三年级数学思维训练集

三年级思维训练 三 . (10) 班 罗雁名 目 录 第一讲 数图形.......................................................... 2 第二讲 找规律.......................................................... 4 第三讲 加减巧算........................................................6 第四讲 填数游戏........................................................8 第五讲 有余数除法...................................................10 第六讲 周期问题......................................................12 第七讲 配对求和......................................................14 第八讲 乘法速算......................................................16 第九讲 乘除巧算......................................................18 第十讲 应用题（一）................................................ 20 第十一讲 应用题（二）................................................ 22 第十二讲 植树问题......................................................24 第十三讲 重叠问题......................................................26 第十四讲 简单枚举......................................................28 第十五讲 等量代换......................................................30 期末综合练习...............................................................32 第 1 讲 数图形 专题分析： 同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形……的个数， 就必须要有次序、有条理地按照规律去数。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含 的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出 它们的和。 例 1：数出下面图中有多少条线段？ A B C D 【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。 以 A 为左端点的线段有：AB、AC、AD3 条；以 B 为左端点的线段有：BC、BD2 条；以 C 为左端点的线段有：CD1 条。所以，图中共有线段 3+2+1=6（条）。 我们还可以这样想：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由 1 条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3 条；由 2 条基本线段构成的线段有： AC、BD2 条；又 3 条基本线段构成的线段有：AD1 条。所以，图中一共有 3+2+1=6 （条）线段。 例 2：数出下图中有几个角？ A O B C D 【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以 AO 为一边 的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3 个；以 BO 为一边的角有：∠BOC、∠BOD2 个； 以 CO 为一边的角有：∠COD1 个。所以图中共有 3+2+1=6（个）角。 当然，也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD 看做基本角，那该怎样数呢？ 例 3：数出下图中共有多少个三角形？ A B C D E 【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以 AB 为边 的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE3 个；以 AC 为边的三角形有：△ACD、△ACE2 个；以 AD 为边的三角形有：△ADE1 个。所以图中共有三角形 3+2+1=6（个）。我 们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE 的底边中包含几条线段就 可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图中共有 6 个三角形。 拓展训练： 1、数一数，一共有几条线段、几个角？ 1 ② 共（ ）条线段 共（ ）条线段 ③ ④ 共（ ）个角 共（ ）个角 2、按要求数图形。 ① ② 共（ ）个三角形 共（ ）个三角形 ③ ④ 共（ ）个长方形 共（ ）个长方形 3、填空。 ⑴有 6 个小朋友，每 2 人握一次手，一共要握（ ）次。 ⑵从青岛到上海的直达列车，中途停靠 5 个站，这次列车共有（ ）种不 同票价。 4、解决问题。 ⑴三年级有 6 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比 赛？ ⑵有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同 的扎法？ 5、提高训练。 有 1——6 六个数字，能组成多少个不同的两位数？ 第 2 讲 找规律 专题分析： 按照一定顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，就可以知道 其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要 从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。 