数 学 试 卷
一．选择题(共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有．．．．一个正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
01．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（ ）。
城市 北京 武汉 广州 哈尔滨
平均气温(单位：℃) －4.6 3.8 13.1 －19.4
A、北京 B、武汉 C、广州 D、哈尔滨
02．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ ）。
A、x＜4 B、x＜2 C、2＜x＜4 D、x＞2
03．如果 2 是一元二次方程 x2＝c 的一个根，那么常数 c 是（ ）。
A、2 B、－2 C、4 D、－4
04． 16 的算术平方根为（ ）。
A、4 B、－4 C、±4 D、2
05．在函数 1xy 中，自变量 x 的取值范围是（ ）。
A、x≥－1 B、x≠1 C、x≥1 D、x≤1
06．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，
则∠E 的大小为（ ）。
A、30° B、35° C、40° D、45°
07．如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从正面看的图形是（ ）。
08.等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五个图形中，既是
轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
09. 如图2,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,
那么线段OE的长为 ( )
A、10. B、8. C、6. D、4.
10.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，
将英文 26 个字母 a b c， ， ，…， z （不论大小写）依次对应 1，2，3，…，26 这 26 个自然数（见表
格）．当明码对应的序号 x 为奇数时，密码对应的序号 1
2
xy ；当明码对应的序号 x 为偶数时，密
码对应的序号 132
xy ．
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
按上述规定，将明码“love”译成密码是 （ ）
A．gawq B．shxc C．sdri D．love
11．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2m 的
雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案。小兵同学查阅了有关
资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。如图是小兵
同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体
雕像下部的设计高度(精确到 0.01m，参考数据： 2 ≈1.414，
3 ≈1.732， 5 ≈2.236)是（ ）。
A、0.62m B、0.76m C、1.24m D、1.62m
12．近几年，某市在经济建设中取得突出成就，2004―2006 年三
年该市的国内生产总值的和为 2200 亿元。图甲是这三年该市
的国内生产总值的扇形统计图，图乙是这三年该市总人口折
线统计图。根据以上信息，下列判断：①2006 年该市国内生
产总值超过 800 亿元；②2006 年该市
人口的增长率比 2005 年人口的增长率
低；③2006 年比 2004 年该市人均国内
生 产 总 值 增 加
)448
292200
455
372200( ％％ 万元；
④如果 2007 年该市人口的年增长率与
2006 年人口的年增长率相同，且人均
国内生产总值增长 10％，那么 2007 年
全 市 的 国 内 生 产 总 值 将 为
)451
4514551)(101(372200 ％％ 亿元。其中正确的只有（ ）。
A、①②④ B、①③④ C、②③ D、①③
0 2 4-2
(第 02 题图)
A
B
C
F
(第 06 题图)
E
D
A B C D
(第 07 题图)
小资料
雕 像 上 部 ( 腰
部以上)与下部(腰
部以下)的高度之
比等于下部与全部
的高度比，这一比
值是黄金分割数。
(第 11 题图)
(第 12 题图乙)
2004 2005 2006444
446
448
450
452
454
456
448
451
455
年份
人数/ 万
2004 年2006 年
2005 年
37％ 29％
34％
(第 12 题图甲)
某市 2004―2006 年
国内生产总值扇形图
某市 2004―2006 年
人口折线图
二．填空题(共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分)
13．一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x＋3)米，用含有 x 的整式表示它的宽为___________
米。
14．如图，已知函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图象交于点 P(－2，－5)，则根据图象可得不等式 3x＋b
＞ax－3 的解集是_______________。
15．下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第 5 个图案中小正
方形的个数为_______________。
16．如图，已知双曲线
x
ky (x＞0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边形 OEBF
的面积为 2，则 k＝______________。
