密云县初三数学期末试题及答案

密云县 2014-2015 学年度第一学期期末 初三数学试卷 2015．1 一、选择题 （本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．选项是符合题意的. 1. 已知 3 4 m n ，那么下列式子中一定成立的是 A． 4 3m n B．3 4m n C． 4m n D． 12mn  2. 如图，△ ABC 中, DE ∥ BC ， 1 3 AD AB  ， 2cmAE  ， 则 AC 的长是 A． 2cm B． 4cm C． 6cm D．8cm 3. 如图，⊙O 是 ABC 的外接圆， 50A   ，则 BOC 的度数为 A． 40 B． 50 C．80 D．100 4. 将抛物线 22y x 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线是 A． 22( 1) 3y x   B． 22( 1) 3y x   C． 22( 1) 3y x   D． 22( 1) 3y x   5.如图，在 Rt ABC ， 90C   ， 8AC  ， 6BC  ，则sin B 的值等于 A． 3 4 B． 3 4 C． 4 5 D． 3 5 6. 如图， AB 是 O 的直径，C D、 是圆上两点， 70CBA   ， 则 D 的度数为 A．10 B． 20 C． 70 D． 90 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，以 (3,4)M 为圆心，半径为 5 的圆与 x 轴的位置关系是 A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 8. 如图， ABC 中， 4AB AC  ， 120BAC   . 点 O 是 BC 中点，点 D 沿 B→A→C 方向从 B 运动 到 C.设点 D 经过的路径长为 x ，OD 长为 y .则函数 y 的图象大致为 D CB A 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 若两个相似三角形对应边的比是 3：2，那么这两个相似三角形面积的比是 . 10. 若反比例函数 1my x  的图象分布在第二、四象限，则 m 的取值范围是______. 11. 若扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm ，那么扇形的面积是____ 2cm . 12. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 放置在平面直角 坐标系中，顶点 A 与坐标原点O 重合，点 B 在 x 轴 上.将正方形 ABCD 沿 x 轴正方向作无滑动滚动， 当 点 D 第 一 次 落 在 x 轴 上 时 ， D 点 的 坐 标 是 ________, D 点经过的路径的总长度是________；当 点 D 第 2014 次落在 x 轴上时， D 点经过的路径的 总长度是_______. 三、解答题（本题共 50 分，每小题 5 分） 13. 计算：sin 60 cos30 2 sin 45 tan 45    14. 如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， ACD ABC   , 1, 3AD AB  .求 AC 的长. 15. 已知二次函数 2 4 3y x x   . （1）求二次函数与 x 轴的交点坐标； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标； （3）写出 y 随 x 增大而减小时自变量 x 的取值范围. 16. 如图，在 DEF 中， 2, 4, 120EF DE DEF     ， 求 DF 的长. 17. 如图， AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙ O 的直径， CD AB ， 垂足为 E . 1, 3CE ED  ，求 AB 长. 18. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶C 的仰角 为30 ，然后沿 AD 方向前行10m ，到达 B 点，在 B 处测得树顶C 的仰角高度为 60 （ A 、B 、D 三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结 果精确到 0.1m ）.（参考数据： 3 ≈1.732） 19. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y x b   和函数 4 ( 0)y xx   都经过 (1, )A m . （1）求 m 值和一次函数的解析式； （2）点 B 在函数 4 ( 0)y xx   的图象上， 且位于直线 y x b   下方.若点 B 的 横纵坐标都为整数，直接写出点 B 的坐标. 20. 在 ABCD 中，tan 2A  ， 2 5AD  ， 4 2BD  ,O 是 BD 中点，OE DC 于 E . (1)求 DBA 的度数. (2)求四边形OBCE 的面积. 21. 如图， AB 是 O 的直径，C 是圆周上一点，OD AC 于点 D . 过C 作 O 的切线，交 OD 的延长线于点 P ,连接 AP . （1）求证： AP 是 O 的切线. （2）若 4 5 AC AB  ， 16 3PD  ，求 O 的半径. 22. 阅读下面材料: 小明遇到下面一个问题： 如图 1 所示， AD 是 ABC 的角平分线， ,AB m AC n  ，求 BD DC 的值. 