例 1：在括号内填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 【思路导航】（1）在数列 3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上 3 就等于后一个数，相邻两个数的差都是 3，根据这一规律，可以确定（ ）里分 别应填 15 和 18。 （2）在数列 1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加 1 等于第二 个数，第二个数增加 2 等于第三个数，即每相邻两个数的差依次是 1，2，3，4，…… 这样下一个数应为 11 增加 5，所以应填 16，再下一个数应比 16 大 6，应填 22。 （3）在数列 2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的 3 倍， 根据这一规律可以知道（ ）里应分别填 162 和 486。 例 2：先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）2，5，14，41，（ ），（ ） （2）252，124，60，28，（ ） （3）1，2，5，13，34，（ ） （4）187，286，385，（ ），（ ） 【思路导航】（1）在数列中，第一个数 2×3-1=5 是第二个数，第二个数 5 ×3-1=14 是第三以此类推，相邻两个数，前一个数乘以 3 减 1 等于后一个数， 所以括号里填应 122。 （2）在数列中，相邻的两个数，前一个数除以 2 的商检 2 等于后一个数， 所以括号里应填 12。 （3）在数列中，可以发现 2×3=1+5，5×3=2+13，13×3=5+34，也就是从 第二项开始，每一项乘以 3 等于它前后相邻两数的和，因而括号里应填 89。 （4）在数列中，十位上的数字 8 不变，百位上的数字依次增加 1，个位上 的数字依次减少 1，且百位与个位数字和为 8。因此，括号里应填 484，583。 例 3：按规律填数。 （1） （2） 【思路导航】（1）横着看，右边的数比左边的数多 5，竖着看，下面的数比 上面的数多 4，因此，方格里填 18。 （2）根据前两图的数量关系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，因此，第三个图 形为 9×4÷3=12。 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 4 8 2 16 7 8 4 14 9 4 3 拓展训练： 1、先找规律，再在括号里填上合适的数。 1 0，4，8，（ ），（ ），（ ） 2 1，3，6，10，15，（ ），（ ） 3 48，38，29，21，（ ），（ ） 4 3，6，12，24，（ ），（ ） 5 128，64，32，（ ），（ ） 6 15，10，13，10，11，10，（ ），（ ），7，10 7 1，13，2，14，3，15，（ ），（ ） 8 4，7，13，25，（ ）（ ） 9 86，42，20，（ ） 10 198，297，396，（ ），（ ） 2、下面空格里应填什么数？ 3、你能填出缺少的数吗？ 4、找出规律，填一填。 1 8 15 22 1 3 9 27 5、你能把方格图填完整吗？ 7 16 9 5 21 16 9 4 2 6 3 7 7 11 8 5 9 6 10 47 4762 12 54 5417 37 73 18 第 3 讲：加减巧算 专题分析： 加减巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所 接近的数进行简算。凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要 根据“多加要减去，少加要加上，多减要加上，少减要减去”的原则进行处理。 另外，可结合加法交换律、结合律及减法性质凑整，从而达到简算目的。 例 1：你有好办法迅速计算出结果吗？ （1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9 【思路导航】先把接近整十、整百、整千的数看成整十、整 百、整千数， 再算“零头”，最后把两部分数合起来。 （1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9 =500+2+800-1-300+2-100+3 =10000-1+1000-1+100-1+10-1 =（500+800-300-100）+（2-1+2+3） =10000+1000+100+10-4 =900+6 =11110-4 =906 =11106 例 2：计算下面各题。 （1）487+321+113+479 （2）723-251+177 （3）872+284-272 （4）537-142-58 【思路导航】通过观察后，发现后几位数互补或相等，通过加减正好能凑成 整十、整百、整千数。 （1）487+321+113+479 （2）723-251+177 =（487+113）+（321+479） =（723+177）-251 =600+800 =900-251 =1400 =649 （3）872+284-272 （4）537-142-58 =872-272+284 =537-（142+58） =600+284 =537-200 =884 =337 例 3：计算下面各题。 （1）321+（279-155） （2）327-（54+72） （3）432-（154-68） 【思路导航】通过观察，我们可以先去括号，再进行移位凑整计算。 （1）321+（279-155） （2）372-（54+72） （3）432-（154-68） =321+279-155 =372-72-54 =432+68-154 =600-155 =300-54 =500-154 =445 =246 =346 拓展训练： 1、计算下面各题。 ①9+97+997+9997 ②8+102+888+1002 ③402+503-397-98 ④3999+399+39 2、你能迅速算出结果吗？ ①97+101+103+99 ②721-400+279 ③6998+995+97+51 ④999+98+37+6 3、简便计算。 ①4875-（996+1875） ②4276+（624-176） 4、巧算。 ①599+997+201-401 ②5996+999+98+89 5、你能用最短的时间算出结果吗？ 