在 Rt△ABC 中，∵AC=12，BC=5， ∴AB=13． ∴ 5cos 13 BCB AB   ． ∴ 5cos cos 13ADE B   ． ………………………………2 分 （2）由（1）得 5cos 13 DEADE AD    ， 设 AD为 x，则 5 13DE DC x  ．………………………………3 分 ∵ 12AC AD CD   ， ∴ 5 1213 x x  . .………………………………4 分 解得 26 3x  . ∴ 26 3AD  . …………………………5 分 解法二：(1) ∵ 90DE AB C   ， ， ∴ 90DEA C    . ∵ A A   ， ∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ADE B   . ………………………… 1 分 在 Rt△ ABC 中，∵ 12, 5AC BC  ， ∴ 13.AB  ∴ 5cos .13 BCB AB   ∴ 5cos cos .13ADE B   …………………………2 分 (2) 由(1)可知 △ ADE ∽△ ABC ． ∴ .DE AD BC AB  ………………………………3 分 设 AD x ，则 12DE DC x   ． ∴12 5 13 x x  ． .………………………………4 分 解得 26 3x  ． ∴ 26 3AD  ．…………………………5 分 24．（本小题满分 5 分） 解：（1） ∵直线 2 kxy 过点 A（3，1）， ∴1 3 2k  ． ∴ 1k  ． ∴直线的解析式为 2y x  ． ………………………………2 分 ∵双曲线 x my  过点 A（3，1）， ∴ 3m  ． ∴双曲线的解析式为 3y x  ． ………………………………3 分 （2） 3 ,22     或 1, 62      ． ………………………………5 分 25．（本小题满分 5 分） 解：如图，依题意，可得 10 ABCD ， 5.1 ACFG ，  90EFC ． 在 Rt△ EFD 中，∵  =50， 2.1tan  FD EF , ∴ FDEF 2.1 ． 在 Rt△ EFC 中，∵ =45， ∴ FDEFCF 2.1 ． ………………………2 分 ∵ 10 FDCFCD , ∴ 50FD . ∴ 602.1  FDEF . ……………………4 分 ∴ 5.615.160  FGEFEG . 答：塔的高度为 5.61 米. ………………………………5 分 26．（本小题满分 5 分） 解：如图，（1）连接 BO 并延长交⊙O 于点 M，连接 MC． ∴∠A=∠M，∠MCB=90°． ∴∠M+∠MBC=90°． ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠CBE+∠MBC=90°． ∴ MCBE  ． ∴ ACBE  ． ………………………………2 分 (2) 过点C 作CN DE 于点 N . ∴ 90CNF  . 由(1)得， M CBE A     . ∴tan tan tan 2M CBE A    . 在 Rt△BCM 中, ∵ 5 tan 2BM M ， ， ∴ 2 5BC  . ………………………………3 分 在 Rt△CNB 中， ∵ 2 5 tan 2BC CBE  ， ， ∴ 4 2CN BN ， . .………………………………4 分 ∵ 2BF  ， ∴ 4FN BF BN   . 在 Rt△FNC 中， ∵ 4, 4FN CN  ， ∴ 4 2CF  . …………………………5 分 27．（本小题满分 6 分） 解：（1）①（2， 1 2 ）； ………………………………1 分 ②7； ………………………………2 分 （2） 1 1y x   ； ………………………………4 分 （3）如图. ………………………………6 分 28． （本小题满分 8 分） 解：（1） 3； ………………………………1 分 （2）①如图，△ EDF 即为所求； ………………………………3 分 ②在 AD 上截取 AH，使得 AH=DE，连接 OA、OD、OH. ∵点 O 为正方形 ABCD 的中心， ∴OA OD ， 90AOD   ， 1 2 45     . ∴△ODE ≌△OAH . ………………………………4 分 ∴ DOE AOH   ，OE OH . ∴ 90EOH  . ∵△ EDF 的周长等于 AD 的长， ∴ EF HF . ………………………………5 分 ∴△ EOF ≌△ HOF . ∴ 45EOF HOF    . ………………………………6 分 ③ 2 2 3 . ………………………………8 分 29．（本小题满分 8 分） 解：（1）（3，0）； ……………………1 分 （2）点 A 、点 B 的位置如图所示；…………………………3 分 （3）①如图，∵特征点 C 为直线 4y x  上一点， ∴ 4b a  . ∵抛物线 2y ax bx  的对称轴与 x 轴交于点 D， ∴对称轴 22 bx a    . ∴点D的坐标为 2,0（ ）. ……………………………4分 ∵点 F 的坐标为（1,0）， ∴ 1DF  . ∵特征直线 y=ax+b 交 y 轴于点 E， ∴点 E 的坐标为 0,b（ ）. ∵点 C 的坐标为 ,a b（ ）， ∴CE∥DF. ∵DE∥CF， ∴四边形 DECF 为平行四边形. ∴ 1CE DF  .………………………………5 分 ∴ 1a   . ∴特征点 C 的坐标为 1,4（ ）. ………………………………6 分 ② 1 02 b   或 5 48 b  . ………………………………8 分