小明发现，分别过 B ， C 作直线 AD 的垂线，垂足分别为 ,E F .通过推理计算，可以 解决问题（如图 2）.请回答， BD DC  ________. 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如 图 3 ， 四 边 形 ABCD 中 ， 2, 6, 60 ,AB BC ABC BD     平 分 ABC ， CD BD . AC 与 BD 相交于点 O . （1） AO OC =______. （2） tan DCO =__________. 四、解答题（本题共 22 分，23 题、24 题各 7 分，25 题 8 分） 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2+2 2y mx x m   的开口向下，且抛物线与 y 轴 的交于点 A ，与 x 轴交于 B ，C 两点，（ B 在C 左侧）. 点 A 的纵坐标是3 . （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AB 的解析式； （3）将抛物线在点 C 左侧的图形（含点 C ）记为G . 若直线 ( 0)y kx n n   与直线 AB 平行，且与 图形G 恰有一个公共点，结合函数图象写出 n 的 取值范围. 24. ABC 中，AB=AC，将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到线段 AD,其中 0 180   .连结 BD，CD， DAC m DBC   . （1）若 60BAC   ， 30   ,在图 1 中补全图形，并写出 m 值. （2）如图 2，当 BAC 为钝角， BAC   时 ， m 值是否发生改变？证明你的猜想. (3) 如图 3， 90BAC   ， 45DBC DAC     ， BD 与 AC 相交于点 O，求 COD 与 AOB 的面积比. 25. 如 图 1 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 . 直 线 y kx b  与 抛 物 线 2 19 4y mx x n   同时经过 (0,3) (4,0)A B、 . （1）求 ,m n 的值. （2）点 M 是二次函数图象上一点，(点 M 在 AB 下方)，过 M 作 MN  x 轴，与 AB 交于点 N ，与 x 轴交于点Q .求 MN 的最大值. （3）在（2）的条件下，是否存在点 N ,使 AOB 和 NOQ 相似？若存在，求出 N 点坐标，不存在，说明理由. D CB A 密云县 2014-2015 学年度第一学期期末 初三数学试卷参考答案 2015．1 一、选择题（共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A C D B C B B A 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 9：4 10. 1m  11. 3 12. (3,0) , 2+1 2  ； 4027(1007 2 )2  . 三、解答题（本题共 50 分，每小题 5 分） 13. 计算： sin 60 cos30 2 sin 45 tan 45      解：原式= 3 3 22 12 2 2     …………………….4 分（写对一个三角函数值给 1 分） = 3 31 14 4    ………………………………………………….5 分 14.证明： ACD ABC   ， B B   ACD ∽ ABC ………………………………2 分 AD AC AC AB   , …………………………………3 分 1, 3AD AB  3AC  ……………………………………5 分 15. 解：（1）由（1）可得二次函数的解析式为 2 4 3y x x   . 令 0y  ，解得 1x  或 3x  ............................1 分 二次函数与 x 轴的交点坐标为 (1,0) 和 (3,0) …………………2 分 （2） 2 4 3y x x   2 24 2 4 3x x     …………………………………………3 分 = 22) 1x  （ 对称轴是 2x  ，顶点坐标是 (2, 1) ……………………………4 分 (3) 2x  …………………………………………………………………………….5 分 16.解：过 F 作 FG  DE ，交 DE 延长线于点 G……………………………1 分  在 Rt EGF 中， 90EGF   ，  cos EGGEF EF   ，  180 120 60GEF       ， 2EF   cos60 2 EG  解得： 1EG  ， 2 2 3GF EF EG   …………………………………….3 分  5DG EG DE   在 Rt DGF 中， 90 ,DGF   5, 3DG FG  .  2 2 2 7DF DG FG   ………………………………………………………5 分 17. 解： 1, 3CE DE  4CD CE DE    2r  ………………………………………………..1 分 1OE DE OB    ………………………………………2 分 连结 OB. 在 Rt OEB 中， 2 2 3EB OB OE   …………………….3 分 CD 是⊙O 的直径， AB 是⊙ O 的弦， CD 是⊙ O 的直径， CD AB ,垂足为 E AB BE  ………………………………………………………………4 分 2 2 3AB EB   ……………………………………………………..5 分 18.解：由题意可知，CD BD . 