1000-81-82-84-85-19-18-17-16-15-83 第 4 讲：填数游戏 专题分析： 填数时，要求我们仔细观察，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的 顶点及中间位置。同时，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算 所填数字的综合与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几，依次类 推…… 例 1：在下图中分别填入 1-9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？ 【思路导航】可以把 1-9 中间的 5 填到中心的○内，剩下八个数，一大一小， 搭配成和都是 10 的四组，这样两条直线上五个数的和都是 5+10×2=25。 例 2：把数字 1-8 分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上五个数的和都等于 20。 【思路导航】题目中所有 8 个数字的和是 1+2+3+4+5+6+7+8=36，题中要是 每个五边形上五个数的和等于 20，那么两个五边形上数字的综合是 20×2=40. 两个五边形上的数字总和比 8 个数的和多 40-36=4.多 4 的原因是图中中间两个 圆圈的数字算了两次，即多算了一次。1-8 中只有 1 和 3 的和为 4，所以先确定 关键的中间两个圆圈中，一个填 1，一个填 3.20-（1+3）=16，16可以分成 16=2+6+8， 16=4+5+7.所以本题应该这样填。 例 3：在图中填入 2-9，使没边 3 个数的和等于 15。 【思路导航】解题关键是填出图中的 4 个顶点，因为求和是这 4 个顶点各算了 两次，多算了一次，所以 4 边数的和是 15 × 4=60 ， 所 给 的 数 的 和 是 2+3+4+5+6+7+8+9=44，所以 4 个顶点数 的 和 是 60-44=16 。 我 们 可 以 选 出 3+7+4+2=16 填入 4 个顶点…… 拓展训练： 1、（1）在下图中填入 2-10，使横 （2）把 1，4，7，10，13，16， 行、竖行中的五个数的和相同，和是多 19 七个数填入图中 7 个圈中， 少呢？ 使每条线上三个数的和相等。 2、（1）将数字 1-6 填如下图的小圆 （2）把 5，6，7，8，9，10 这六 圈内，使每个大圈上的四个数字之和都 个数填入下图三角形三条边 是 15。 的○内，使得每条边上的三 个数和是 21。 3、把 1-8 填入下图中，使每边三 4、把 1-9 这九个数填入下 个数的和等于 13。 图中，使三角形每条边上四个的 和等于 19。且有一个顶点的数 字为 1。 5、把 1-10 这几个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数时候都相等， 而且最大，这个和汉斯多少? 第 5 讲：有余数除法 专题分析： （1）余数要比除数小； （2）被除数=商×除数+余数。 例 1：□÷6=8……□，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【思路导航】除数是 6，根据余数比除数小，余数可以是 1，2，3，4，5， 根据除数×商+余数=被除数，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为 6 ×8+5=53，最小的被除数为 6×8+1=49。列式如下： 6×8+5=53 6×8+1=49 答：被除数最大是 53，最小是 49。 例 2：算式（ ）÷（ ）=8……（ ）中，被除数最小是几？ 【思路导航】题中只告诉我们商是 8，要使被除数最小，那么只要除数和余 数小就行。余数最小为 1，那么除数则为 2.根据这些，我们就可以求出被除数最 小为：8×2+1=17。 例 3：算式 28÷（ ）=（ ）……4 中，除数和商各是多少？ 【思路导航】根据“被除数=商×除数+余数”，可以得知“除数×商=被除数 -余数”，所以本题中商×除数=28-4=24。这两个数可能是 1 和 24，2 和 12，3 和 8，4 和 6，又因为余数为 4，因此除数可以是 24，12，8，6，商分别为 1，2， 3，4。 28÷24=1……4 28÷8=3……4 28÷12=2……4 28÷6=4……4 答：除数和商分别是 24，1；12，2；8，3；6，4。 拓展训练： 1、下面题中被除数最大是几，最小是几？ （1） □÷8=3……□ （2） □÷4=7……□ （3） □÷9=2……□ 2、要使除数最小，被除数应是几？ （1）（ ）÷（ ）=15……3 （2）（ ）÷（ ）=8……5 （3）（ ）÷（ ）=12……4 3、下面算式中，被除数最小是几？ （1）（ ）÷（ ）=4……（ ） （2）（ ）÷（ ）=7……（ ） （3）（ ）÷（ ）=9……（ ） （4）（ ）÷（ ）=3……（ ） 4、下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ （1）（ ）÷（ ）=6……（ ） （2）（ ）÷（ ）=12……（ ） （3）（ ）÷（ ）=8……（ ） （4）（ ）÷（ ）=10……（ ） （5）（ ）÷8=（ ）……（ ）（被除数最大是几） 5、下列算式中，除数和商各是几？ （1）22÷（ ）=（ ）……4 （2）65÷（ ）=（ ）……2 （3）37÷（ ）=（ ）……7 （4）48÷（ ）=（ ）……6 第 6 讲：周期问题 专题分析： 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：认得十二生肖， 一年有春夏秦东四个季节，一个星期七天等等，称为简单周期问题。这类问题一 般要利用余数的知识来解答。 在研究此类问题时，首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，找出循 环固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确结果。 例 1：2011 年 10 月 1 日是星期一，问 10 月 25 日是星期几？ 【思路导航】我们知道，每星期有 7 天，也就是说以 7 天位一个周期不断地 重复。从 10 月 1 日到 10 月 25 日经过 25-1=24（天），24÷7=3（星期）……3（天）， 说明 24 天众包括 3 个星期还多 3 天，所以从 10 月 1 日开始过 3 个星期，最后一 天还是星期一，从这最后一天起在过 3 天就应是星期四。 