昌平区初三数学期末试题及答案

2014-2015 学年第一学期初三年级期末质量抽测（样题） 数 学 试 卷 120 分钟， 120 分 2015．1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．已知∠A 为锐角，且 sinA＝1 2 ，那么∠A 等于 A．15° B．30° C．45° D．60° 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五边形 3．如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，那么∠BOC 的度数是 A．150° B．120° C．90° D．60° 4．如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E． 若 AD＝1，DB＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于 A． 1 2 B． 1 4 C． 1 8 D． 1 9 5．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝ 6 ， AC＝3，则CD 的长为 A．1 B． 3 2 C．2 D． 5 2 6．如图，点 P 是第二象限内的一点，且在反比例函数 ky x  的图象上，PA⊥x 轴于点 A ， △PAO 的面积为 3，则 k 的值为 A．3 B．- 3 C． 6 D．-6 7．如图，AB 为⊙O 的弦，半径 OD⊥AB 于点 C．若 AB=8，CD=2，则⊙O 的半径长为 A． 7 B．3 C．4 D．5 8．如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠B=60°，M 为 AB 的中点．动点 P 在菱形 的边上从点 B 出发，沿 B→C→D 的方向运动，到达点 D 时停止．连接 MP，设点 P 运动的路程为 x， MP 2 ＝y，则表示 y 与 x 的函数关系的图象大致为 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 抛物线 2( 2) 1y x   的顶点坐标是 ． 10．已知关于 x 的一元二次方程 2 2 0x x m   有两个不相等的实数根，则 m 的取值范 围是 ． 11． 如图，点 P 是⊙ O 的直径 BA 的延长线上一点，PC 切⊙ O 于 点 C，若 30P   ，PB=6，则 PC 等于 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(3，0)，B(0，4)，记 Rt△OAB 为三角形①，按 图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的 坐标为 ；三角形⑩的直角顶点的坐标为 ；第 2015 个三角形的直角顶点的坐标为 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13． 计算 : 23 tan 60 sin 45 3tan 45 cos60    ． 14． 解方程: 0132 2  xx ． 15．已知△ ABC 如图所示地摆放在边长为 1 的小正方形组成的网格内，将△ ABC 绕点 C 顺 时针旋转 90°，得到△ 1 1A B C ． （1）在网格中画出△ 1 1A B C ； （2）直接写出点 B 运动到点 1B 所经过的路径的长． 16． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y ax b  的图象与反比例函数 ky x  的 图象交于 A(-1，4)，B(2，m)两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式 ax b ＜ k x 的解集．新 课 标 17．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D=90°，C 为线段 BD 上一点，且 AC⊥ CE．AB=3，DE=2，BC=6．求 CD 的长． 18．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，DC= 3 ， AC=3. （1）求∠B 的度数； （2）求 AB 及 BC 的长． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．已知抛物线 2 2(2 1)y x m x m m     ． （1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线 3 3y x m   的一个交点在 y 轴上，求 m 的值． 20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到地下 C 处有金属回声．已知 A、B 两点相距 8 米，探测线 AC，BC 与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定有金属回声的点 C 的深度是多少米？ 21．已知： 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，经过 B、 D 两点的⊙O 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F， EB 为⊙O 的直径． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）当 BC=2，cos∠ABC 1 3  时，求⊙O 的半径． 22．已知，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 AB 边上，且∠EDF ＝45°． （1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想 tan∠ADF 的值，并写出求解过程． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知：如图，一次函数 2 xy 的图象与反比例函数 ky x  的图象交于 A、B 两 点，且点 A 的坐标为（1，m）． （1）求反比例函数 ky x  的表达式； （2）点 C（n，1）在反比例函数 ky x  的图象上，求△AOC 的面积； （3）在 x 轴上找出点 P，使△ABP 是以 AB 为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点 P 的坐标． 24.如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC， AD =AE．