三．解答下列各题(共 9 小题，共 72 分)
17．(本题 6 分)解方程：x2－x－1＝0。
18．(本题 6 分)化简求值：
xx
1)1x
x1( 2 ，其中 x＝2。
19．(本题 6 分)你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点 O 上下
转动，立柱 OC 与地面垂直。当一方着地时，另一方上升到最高点。问：在上下转动横板的过程
中，两人上升的最大高度 AA’、BB’有何数量关系？为什么？
20．(本题 7 分)如图①是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个
风车图案：在图②中，先画线段 OA，将线段 OA 平移至 CB 处，得到风车的第一个叶片 F1，然
后将第一个叶片 OABC 绕点 O 逆时针旋转 180°得到第二个叶片 F2，再将 F1、F2 同时绕点 O 逆
时针旋转 90°得到第三、第四个叶片 F3、F4。根据以上过程，解答下列问题：
(1)若点 A 的坐标为(4，0)，点 C 的坐标为(2，1)，写出此时点 B 的坐标；
(2)请你在图②中画出第二个叶片．．．．．F2；
(3)在(1)的条件下，连接 OB，由第一个叶片逆时针旋转 180°得到第二个叶片的过程中，线段
OB 扫过的图形面积是多少？
O 2
2
-2
-2
x
y
y＝3x＋b
y＝ax－3
(第 14 题图)
第 1 个
(第 15 题图)
第 2 个 第 3 个 A
BC E
O
F
x
y
(第 16 题图)
A BC
O
A’ B’
(第 19 题图)
O
2
4
5
-2
-5
F1F2
F3
F4
x
y
A
BC
(第 20 题图)
图① 图②
21. (本题7分)某农机公司为更好地服务于麦收工作，按图1给出的比例，从甲、乙、丙三
个工厂共购买了150台同种农机，公司技术人员对购买的这批农机全部进行了检验，绘
制了如图2所示的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求该农机公司从丙厂购买农机的台数；
（2）求该农机公司购买的150台农机中优等品的台数；
（3）如果购买的这批产品质量能代表各厂的产品质量状况，那么：①从优等品的角度考
虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？②甲厂2005年生产的360台产品中的优等品有
多少台？
22.(本题 8 分)如图①,直线 AM⊥AN, ⊙O 分别与 AM、AN 相切于 B、C 两点,连结 OC、BC,
则有∠ACB=∠OCB;若将图①中直线 AN 向右平移,与⊙O 相交于 C1、C2 两点,⊙O 与 AM
的切点仍记为 B,如图②.
(1)请你写出与平移前相应的结论,并将图②补充完整;
(2)判断此结论是否成立,并说明理由.
23.（(本题 10 分）光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙型 30
台.现将这 50 台联合收割机派往 A、B 两地区收割小麦，其中 30 台派往 A 地区，20 台派
往 B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A 地区 1800 元 1600 元
B 地区 1600 元 1200 元
（1）设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的
租金为 y(元)，求 y 与 x 间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600 元，
说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司
提出一条合理建议．
24．（本题 10 分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定
义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 ABC△ 中，点 D E， 分别在 AB AC， 上，设 CD BE， 相交于点 O ，若
60A °， 1
2DCB EBC A ．请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想图中哪
个四边形是等对边四边形；
（3）在 ABC△ 中，如果 A 是不等于 60°的锐角，点 D E， 分别在 AB AC， 上，且
1
2DCB EBC A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明
你的结论．
25.（本题 12 分）如图①，②，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(4，0)，以点 A
为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于O，B 两点，OC 为弦， 60AOC ，P 是 x 轴上的一
动点，连结CP ．
（1）求 OAC 的度数；（2 分）
（2）如图①，当CP 与 A 相切时，求 PO的长；（3 分）
（3）如图②，当点 P 在直径OB 上时，CP 的延长线与 A 相交于点Q ，问 PO 为何值时，
OCQ△ 是等腰三角形？（7 分）
部分答案：
B
O
A
D
E
C
21.解：（1）农机公司从丙厂购买农机：150×（1－40%－40%）＝30（台）；
（2）优等品的台数为：50＋50＋26＝127（台）；
（3）①∵
26 51 50
30 60 60
，∴丙厂的产品质量较好些．
②甲厂 2005 年生产的 360 台产品中的优等品数为：360×
50
60 ＝300（台）
22. .(1)图②中相应结论为∠AC1B=∠OC1B和∠AC2B=∠OC2B.(2)以前者为例进行证明:连接OB、
OC1,∵AM 与 ⊙O 相 切 于 B,∴OB⊥AM.∵AN⊥AM,∴OB∥AN.∴∠AC1B=∠OBC1.
∵OB=OC1,∴∠OBC1=∠OC1B.故∠AC1B=∠OC1B.同理可证∠AC2B=∠OC2B.