25-1=24（天） 24÷7=3（星期）……3（天） 答：10 月 25 日是星期四。 例 2：100 个 3 相乘，积的个位数字是几？ 【思路导航】我们只需考虑积的个位数的排列规律。1 个 3，积的个位数是 3，2 个 3 相乘的个位数是 9，3 个 3 相乘积的个位数是 7，4 个 3 相乘积的个位 数是 1，5 个 3 相乘积的个位数是 3，……可以发现鸡蛋个位数分别以 3，9，7， 1，不断重复出现，即每 4 个 3 记得个位数位一周期。100÷4=25（个），因此 100 个 3 相乘的记得个位数是第 25 个周期中的最后一个，即是 1。列式如下： 3 3×3=9 3×3×3=27 3×3×3×3=81 3×3×3×3×3=243 · · · 100÷4=25（个） 答：积的个位数字是 1。 例 3： A B C A B C A B …… 万 事 如 意 万 事 如 意 …… 上表中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A 万”，第二组“B 事”，…… 问第 20 组是什么？ 【思路导航】上面一组以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现，下面 一行一“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现，要求第 20 组，必须分 别求出上、下两行各是什么符号才行。 首先求上一行是什么字母？20÷3=6（组）……2（个）说明第 20 个字母是 “B”，下一行的字是什么？20÷4=5（组）说明第 20 个姿势“一”，所以第 20 组是“B 意”两个符号。 拓展训练： 1、（1）2001 年 5 月 3 日是星期四，问 5 月 20 日是星期几？ （2）2001 年 8 月 1 日是星期三，问 8 月 28 日是星期几？ （3）2001 年 6 月 1 日是星期五，问 9 月 1 日是星期几？ 2、（1）3×3×3×3×……×3，积的个位数字是几？ 23 个“3” （2）100 个 2 相乘，积的末尾数字是几？ （3）7×7×7×……×7，积的个位数字是几？ 50 个“7” 3、 上表中每一列两个符号为一组，如第一组为“a1”，第二组委“b2”，……问 第 25 组是什么？ 4、有同样大小的红、白、黑珠共 120 个，按先 3 个红的后 2 个白的再 1 个黑的 排列，问（1）白珠共有多少个？（2）第 68 个是什么颜色的？ 5、课外活动上，有 4 个同学在进行报数游戏，他们围成一圈，甲报“1”，乙报 “2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总比前一个人多 1，问 45 是谁报的？ 123 呢？ a b c d a b c d …… 1 2 3 1 2 3 1 2 …… 第 7 讲：配对求和 专题分析： 数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，如果一个数列从第二项起，每 一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则 称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用一下关系式： 等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 例 1：你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（ ） 【思路导航】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 共 10 个数，我们可以把 10 个数分成 5 组，每组两个数相加的和事 11，它们的和就有 5 个 11 即 11×5=55， 11 是有这组数中第一个数与最后一个数相加得到的。列式如下： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×（10+2） =11×5 =55 例 2：计算。 （1）32+34+36+38+40+42 （2）203+207+211+215+219 【思路导航】（1）共 6 个数相加，后一个数与前一个数相差都是 2，可以分 成 3 组，每组的和事 32+42=74，也就是 3 个 74 即 74×3=222。 （2）共 5 个数相加，后一个数与前一个数相差都是 4，根据上题，用第一 个数与最后一个数相加 203+219=422，乘以数的个数 5，再除以 2 得到。 （1）32+34+36+38+40+42 （2）203+207+211+215+219 =（32+42）×6÷2 =（203+219）×5÷2 =74×6÷2 =422×5÷2 =222 =1055 例 3:有一堆木材叠堆在一起，一共是 20 层，第 1 层有 12 根，第 2 层有 13 根，…… 下面每层比上一层多一根，这堆木材共有多少根？ 【思路导航】因为这堆木材从第 2 层起，每层比上面一层多 1 根，共 20 层， 所以这堆木材总数为 12+13+14+……+31 =（12+31）×20÷2 =43×20÷2 =430（根） 答：这堆木材共 430 根。 1、速算。 （1）1+2+3+4+5+……+100 （2）21+22+23+24+……+50 2、简便计算。 （1）1+4+7+10+13+16+19 （2）71+73+75+77+79+81 （3）48+50+52+54 （4）128+138+148+158+168 3、电影院有 30 拍作为，第一排 20 个座位，后一排总比前一排多 2 个座位，最 后一排有 78 个座位，这个电影院共有多少个座位？ 4、有一串数，第 1 个数是 10，以后每个数比前一个数答 5，最后一个数是 90， 这串数连加的和是多少？ 5、有一个钟，一点钟敲 1 下，两点钟敲 2 下，……十二点点钟敲 12 下，分针指 向 6 敲 1 下，这个钟一昼夜敲多少下？ 第 8 讲：乘法速算 专题分析： 计算乘法时，如果一个因数是 25，另一个因数考虑可拆成 4×及，这样可“先 拆数再扩整”。两位数、三位数乘以 11，可爱哟个“两头一拉，中间相加”的办 法，但要注意头尾相加作积的中间数是，哪一位上满 10 要向前一位进一。 例 1：试着计算下列各题，你发现了什么规律？ （1）18×11 （2）38×11 （3）432×11 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与 11 相乘，所得的结果就 是将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相 邻两位由个位加起，和写在十位、百位……哪一位上满十就向前一位进一。 （1）把 8 写在个位上，8 与 1 的和 9 写在十位上，1 写在百位上，得 18× 11=198。 （2）把 8 写在个位上，3 与 8 的和为 11，把 1 写在十位上，同时向百位进 1，百位上 3 加上 1 为 4，得 38×11=418。 （3）把 2 写在个位上，2 与 3 的和 5 写在十位上，3 与 4 的和 7 写在百位上， 千位上写 4，得 432×11=4752。 例 2：下面的乘法计算有规律吗？ （1）24×25 （2）21×25 （3）25×427 （4）25×1923 【思路导航】因为 25×4=100，因此一个数与 25 相乘，我们就看这个数里 有几个 4，就有几个 100，余 1 就加 25，余 2 就加 50，余 3 就加 75。 （1）24 中有 6 个 4，所以积是 6 个 100。 （2）21 中有 5 个 4 余 1，所以积是 5 个 100 加 25。 （3）427 中有 106 个 4 余 3，所以积是 106 个 100 加 75。 （4）1923 中有 480 个 4 余 3，所以积是 480 个 100 加 75。 具体计算过程如下： （1）24×25=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525 （3）25×427=100×106+75=10675 （4）25×1923=100×480+75=48075 例 3：你能迅速算出下面各题吗？ （1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15 【思路导航】一个因数乘以 15，因为 15=10+5，那么 24×15 就可写成 24× （10+5）也就是用 24 加上它的一半再乘以 10，24+12=36，再用 36×10=360； 248×15 就用 248 加上 124 得到 372，再乘以 10 为 3720； 3456×15 就用 3456 加上 1728 得到 5184，再乘以 10 为 51840。 一个因数乘以 15，也就是用这个数加上它的一半再乘以 10 。具体过程如下： （1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15 =（24+12）×10 =（248+124）×10 =（3456+1728）×10 =36×10 =372×10 =5184×10 =360 =3720 =51840 拓展训练： 1、用乘法中 11 的速算方法计算。 12×11 23×11 45×11 35×11 47×11 11×65 11×96 87×11 135×11 603×11 329×11 872×11 61×11 326×11 27×11 425×11 2、用乘法中 25 的速算方法计算。 32×25 40×25 28×25 81×25 33×25 25×27 473×25 25×52 25×82 3、用乘法中 15 的速算方法计算。 32×15 74×15 28×15 438×15 284×15 672×15 3596×15 920×15 42×15 4、你能迅速写出结果吗？ 199×9 278×99 5、你能速算吗？试一试。 58×101 998×1001 第 9 讲：乘除巧算 专题分析： 前面我们已介绍了有关加、减法中的巧算，其中“凑整”是巧算中的一种方 法，这种方法同样可以运用在乘除计算中。 要提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定 的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律，乘法结合律， 乘法分配律等，灵活运用运算定律，是提高巧算能力的关键。 例 1：巧算下面各题。 （1）、25×8 （2）、16×125 （3）、16×25×25 （4）、125×32×25 【思路点拨】（1）25×8 (2)16×125 =25×（4×2） =(2×8)×125 =25×4×2 =2×(8×125) =100×2 =2×1000 =200 =2000 (3)16×25×25 (4)125×32×25 =(4×4)×25×25 =125×(8×4)×25 =(4×25)×(25×4) =(125×8)×(4×25) =100×100 =1000×100 =10000 =100000 例 2：简便运算。 （1）130÷5 （2）4200÷25 【思路点拨】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同 的倍数（0 除外），商不变，因而： （1）130÷5 （2）4200÷25 =（130×2）÷（5×2） =（4200×4）÷（25×4） =260÷10 =16800÷100 =26 =168 例 3：计算 31×25 【思路点拨】题中 31 不能被 4 整除，但 31 可拆成 4×7+3，这样就得到（4×7+3） ×25，或者把 25 看做 100÷4 也可求出得数。 31×25 或 31×25 =（4×7+3）×25 =31×（100÷4） =4×7×25+3×25 =31×100÷4 =700+75 =3100÷4 =775 =775 拓展训练： 1、计算 （1）125×27×8 （2）125×4×8×25 2、速算 1、（1)25×12 (2)48×125 2、(1)125×16×5 （2）25×8×5 （3）32×25×25 3、简便运算 7200÷25 3600÷25 5600÷25 32000÷125 4、巧算 29×25 17×25 221 ×25 322 ×25 5、速算 78000 ÷125 43000÷125 2561×25 3753×25 第 10 讲 应用题（一） 专题分析： 应用题是我们小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们用学到的数学 知识来解决实际生活中遇到的问题学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数 量关系，找到问题的突破口。解答应用题首先要弄清题意，找出题中的条件和问 题，再通过分析题中的数量间的关系，找到解题方法，最后列出算式，算出结果， 写出答案。