设 ,( 0)BD xm x  则 3CD xm ，…………………….1 分 Rt ACD 中， 3 3tan 10 3 CD xCAD AD x     ……….3 分 解得： 5x  ………………………………………………………….4 分 5 3 8.7CD   ………………………………………………….5 分 （其它解法酌情给分） 19. 解： （1） 一次函数 y x b   和函数 4 ( 0)y xx   都经过 (1, )A m . 4 41m   …………………………………………………………..1 分 (1,4)A 1 4 5b b     …………………………………………2 分 4m  ，一次函数的表达式是 5y x   ……………………3 分 （2）满足题意的点 B 的坐标是（2，2）…………………………..5 分 20. 解： (1) 过 D 作 DF AB 于 F. tan 2,A  2.DF AF   2 ,DF k ( 0)k  ,AF k 5 .AD k ………………………………………1 分 2 5AD  2.k   2,AF  4DF  , 4BF  ……………………………………………………………………..2 分 在 Rt DFB 中， DF BF 45DBA   ……………………………………………………………………………………….3 分 （2）可求： 6,DC AB  1 6 4 122DBCS     …………………………………….4 分 可求： 2,DE AE  1 2 2 22ODES     四边形OBCE 的面积是 10.……………………………………………………………….5 分 21. 解： （1）证明：连结 OC. AC 是 O 的弦，OD AC ，OA=OC AOP COP   在 AOP 和 COP 中， OA OC AOP COP OP OP        AOP COP   PCO PAO   ……………1 分 PC 切 O 于点 C 90PCO   90PAO   即 PA AO 又OA 是 O 的半径， AP 是 O 的切线……………………………2 分 （2）连结 BC.  AB 是 O 的直径， AC BC 又 OD AC  / /OD BC 4 5 AD AC AO AB    4 5 CD CO   设 CD=4k,则 CO=5k,OD=3k.(k>0) 90 , 90 ,CPD COD COD OCD          CPD OCD   90 ,PDC CDO     CPD ∽ OCD CD OD PD DC   …………………………………………………………………………3 分 设 CD=4k,则 CO=5k,OD=3k.(k>0) 16 3PD k  ……………………………4 分 16 13PD k   5OC   O 的半径长为 5………………………5 分 22. m n ；（1） 1 3 （2） 3 2 四、解答题（本题共 22 分，23 题、24 题各 7 分，25 题 8 分） 23. (1)  抛物线 2 2+2 1y mx x m   与 y 轴的交点 A 的纵坐标是 3  2 20 +2 0 2 3m m     解得： 1m   ……………………………………………1 分 抛物线开口向下 1m   抛物线的解析式为 2 +2 3y x x   …………..……………………………………2 分 (2) 由（1）可知 ( 1,0), (3,0)B C .设 AB 的解析式为 y kx m  . 则 3 0 m k m     解得: 3 3 m k    AB 的解析式为： 3 3y x  ………………….………………………………………..4 分 (3)当 3y x n  经过 (3,0) 点时， 9n   …………………………………………….5 分 结合图象可知， n 的取值范围是 9n   .………………………………………………7 分 24. （1） 2m  ……………………………………….2 分. (图形正确 1 分，m 值 1 分) （2）解： 180 2ABD    180 180 ( ) 2 2 BAC DACABC          DBC ABC ABD      2 DAC 2m  ………………………………………………4 分 (其它证明方法请酌情给分.) (3) 3 1 2 COD AOB S S    …………………………………7 分 25. 解： （1） 抛物线 2 19 4y mx x n   经过两点 (0,3), (4,0)A B  2 2 190 0 34 194 4 04 m n m n             解得 1 3 m n    所以二次函数的表达式为 2 19 34y x x   . …………………………….2 分 (2)可求经过 AB 两点的一次函数的解析式为 3 34y x   . 2 2 23 193 ( 3) 4 ( 2) 44 4MN x x x x x x              0 4x   当 2x  时， MN 取得最大值为 4.……………………………….4 分 (3)存在. ①当 ON AB 时，（如图 1） 可证： NOQ OAB   ， 90OQN AOB      AOB ∽ OQN .  ON NQ OQ AB OB OA    3, 4OA OB   5,AB   . .ON AB OAOB , 12 5ON   48 36,25 25NQ OQ  . 36 48( , )25 25N ………………………………………6 分 ②当 N 为 AB 中点时，（如图 2） NOQ B   ， 90AOB NQO      AOB ∽ NQO .此时 3(2, )2N . 满足条件的 N 36 48( , )25 25 或 N 3(2, )2 ……………………………………..8 分