连接 BD 交 AE 于 M,连接 CE 交 AB 于 N，BD 与 CE 交点为 F，连接 AF． （1）如图 1，求证：BD⊥CE； （2）如图 1，求证：FA 是∠CFD 的平分线； （3）如图 2，当 AC=2，∠BCE=15°时，求 CF 的长. 25．如图，二次函数 y=-x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），B（2，0），与 y 轴相 交于点 C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点 E 是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形 ABEC 的面积最大时，求点 E 的 坐标，并求出四边形 ABEC 的最大面积； （3）若点 M 在抛物线上，且在 y 轴的右侧．⊙ M 与 y 轴相切，切点为 D．以 C，D，M 为 顶点的三角形与△AOC 相似，求点 M 的坐标． 2014-2015 学年第一学期初三年级期末质量抽测（样题） 数学试卷参考答案及评分标准 2015．1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C D D B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 （2，1） m＞-1 2 3 84 12 40284 1236 05 5 5 5 （ ， ） （ ，） （ ， ） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式 2 1132 233 2       …………………………4 分 2 132 13  0 ． ……………………………………5 分 14．解法一：∵ 2a  ， 3b   ， 1c  ， ∴ .1124)3( 2  ……………………………………2 分 ∴ 4 13 x ． ………………… …………………3 分 ∴ 原方程的根为： 1 2 11 .2x x ， ……………………………………5 分 解法二： 2 1 2 32  xx ． 16 9 2 1 16 9 2 32  xx ． ………………………………………1 分 16 1 4 3 2      x ． ………………………………………2 分 4 1 4 3 x ． ………………………………………3 分 ∴ 1 1x  ， 2 1 2x  ． ………………………………………5 分 解法三：   0112  xx ………………………………………2 分 2 1 0x   ，或 1 0x   ． ………………………………………3 分 ∴ 1 1x  ， 2 1 2x  ． ………………………………………5 分 15．解：（1）如图所示，△A1B1C 即为所求作的图形． ……………3 分 （2） 1BB = 2 π． ……………………………5 分 16．解：（1）∵ 反比例函数 ky x  经过 A(-１，4)，B(2，m)两点， ∴ 可求得 k =-4，m =-2． ∴ 反比例函数的解析式为 4y x   ． B(2，-2)． ……………………………………2 分 ∵ 一次函数 y ax b  也经过 A、B 两点， ∴ 4 2 2 . a b a b       ， 解得 2 2 . a b     ， ∴ 一次函数的解析式为 2 2y x   ． ……………………………………3 分 （2）如图，-1＜x＜0，或 x＞2． ……………………………………5 分 17．解：∵ 在△ABC 中，∠B =90º， ∴ ∠A +∠ACB = 90º． ∵ AC⊥CE， ∴ ∠ACB +∠ECD =90º． ∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2 分 ∵ 在△ABC 和△CDE 中， ∠A=∠ECD，∠B=∠D=90º， ∴ △ABC∽△CDE． ……………………………………3 分 ∴ DE BC CD AB  ． ……………………………………4 分 ∵ AB = 3，DE =2，BC =6， ∴ CD =1． ……………………………………5 分 18．解：（1）∵ 在△ACD 中， 90C   ，CD= 3 ，AC=3， ∴ 3tan 3 CDDAC AC    ． ∴ ∠DAC =30º． ……………………………………1 分 ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠BAC =2∠DAC =60º． ……………………………2 分 ∴ ∠B =30º． …………………………………………3 分 (2) ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3， ∴ AB =2AC =6． ……………………………………4 分 3 3 3 tan 3 3 ACBC B    ． ……………………………………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19 （1）证明：∵ △= 2 2(2 1) 4( )m m m    …………………………………… 1 分 = 2 24 4 1 4 4m m m m    =1＞0， ∴ 此抛物线与 x 轴必有两个不同的交 点． …………………………… 2 分 （2）解：∵ 此抛物线与直线 3 3y x m   的一个交点在 y 轴上， ∴ 2 3 3m m m    ． ………………………………………………………… 3 分 ∴ 2 2 3 0m m   ． ∴ 1 3m   ， 2 1m  ． ………………………………………………………… 5 分 ∴ m 的值为 3 或 1． 20．解：如图，作 CD⊥AB 于点 D． ∴ ∠ADC=90°． ∵ 探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°， ∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°． ∵ 在 Rt△DBC 中，∠DCB=45°， ∴ DB=DC．...................................2 分 ∵ 在 Rt△DAC 中，∠DAC=30°， ∴ AC=2CD．.................................3 分 ∵ 在 Rt△DAC 中，∠ADC=90°，AB=8， ∴ 由勾股定理，得 2 2 2AD CD AC  ． ∴ 2 2 2(8 ) (2 )CD CD CD   ． ……………………………………… 4 分 ∴ 4 4 3CD   ． ∵ 4 4 3CD   不合题意，舍去． ∴ 4 4 3CD   ． ∴ 有金属回声的点 C 的深度是( 4 4 3 ) 米． ……………………………… 5 分 21（1）证明：如图，连结OD ． ∴ OD OB ． ∴ 1 2   ． ∵ BD 平分 ABC , ∴ 1 3   ． ∴ 2 3   ． …………………………．．