关键是要弄清题中的数量关系。 例 1：食堂运来一批大米，吃掉 24 袋，剩下的袋数是吃掉的 2 倍。食堂运来大 米多少袋？ 【思路点拨】要求食堂运来大米多少袋，必须知道吃掉的袋数和剩下的袋数这两 个条件，吃掉的袋数已经知道，是 24 袋，所以要先求剩下的袋数，再求出共运 来大米的袋数。 （1）剩下多少袋大米？ 24×2=48（袋） （2）一共运来多少袋大米？ 24+48=72（袋） 综合算式： 24+24×2=72（袋） 答：食堂共运来 72 袋大米。 例 2：学校饲养小组养了 18 只黑兔，养的灰兔的只数是黑兔的 3 倍，养的白兔 的只数比灰兔多 12 只，学校饲养小组养了多少只白兔？ 【思路点拨】：要求养白兔的只数，必须要知道灰兔的只数，根据题中灰兔的只 数是黑兔的 3 倍，必须要知道黑兔的只数，题中已知，所以要先求灰兔的只数， 再求白兔的只数。 （1）灰兔多少只？ 18×3=54（只） （2）白兔多少只？ 54+12=66（只） 综合算式： 18×3+12 答：学校饲养小组养了 66 只白兔。 例 3：文峰超市运来雪碧 80 箱，运来可乐的箱数是雪碧的 3 倍，运来芬达 180 箱。三种饮料共运来多少箱？ 【思路点拨】：要求三种饮料共运来多少箱，必须要知道三种饮料分析有多少箱， 题中已知雪碧和芬达的箱数，因此要先求可乐的箱，再求三种饮料共运来多少箱。 （1）运来可乐多少箱？ 80×3=240（箱） （2）三种饮料共运来多少箱？ 80+240+180=500（箱） 综合算式： 80+ 80×3+180 答：三种饮料共运来 500 箱。 拓展训练： 1、在学雷锋活动，三年级同学做好事 73 件，五年级同学做好事的件数是三年级 的 3 倍。两个年级共做好事多少件？ 2、爸爸今年 30 岁，是小明年龄的 5 倍，爸爸今年比小明大多少岁？ 3、花圃里有 48 盆鸡冠花，是郁金香的 4 倍，郁金香的盆数比月季花少 18 盆， 花圃里有多少盆月季花？ 4、学校体育器材室足球 84 只，是排球只数的 2 倍，篮球有 56 只，三种球一共 有多少只？ 5、李老师上班时坐车，下班时步行，在路上共用 50 分钟，如果往返都步行要用 80 分钟。如果往返都坐车，只需多少分钟？ 第 11 讲 应用题（二） 专题分析： 一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于 分析、善于思考善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。解答一般应用题的 关键是要掌握数量关系，了解题中条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解 题方法，灵活解题。 例 1：用一个杯子向一个空瓶里倒牛奶，若倒进去 2 杯牛奶，连瓶共重 450 克， 若倒进 5 杯牛奶连瓶共重 750 克，一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？ 【思路点拨】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式： 2 杯牛奶的重量+1 个空瓶的重量=450 克 5 杯牛奶的重量+1 个空瓶的重量=750 克 比较两式，可得： （750-450）÷（5-2）=100（克） 450-100×2=250（克） 答：一杯牛奶重 100 克，一个空瓶重 250 克。 例 2：一共有红、黄、绿三种颜色的珠子 120 粒。如果把红色珠子分放在 9 个盒 子里，把黄色珠子分放在 6 个盒子里，把绿色珠子分放在 5 个盒子里，那么每个 盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？ 【思路点拨】把 120 粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里珠子粒数相等，那么 就可以用 120÷（6+9+5）=6（粒）求到每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种 颜色的珠子各几粒。 120÷（6+9+5）=6（粒） 黄色珠子：6×6=36（粒） 红色珠子：6×9=54（粒） 绿色珠子：6×5=30（粒） 答：红色、黄色、绿色珠子分别是 54 粒、36 粒、30 粒。 例 3：在 6 个筐里放着同样多的鸡蛋。如果从每个筐里拿出 50 个鸡蛋，则 6 个 筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有 鸡蛋多少个？ 【思路点拨】根据“6 个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数 的总和”，说明 6 个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6-2）=4（个）筐里鸡 蛋的总和，用取出的 50×6=300（个）鸡蛋除以 4 就可求到原来每个筐里鸡蛋的 个数。 50×6÷（6-2）=75（个） 答：原来每个筐里有鸡蛋 75 个。 拓展训练： 1、有一筐苹果共重 56 千克，卖掉苹果的一半，还剩下 31 千克，苹果和筐各多 少千克？ 2、小李开车从甲地到乙地，上午 10 时出发，计划每小时行 80 千米，下午 2 小 时到达乙地，结果实际到达时间为下午 3 时，实际每小时比计划少行多少千米？ 3、五个箱子里装着同样多的梨，如果从每个箱子里拿出 30 个梨，五个箱子里剩 下的梨个数总和等于原来两个箱子里的梨个数之和，原来每个箱子里有多少个 梨？ 4、公园里有月季、菊花、郁金香共 540 盆，搬 2 盆菊花，再搬 4 盆郁金香走， 那么三种花便同样多，原来这三种花各多少盆？ 5、全班同学吃水果，先平均分给 8 个小组，每小组 7 人，每人分到 2 个水果， 一共要买多少水果？ 第 12 讲：植树问题 专题分析： 解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵树三者之间的关系解答植 树问题要考虑植树的方式：1、在不封闭的线路上植树，棵树=总距离÷间隔长+1； 2、在封闭的线路上植树，棵树=总距离÷间隔长 例 1：参加阅兵的战士有 1200 人,平均分成 5 个大队,队距是 7.5 米.每队 6 人为 一排,排距是 2 米.整个队伍的总长有多少米？ 由题意,队伍总长为: 7.5×(5-1)+2×(1200÷5÷6-1)×5 =7.5×4+2×39×5 =420(米) 答：整个队伍的总长有 420 米。 