门头沟区初三数学期末试题及答案

门头沟区 2014—2015 学年度第一学期期末测试试卷 九 年 级 数 学 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名、考场号和座位号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知 3 2 5x  ，则 x 的值是 A．10 3 B． 15 2 C． 3 10 D． 2 15 2．已知⊙O 的半径是 4，OP=3，则点 P 与⊙O 的位置关系是 A．点 P 在圆内 B．点 P 在圆上 C．点 P 在圆外 D．不能确定 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则 sinB 的值是 A． 5 4 B． 5 3 C． 4 5 D． 3 5 4．如果反比例函数 1my x  在各自象限内，y 随 x 的增大而减小，那么 m 的取值范围是 A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－1 5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果 o100AOB  ，那么 ∠ACB 的度数是 A．40° B．50° C．60° D．80° 6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 的点数，掷这 个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是 A． 1 4 B． 1 6 C． 1 2 D． 1 3 7．将抛物线 25y x 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到新的抛物线，则新 抛物线的表达式是 A． 25( 2) 3y x   B． 25( 2) 3y x   C． 25( 2) 3y x   D． 25( 2) 3y x   8．如图，等边三角形 ABC 边长为 2，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 A→B→C→A 的方向运动，到达点 A 时停止．设运动时间为 x 秒，y=PC，则 y 关于 x 函数 的图象大致为 A B C D 二、填空题：（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 扇形的半径为 9，圆心角为 120°，则它的弧长为_______. 10．三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图 所示. 如果 OA=20cm，OA′=50cm，那么这个三角 尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是 . 11． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 1 3x  ， 在下列结论中，唯一正确的是 . （请将正确的序号填在横线上） ① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0； ④ b2－4ac＜0；⑤ 当 x= 1 3 时，y 的最大值为 9 9 c a ． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 顶点 A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我 们规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位”为一次变换． （1）如果正方形 ABCD 经过 1 次这样的变换得到正方形 A1B1C1D1， 那么 B1 的坐标是 ． （2）如果正方形 ABCD 经过 2014 次这样的变换得到 正方形 A2014B2014C2014D2014，那么 B2014 的坐标是 ． 三、解答题：（本题共 30 分，每题 5 分） 13．计算： tan 30 cos 60 tan 45 sin 30 .       14．已知抛物线 y=x2－4x+3． （1）用配方法将 y=x2－4x+3 化成 y=a(x－h)2+k 的形式； （2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）直接写出当 x 满足什么条件时，函数 y＜0. 15．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，且∠ABC=∠ACD． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若 AD=3，AB=7，求 AC 的长.[来 16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 B 的仰角为 45°，看这栋高 楼底部 C 的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离 AD 为 20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号） 17．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 CD⊥AB 于点 E． （1）求证：∠BCO=∠D； （2）若 CD= 4 2 ，AE=2，求⊙O 的半径． 18．如图，一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 my x  的图象的一个交 点为 A（2，3）． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，若点 P 在反比例 函数图象上，且△PBC 的面积等于 18，请直接写 出点 P 的坐标． 四、解答题：（本题共 20 分，每题 5 分） 19．如图，在锐角△ABC 中，AB=AC，BC=10，sinA= 3 5 ． （1）求 tanB 的值； （2）求 AB 的长． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=－x2+bx+c 经过点（－3，0）和（1，0）. （1）求抛物线的表达式； （2）在给定的坐标系中，画出此抛物线； （3）设抛物线顶点关于 y 轴的对称点为 A， 记 抛物线在第二象限之间的部分为图象 G．点 B 是抛物线对称轴上一动点，如 果 直线 AB 与图象 G 有公共点，请结合函 数 的图象，直接写出点 B 纵坐标 t 的 取值 范 围． 21．如图，在△ABC，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E，且 BF 是 ⊙O 的切线，BF 交 AC 的延长线于 F． （1）求证：∠CBF= 1 2 ∠CAB． （2）若 AB=5，sin∠CBF= 5 5 ，求 BC 和 BF 的长． 22．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=3，PB=4，PC=5， 求∠APB 度数． 小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接 PP′，得到两个特殊的三角形，从 而将问题解决（如图 2）． 图 1 图 2 请回答：图 1 中∠APB 的度数等于 ，图 2 中∠PP′C 的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 坐标为（ 3 ，1），连接 AO．如果点 B 是 x 轴上的一动点，以 AB 为边作等边三角形 ABC. 当 C（x，y）在第一象限内时，求 y 与 x 之 间的函数表达式． 