1 分 ∴ OD BC∥ ． ∴ 90ADO C    °． ∴ OD AC⊥ ． ∵ OD 是⊙O 的半径， ∴ AC 是⊙O 的切线． …………………………………………………………………2 分 （2）解：在Rt△ACB中， 90C  ，BC=2 , cos∠ABC 1 3  , ∴ 6cos BCAB ABC   ． …………………………………………………… 3分 设 O⊙ 的半径为 r ，则 6AO r  ． ∵ OD BC∥ ， ∴ AOD ABC△ ∽△ ． ∴ OD AO BC AB  ． ∴ 6 2 6 r r ． 解得 3 2r  ． ∴ O⊙ 的半径为 3 2 ． ………………………………………………………… 5 分 22． 解：（1）如图 1． ………………………… 1 分 （2）猜想 tan∠ADF 的值为 1 3 ．……………………2 分 求解过程如下: 如图 2. 在 BA 的延长线上截取 AG=CE,连接 DG． ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴ ∠GAD = 90°． ∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3 分 图 1 ∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE． ∵ ∠FDE=45°, ∴ ∠ADF+∠EDC=45°． ∴ ∠ADF+∠GDA =45°． ∴ ∠GDF=∠EDF ． ∵ DF = DF， ∴ ∠GDF≌∠EDF ． ……………………………… 4分 ∴ GF =EF． 设 AF=x, 则 FB=6-x, ∵ 点 E 为 BC 的中点, ∴ BE=EC=3． ∴ AG=3． ∴ FG=EF=3+x． 在 Rt△BEF 中，∠B =90°， 由勾股定理，得 2 2 2BF BE EF  , ∴ 2 2 23 (6 ) (3 )x x    ． ∴ x=2． ∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5 分 ∴ 在 Rt△ADF 中，tan∠ADF= AF AD  1 3 ． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 图 2 23．解：（1）∵点 A（1，m）在一次函数 2 xy 的图象上， ∴ m=3． ∴ 点 A 的坐标为（1，3）． ………………………………………………………1 分 ∵点 A（1，3）在反比例函数 ky x  的图象上， ∴ k =3． ∴反比例函数 ky x  的表达式为 3y x  ． …………………………………………2 分 （2）∵点 C（n，1）在反比例函数 3y x  的图象上， ∴ n=3． ∴ C（3，1）． ∵ A(1,3）， ∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5 分 （3）所有符合条件的点 P 的坐标： P1( 7 1  ，0)，P2( 7 1 ， 0)． ……………………………………………7 分 24．（1）证明：如图 1． ∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD． 在△CAE 和△BAD 中， AC AB CAE BAD AE AD       ， ， ， ∴ △CAE≌△BAD． …………………………………… 1 分 ∴ ∠ACF=∠ABD． ∵ ∠ANC=∠BNF， ∴ ∠BFN=∠NAC=90°． ∴ BD⊥CE． …………………………………… 2 分 （2）证明：如图 1’． 作 AG⊥CE 于 G，AK⊥BD 于 K． 由（1）知 △CAE ≌△BAD， ∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ． ………………… 3 分 ∴ AG = AK． ∴ 点 A 在∠CFD 的平分线上． ………… 4 分 即 FA 是∠CFD 的平分线． （3）如图 2． ∵ ∠BAC = 90°，AB =AC， ∴ ∠ACB=∠ABC =45°． ∵ ∠BCE=15°， ∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN． 在 Rt△ACN 中 ∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°， ∴ , 2 3 4 3 3 3 CNAN  ． …………………………………… 5 分 ∵ AB=AC=2， ∴ BN= 2- 2 3 3 ． …………………………………… 6 分 在 Rt△ACN 中 ∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°， ∴ 1 3 3 2 3 NF BN    ． ∴ 1 3CF CN NF    ． …………………………………… 7 分 25．解：（1）∵ 二次函数 y=-x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点 A（﹣1，0），B（2， 0）， ∴ 0 1 , 0 4 2 . b c b c          解得 1, 2. b c    ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 +x +2． ………………………………………2 分 （2）如图 1. ∵二次函数的解析式为 y=-x2+x+2 与 y 轴相交于点 C， ∴ C(0，2)． 设 E(a,b)，且 a >0,b >0． ∵ A（-1，0），B（2，0）， ∴ OA=1，OB=2，OC=2． 则 S 四边形 ABEC= 1 1 11 2 (2 ) (2 )2 2 2b a a b        = 1 a b  ∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点， ∴ b = -a2 +a +2， ∴ S 四边形 ABEC = - a2+2a+3 = -（a -1）2+4 ∴ 当四边形 ABEC 的面积最大时，点 E 的坐标为（1,2），且四边形 ABEC 的 最大面积为 4． ……………………………………………… 5 分 （3）如图 2. 设 M(m,n)，且 m>0． ∵ 点 M 在二次函数的图象上， ∴ n =-m2 +m +2． ∵ ⊙M 与 y 轴相切，切点为 D， ∴ ∠MDC =90°． ∵ 以 C，D，M 为顶点的三角形与△AOC 相似， ∴ 1 2 CD OA DM OC   ，或 2CD OC DM OA   ． …………………………………6 分 ①当 n >2 时， 2 2- 1 22 m m m m m m    ,或 ． 解得 m1=0(舍去)，m2= 1 2 ， 或 m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)． ②同理可得，当 n