例 2：锯一条 4 米长的圆柱形的钢条,锯 5 段耗时 1 小时 20 分.如果把这样的钢 条锯成半米长的小段,需要多少分钟？ 由题意,所需时间为: 锯一刀所需时间×要锯的刀数. =(60×1+20)÷(5-1)×(4÷0.5-1) =80÷4×7 =140(分钟) 答：需要 140 分钟。 例 3：在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有 24 棵, 四周共种多少棵树？ 由题意,四周共有:(24-1)×4=92(棵) 拓展训练： 1、填空题 （1）、在相距 100 米的两楼之间栽树,每隔 10 米栽 1 棵,共栽了 棵树. （2）、圆形滑冰场周长 400 米,每隔 20 米装一盏灯,共要装 盏灯. （3）、一段公路长 3600 米,在公路两旁每隔 9 米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽 梧桐树 棵. （4）、在一个半径是 125 米的圆形花园周围以等距离种白杨树 157 棵,则两树 间的距离是 米. （5）、一个湖泊周长 1800 米,沿湖泊周围每隔 3 米栽一棵柳树,每两棵柳树中 间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树 棵,栽桃树 棵. （6）、一块三角形地,三边之长分别为 156 米、234 米、186 米,要在三边上植 树,株距 6 米,三个角上各有一棵,共植树 棵. （7）、一条马路长 440 米,在路的两旁每隔 8 米种一棵树,两边都种,共种 棵树. （8）、两棵柳树相距 408 米,计划在这两棵树之间补栽小树 23 棵,每两棵树间 隔相等,则树的间隔 米. （9）、公路的每边相隔 7 米有一棵槐树,芳芳乘电车 3 分钟看到公路的一边有 槐树 151 棵,电车的速度是每分钟 米. （10）、国庆节接受检阅的一列车队共 52 辆,每辆车长 4 米,前后每辆车相隔 6 米,车队每分钟行驶 105米.这列车队要通过536 米长的检阅场地,要 分钟. 2、一人以不变的速度在小路上散步,从第一棵树走到第 12 棵树用了 11 分钟,如 果这个人走了 25 分钟,应走到的第几棵树？ 3、在一条长 40 米的大路两侧栽树，从起点到终点一共载了 22 棵，已知相邻两 棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？ 4、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 5 楼时，乙恰好跑到 3 楼，照这样计算，甲 跑到 17 楼时，乙跑到多少层楼？ 5、一个圆形跑道长 300 米，沿跑道周围每隔 6 米插一面红旗，每两面红旗中间 插一面黄旗，跑到周围各插了多少面红旗和黄旗？ 6、三年级 880 人进行了体操比赛，每 22 人排成一排，两排中间隔 1 米，首尾两 排相隔多少米？ 第 13 讲：重叠问题 专题分析： 解答重叠问题时要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两 个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 例 1：小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第 7 个。这队 小朋友共有多少人？ 【思路点拨】 ○○○●○○○○○○ 如图：4＋7－1 = 10（人） 例 2：同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数， 从左数还是从右数起都是第 4 个。跳舞的共有多少人？ 【思路点拨】 每排（列）有：4＋4－1 = 7（人） 共有：7×7 =49（人） 例 3：把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸 条长 30 厘米，中间重叠部分是 6 厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 【思路点拨】 （30＋6）÷2 = 18（厘米） 答：原来两段纸条各长 18 厘米。 拓展训练： 1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21 个。 这一行座位有多少个？ 2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长 35 厘米的木板。中间重合部分长 11 厘米，这两块木板各长多少厘米？ 3、两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长 66 厘米，其中一根木棍长 48 厘米， 中间重叠 部分长 12 厘米。另一根木棍长多少厘米？ 4、两块木板各长 75 厘米，像下图这样钉成一块长 130 厘米的木板，中间重合部 分是多少厘米？ 5、三（5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两 种棋都不会的有 10 名。两种棋都会下的有多少名？ 6、（1）三（4）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业 都完成的有 31 人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？ （2）两块木板各长 90 厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是 15 厘 米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？ 第 14 讲：简单枚举 专题分析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求， 一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时必须注意无重复、无遗漏，因此必须 有次序、有规律的进行枚举。 例 1：新华书店有 3 种不同的英语书，4 种不同的数学读物销售。小明想买一种 英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 【思路点拨】英 1——数 1，英 1——数 2，英 1——数 3，英 1——数 4； 英 2——数 1，英 2——数 2，英 2——数 3，英 2——数 4； 英 3——数 1，英 3——数 2，英 3——数 3，英 3——数 4。 