五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知关于 x 的方程 mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值； （3）在（2）的条件下，将关于 x 的二次函数 y= mx2+(3m+1)x+3 的图象在 x 轴下方的 部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新 的图象回答：当直线 y=x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围． 24．矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处． 图 1 图 2 （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA． ① 求证：△OCP∽△PDA； ② 若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长． （2）如图 2，在（1）的条件下，擦去 AO 和 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上（不 与点 P、A 重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于 点 F，作 ME⊥BP 于点 E．试问动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是 否发生变化？若不变，求出线段 EF 的长度；若变化，说明理由． 25．我们规定：函数 ax ky x b   （a、b、k 是常数，k≠ab）叫奇特函数．当 a=b=0 时，奇特 函数 ax ky x b   就是反比例函数 ky x  （k 是常数，k≠0）． （1）如果某一矩形两边长分别是 2 和 3，当它们分别增加 x 和 y 后，得到新矩形的面积 为 8．求 y 与 x 之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数； （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A、C 坐标分别为（6，0）、 （0，3），点 D 是 OA 中点，连接 OB、CD 交于 E，若奇特函数 4 ax ky x   的图象 经过点 B、E，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数 2y x  的图象向右平移 4 个单位，再向上平移 个单位就可得到（2） 中得到的奇特函数的图象； （4）在（2）的条件下，过线段 BE 中点 M 的一条直线 l 与这个奇特函数图象交于 P，Q 两点（P 在 Q 右侧)，如果以 B、E、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 16，请直接 写出点 P 的坐标． 以 下 为 草 稿 纸 门头沟区 2014—2015 学年度第一学期调研参考答案 九 年 级 数 学 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案新_课_标第_一_网 B A D D B C A C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 6 2 5 ③ （－1，1） （4025，－1） 三、解答题（本题共 30 分，每题 5 分） 13．解： tan 30 cos 60 tan 45 sin 30       3 1 113 2 2     …………………………………………………………………4 分 3 3  . ……… …………………………………………………………5 分 14．解：（1）y=x2－4x+4－4+3 …………………………………………………………1分 =(x－2)2－1 ………………………………………………………………2 分 （2）对称轴为直线 2x  ，顶点坐标为（2，－1）. …………………………4 分 （3）1＜x＜3. …………………………………………………………………5 分 15．（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABC=∠ACD，…………………………………………1 分 ∴ △ACD∽△ABC. ……………………………………………………2 分 （2）解：∵ △ACD∽△ABC， ∴ .AC AD AB AC  ………………………………………………………………3 分 ∴ 3 .7 AC AC  ………………………………………………………………4 分 ∴ 21.AC  ………………………………………………………………5 分新*课*标*第*一*网 16．解：在 Rt△ABD 中，∠BDA=90°，∠BAD=45°， ∴ BD=AD=20．………………………………………………………………2 分 在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°， ∴ CD= 3 AD= 20 3 ．……………………………………………………4 分 ∴ BC=BD+CD=20+ 20 3 （m）．………………………………………………5 分 答：这栋楼高为（20+ 20 3 ）m． 17．（1）证明：∵ OC=OB， ∴ ∠BCO=∠B．…………………………………………………………1 分 ∵  AC AC ， ∴ ∠B=∠D， ∴ ∠BCO=∠D．…………………………………………………………2 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴ CE= 1 1 4 2 2 22 2CD    ．……………………………………………3 分 在 Rt△OCE 中，OC2=CE2+OE2， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OE=OA－AE=r－2， ∴    2 22 2 2 2r r   ，…………………………………………………4 分 解得：r=3， ∴⊙O 的半径为 3．………………………………………………………5 分 18．解：（1）把 A（2，3）代入 my x  ，∴ 3 2 m ． ∴ m=6． ∴ 6y x  ．…………………………………………………………………1 分 把 A（2，3）代入 y=kx+2， ∴ 2k+2=3，……………………………………………………………………2 分 ∴ 1 2k  ． ∴ 1 22y x  ．………………………………………………………………3 分 （2）P1（1，6）或 P2（－1，－6）．…………………………… ……………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每题 5 分） 19．解：（1）如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．………………………………1 分 ∵ 在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°， ∴ 3sin 5 CDA AC   ． 设 CD=3k，则 AB=AC=5k． ∴AD=    2 22 2 5 3 4AC CD k k k    ，…2 分 ∴BD=AB－AD=5k－4k=k， ∴ 3tan 3CD kB BD k    ． …………………………………………………3 分 （2）在 Rt△BDC 中，∠BDC=90°， ∴BC=    2 22 2 3 10BD CD k k k    ． ∵BC=10，∴ 10 10k  ，…………………………………………………4 分 ∴ 10k  ． ∴AB=5k= 5 10 ．………………………………………………………5 分 20．解：（1）∵抛物线 y=－x2+bx+c 经过点（－3，0）和（1，0）. ∴ 9 3 0, 1 0. b c b c         ………………………………………………………1 分 解得 2, 3. b c     ……………………………………………………………2 分 ∴抛物线的表达式为 y=－x2－2x+3．……………………………………3 分 （2）正确画出图象．