23.解：（1）若派往 A 地区的乙型收割机为 x 台，则派往 A 地区的甲型收割机为(30－x)台；派往 B 地
区的乙型收割机为（30－x）台，派往 B 地区的甲型收割机为（x－10）台．
∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000．
x 的取值范围是：10≤x≤30(x 是正整数)．
（2）由题意得 200x＋74000≥79600，
解不等式得 x≥28.由于 10≤x≤30，∴x 取 28，29，30 这三个值，
∴有 3 种不同分配方案．
1 当 x＝28 时，即派往 A 地区甲型收割机 2 台，乙型收割机 28 台；派往 B
地区甲型收割机 18 台，乙型收割机 2 台．
2 当 x＝29 时，即派往 A 地区甲型收割机 1 台，乙型收割机 29 台；派往 B
地区甲型收割机 19 台，乙型收割机 1 台．
③ 当 x＝30 时，即 30 台乙型收割机全部派往 A 地区；20 台甲型收割机全部派往 B 地
区．
（3）由于一次函数 y＝200x＋74000 的值 y 是随着 x 的增大而增大的，所以，当 x＝30 时，
y 取得最大值.如果要使农机租赁公司这 50 台联合收割机每天获得租金最高，只需 x＝
30，此时，y＝6000＋74000＝80000．
建议农机租赁公司将 30 台乙型收割机全部派往 A 地区；20 台甲型收割要全部派往 B 地
区，可使公司获得的租金最高．
24.解：（1）回答正确的给 1 分（如平行四边形、等腰梯形等）．
（2）答：与 A 相等的角是 BOD （或 COE ）．
四边形 DBCE 是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形 DBCE ．
证法一：如图 1，作CG BE 于G 点，作 BF CD 交CD 延长线于 F 点．
因为 1
2DCB EBC A ， BC 为公共边，
所以 BCF CBG△ ≌△ ．
所以 BF CG ．
因为 BDF ABE EBC DCB ，
BEC ABE A ，
所以 BDF BEC ．
可证 BDF CEG△ ≌△ ．
所以 BD CE ．
所以四边形 DBCE 是等对边四边形．
证法二：如图 2，以C 为顶点作 FCB DBC ，CF 交 BE 于 F 点．
因为 1
2DCB EBC A ， BC 为公共边，
所以 BDC CFB△ ≌△ ．
所以 BD CF ， BDC CFB ．
所以 ADC CFE ．
因为 ADC DCB EBC ABE ，
FEC A ABE ，
所以 ADC FEC ．
所以 FEC CFE ．
所以CF CE ．
所以 BD CE ．
所以四边形 DBCE 是等对边四边形．
说明：当 AB AC 时， BD CE 仍成立．只有此证法，只给 1 分．
25．解：（1）∵ 60AOC ， AO AC ，
∴ AOC△ 是等边三角形．
∴ 60OAC ．
（2）∵CP 与 A 相切，
∴ 90ACP ．
∴ 90 30APC OAC ．
又∵ A （4，0），∴ 4AC AO ．∴ 2 8PA AC ．
∴ 8 4 4PO PA OA ．
（3）①过点 C 作 1CP OB ，垂足为 1P ，延长 1CP 交 A 于 1Q ，
B
O
A
D E
C
F
图 2
B
O
A
D
E
C
F
图 1
G
∵OA 是半径， ∴ 1OC OQ ，∴ 1OC OQ ，
∴ 1OCQ△ 是等腰三角形．
又∵ AOC△ 是等边三角形，∴ 1
1
2PO OA ＝2 ．
②解法一：过 A 作 AD OC ，垂足为 D ，延长 DA 交 A 于 2Q ， 2CQ 与 x 轴交于 2P ，
∵ A 是圆心， ∴ 2DQ 是 OC 的垂直平分线． ∴ 2 2CQ OQ ．
∴ 2OCQ△ 是等腰三角形，
过点 2Q 作 2Q E x 轴于 E ，
在 2Rt AQ E△ 中，∵ 2
1 302Q AE OAD OAC ，
∴ 2 2
1 2 2 32Q E AQ AE ， ．∴点 2Q 的坐标（4＋ 2 3 ， 2 ）．
在 1Rt COP△ 中，∵ 1 2 60PO AOC ， ，
∴ 1 2 3CP ．∴ C 点坐标（2， 2 3 ）．
设直线 2CQ 的关系式为： y kx b ，则有
2 (4 2 3)
2 3 2
k b
k b
，
．
解得： 1
2 2 3
k
b
，
．
∴ 2 2 3y x ．
当 0y 时， 2 2 3x ．
∴ 2 2 2 3P O ．
解法二： 过 A 作 AD OC ，垂足为 D ，延长 DA 交 A 于 2Q ， 2CQ 与 x 轴交于 2P ，
∵ A 是圆心， ∴ 2DQ 是 OC 的垂直平分线． ∴ 2 2CQ OQ ．
∴ 2OCQ△ 是等腰三角形．
∵ 60OAC ，∴ 2
1 302OQ C OAC ．
∵ 2DQ 平分 2 2,OQ C AC AQ ，∴ 2 2 15ACQ AQ C ．
∵ AOC△ 是等边三角形， 1CP OA ， ∴ 1
1 302PCA ACO ．
∴ 1 2 1 2 30 15 45PCP PCA ACQ ．
∴ 1 2CPP△ 是等腰直角三角形．
∴ 1 2 1 2 3PP CP ．
∴ 2 1 1 2 2 2 3P O PO PP ．
微信/支付宝扫码支付