3×4 = 12（种） 例 2：用 2、3、5、7 四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 【思路点拨】 分别是：2357、2375、2537、2573、2735、2753； 3257、1275、3527、3572、3725、3752； 5237、5273、5327、5372、5723、5732； 7235、7253、7325、7352、7523、7532 答：可以组成 24 个不同的 四位数。 例 3：一条公路上，共有 8 个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至 少相隔 3 个车站），那么共有多少种不同的车票？ 【思路点拨】 如图，按要求可以有票的种类是： ①⑤、①⑥、①⑦、①⑧、②⑥、②⑦、②⑧、③⑦、③⑧、④⑧； ⑧④、⑧③、⑧②、⑧①、⑦③、⑦②、⑦①、⑥②、⑥①、⑤①。 （4+3+2+1）×2 = 20（种） 拓展训练： 1、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的 涂法？ 2、一个长方形的周长是 30 厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方 形的面积有多少种可能值？ 3、把 15 个玻璃球分成数量不同的 4 堆，共有多少种不同的分法？ 4、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多 少种不同的机票？ 5、在长江的某一航线上共有 6 个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中 间至少要相隔 2 个码头），那么这样的船票共有多少种？ 第 15 讲：等量代换 专题分析： “等量代换”是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互 相代换。“曹冲称象”的故事中就运用了这种方法。因为只有当大象与一船石头 重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的体重只要 称出一船石头的重量就可以了。 例 1：△+△+△+□+□=53 □+□+△=27 求：△=？ □=？ 【思路点拨】 因为□+□+△=27 且△+△+△+□+□=53 所以△+△+27=53 所以△+△=26 △=13 所以□+□+13=27 所以□+□=14 ，□=7 例 2：△+△+△+□+□=55 □+△+△=34 求：△=？ □=？ 【思路点拨】 因为△+△+△+□+□=55 且□+△+△=34 所以□+△+34=55 所以□+△=21 所以△+21=34 所以△=13 所以□+13=21 所以□=8 例 3：小强买了 3 本小笔记本和 6 本大笔记本，共付 24 元。已知 3 本小笔记本 和 2 本大笔记本的价钱相等。问 1 本大笔记本和 1 本小笔记本的价钱各是多少？ 【思路点拨】 根据题意，可列出等量关系式： ①3 本小笔记本的价钱+6 本大笔记本的价钱=24 元 ②3 本小笔记本的价钱=2 本大笔记本的价钱 根据第二个等量关系式，我们把第一个等量关系式中的“3 本小笔记本的价钱” 替换成“2 本大笔记本的价钱”，可得： 2 本大笔记本的价钱+6 本大笔记本的价钱=24 元 所以 1 本大笔记本的价钱是：24÷（6+2）=3（元）。 2 本大笔记的价钱是：3×2=6（元），即 3 本小笔记本的价钱，每本小笔记本的 价钱是：6÷3=2（元）。 8 本大笔记本的价钱为 24 元。 答：1 大本笔记本的价钱和 1 小本笔记本的价钱分别是 3 元和 2 元。 拓展训练： 1、 ○=△+△+△+△ ○+△=30 ○=（ ） △=( ) △+△+○=16 △+○=14 △=( ) ○=( ) 2、红气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝35只 白气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝43只 红气球的个数＋白气球的个数＋绿气球的个数＝33只 红气球的个数＋蓝气球的个数＋白气球的个数＝48只 求这四种气球各有多少只？ 3、1 只兔重量=2 只大鸡重量 1 只大鸡重量=3 只小鸡重量 1 只兔重量=（ ）只小鸡重量 4、花园里：红花朵数+紫花朵数+黄花朵数=53（朵） 黄花朵数+白花朵数+紫花朵数=48（朵） 白花朵数+红花朵数+黄花朵数=60（朵） 紫花朵数+红花朵数+白花朵数=37（朵） 四种花各有多少朵？ 5、15 只小鸡可以换 2 只大鸡，16 只大鸡可以换 2 只羊，1 只羊可以换几只小鸡？ 期末测试 一、找规律填数。 （1）、1 ,2, 3, 5, 8, 13，（ ），（ ）。 （2）、1,6,5,10,9,14，（ ），（ ）。 （3）、121,100,81,64,49,36，（ ），（ ）。 二、计算 1、198+197-196-195+194+193-192-191+190+189……-4-3+2+1 2、1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99 3、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 4、77+79+81+83+85+87+89+91+93+95+97 三、你有什么好办法计算下面各题吗？ 1、125×25×32 2、13753×25 3、7800÷25 4、36000÷125 四、中、日、美、意四国进行排球循环赛，一共要打几场比赛才能决出冠军？ 五、应用题 1、一捆电线，第一次剪去了总长度的一半多 6 米，第二次剪去余下的一半少 2 米，还剩 18 米，这捆电线原来一共有多少米？ 2、一个圆形鱼塘，绕着它走一圈共 400 米，沿着鱼塘一周每隔 20 米种一棵杨 树，再在相邻的每两棵杨树之间等距离的种上 3 棵柳树，鱼塘边一共种了多少棵 树？ 3、一包糖的重量等于两袋饼干重量，两包糖重量等于两包巧克力的重量，一 袋巧克力的重量等于几袋饼干的重量？ 4、张老师购买体育用品，如果买 4 只足球和 5 只篮球要花 330 元；如果买 4 只足球和 8 只篮球要花 420 元，足球和篮球各是多少元？ 5、青岛啤酒搞优惠活动，每 3 个空瓶可以换 1 瓶啤酒，张大爷在这个夏季买了 99 瓶啤酒，喝完后又用空瓶去换啤酒，那么他最多能喝到多少瓶啤酒？