…………………………………………………………4 分 （3） 2＜t≤4．……………………………………………………………………5 分 21．（1）证明：连结 AE. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°. ∵BF 是⊙O 的切线， ∴BF⊥AB， ∴∠CBF +∠2=90°. ∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1 分 ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴∠1= 2 1 ∠CAB. ∴∠CBF= 2 1 ∠CAB. ……………………………………………………2 分 （2）解：过点 C 作 CG⊥AB 于点 G. ∵sin∠CBF= 5 5 ，∠1=∠CBF， ∴sin∠1= 5 5 . ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin∠1= 5 . ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE= 52 .…………………………………………………………3 分 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 5222  BEABAE . ∴sin∠2= 5 52 ，cos∠2= 5 5 . 在 Rt△CBG 中，可求得 GC=4，GB=2. ∴AG=3. ……………………………………………………………………4 分 ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF. ∴ AB AG BF GC  ， ∴ 3 20 AG ABGCBF .…………………………………………………5 分 22．解：图 1 中∠PP′C 的度数等于 90°．………………………………………………1 分 图 1 中∠APB 的度数等于 150°．………………………………………………3 分 如图，在 y 轴上截取 OD=2，作 CF⊥y 轴于 F，AE⊥x 轴于 E，连接 AD 和 CD． ∵点 A 的坐标为（ 3 ，1）， ∴tan∠AOE= 1 3 33  ， ∴AO=OD=2，∠AOE=30°， ∴∠AOD=60°． ∴△AOD 是等边三角形． ………………………………………………………4 分 又∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°， ∴∠CAD=∠OAB， ∴△ADC≌△AO B． ∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°， ∴∠CDF=30°． ∴DF= 3 CF． ∵C（x，y）且点 C 在第一象限内， ∴y－2= 3 x， ∴y= 3 x+2（x＞0）．………………………………………………………5 分 五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．（1）证明：∵m≠0， ∴mx2+(3m+1)x+3=0 是关于 x 的一元二次方程. ∴△=(3m+1)2－12m………………………………………………………1 分 =(3m－1)2． ∵ (3m－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根. ……………………………………………… 2 分 （2）解：由求根公式，得 x1=－3，x2= 1 m  ． ……………………………………3 分 ∵方程的两个根都是整数，且 m 为正整数， ∴m=1．……………………………………………………………………4 分 （3）解：∵m=1 时，∴y=x2+4x+3． ∴抛物线 y=x2+4x+3 与 x 轴的交点为 A（－3，0）、B（－1，0）． 依题意翻折后的图象如图所示．…………………………………………5 分 当直线 y=x+b 经过 A 点时，可得 b=3． 当直线 y=x+b 经过 B 点时，可得 b=1． ∴1＜b＜3． …………………6 分 当直线 y=x+b 与 y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时， 可得 x+b=－x2－4x－3， ∴x2+5x+3+b=0， ∴△=52－4(3+b) =0， ∴b=13 4 ． ∴b＞ 13 4 ．…………………………………………………………………7 分 综上所述，b 的取值范围是 1＜b＜3，b＞13 4 ． 24．解：（1）① 如图 1，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°．………………………………………………………1 分 ∴∠1+∠3=90°． ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∴∠2=∠3．……………………2 分 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3 分 ② 如图 1，∵△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4， ∴ 1 1 4 2 OP CP PA DA    ．∴CP= 1 2 AD=4． 设 OP=x，则 CO=8－x． 在 Rt△PCO 中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．…………………………………………4 分 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5 分 ∴边 AB 的长为 10． （2）作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，如图 2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ．又 BN=PM， ∴BN=QM． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ= 1 2 PQ． ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF． 又∵∠QFM=∠NFB， ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF= 1 2 QB． ∴ EF=EQ+QF= 1 2 PQ+ 1 2 QB= 1 2 PB．……………………………………6 分 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB= 2 28 4 4 5  ，∴EF= 1 2 PB= 2 5 ． ∴在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的 长度为 2 5 ．………………………………………………… …………7 分 25．解：（1）由题意得，(2+x)(3+y)=8． ∴ 83 2y x    ． ∴ 8 32y x   3 2 2 x x    ．…………………………………………………1 分 根据定义， 3 2 2 xy x    是奇特函数．…………………………………2 分 （2）由题意得，B（6，3）、D（3，0）， ∴点 E（2，1）．……………………………………………………………3 分 将点 B（6，3）和 E（2，1）代入 4 ax ky x   得 63 ,6 4 21 .2 4 a k a k       ……………………………………………………………4 分 解得 2, 6. a k     ∴奇特函数的表达式为 2 6 4 xy x   ．……………………………………5 分 （3）2．………………………………………………………………………6 分 （4）P1（ 2 5 ， 5 4 ）、P2（ 2 5 8 ， 5 ）．…………………………8 分 说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，谢谢！