2012年西城区二模数学试题及答案(文科)

北京市西城区 2012 年高三二模试卷 数 学（文科） 2012.5 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. 1．已知复数 z 满足 (1 i) 1z   ，则 z  （ ） （A） 1 i 2 2  （B） 1 i 2 2  （C） 1 i 2 2   （D） 1 i 2 2   2．给定函数：① 3y x ；② 2 1y x  ；③ siny x ；④ 2logy x ，其中奇函数是（ ） （A）① ② （B）③ ④ （C）① ③ （D）② ④ 3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ① 2xy  ； ② 2xy   ； ③ 1( )f x x x   ； ④ 1( )f x x x   ． 则输出函数的序号为（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④ 4．设 m ，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 ,m n  . 则“ ∥  ”是“ m ∥  且 n ∥  ”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 5．已知双曲线 2 2 1x ky  的一个焦点是 ( 5,0) ，则其渐近线的方程为（ ） （A） 1 4y x  （B） 4y x  （C） 1 2y x  （D） 2y x  6．右图是1， 2 两组各 7 名同学体重（单位： kg ） 数据的茎叶图．设1， 2 两组数据的平均数依次 为 1x 和 2x ，标准差依次为 1s 和 2s ，那么（ ） （注：标准差 2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        ，其中 x 为 1 2, , , nx x x 的平均数） （A） 1 2x x ， 1 2s s （B） 1 2x x ， 1 2s s （C） 1 2x x ， 1 2s s （D） 1 2x x ， 1 2s s 7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第 2 至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10 人都要步行到达所去的楼 层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度” 增量为 2 ，10人的“不满意度”之和记为 S ．则 S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A） 7 层 （B）8 层 （C） 9 层 （D）10层 8．已知集合 1 2 20{ , , , }A a a a  ，其中 0 ( 1,2, ,20)ka k   ，集合 {( , ) | ,B a b a A  , }b A a b A   ，则集合 B 中的元素至多有（ ） （A） 210 个 （B） 200 个 （C）190个 （D）180个 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．在△ ABC 中， 3BC  ， 2AC  ， π 3A  ，则 B  _____． 10．设变量 x ， y 满足 1 1, 1 1, x y x y         则 2 x y 的最小值是_____． 11．已知向量 ( , 1)x a ， (3, )yb ，其中 x 随机选自集合{ 1,1,3} ，y 随机选自集合{1,3} ， 那么 a b 的概率是_____． 12．已知函数 2( ) 1f x x bx   是 R 上的偶函数，则实数b  _____；不等式 ( 1)f x x  的 解集为_____． 13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____． 14．已知曲线C 的方程是 2 2| | | |( ) ( ) 8x yx yx y     ，给出下列三个结论： ① 曲线 C 与两坐标轴有公共点； ② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点 P，Q 在曲线 C 上，则| |PQ 的最大值是 6 2 . 其中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分 13 分） 在等差数列{ }na 中， 2 7 23a a   ， 3 8 29a a   ． （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设数列{ }n na b 是首项为1，公比为 c 的等比数列，求{ }nb 的前 n 项和 nS ． 16．（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) sin( ) 3 cos( )f x x x       的部分图象如图所示，其中 0  ， π π( , )2 2    ． （Ⅰ）求 与 的值； （Ⅱ）若 5 54)4( f ，求   2sinsin2 2sinsin2   的值． 17．（本小题满分 13 分） 如图，四棱锥 ABCDE  中， EA EB ， AB ∥CD ， BCAB  ， CDAB 2 ． （Ⅰ）求证： EDAB  ； （Ⅱ）线段 EA 上是否存在点 F ，使 DF // 平面 BCE ？若存在，求出 EF EA ；若不存在， 说明理由． 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 2 2 1( ) 1 ax af x x    ，其中 aR ． （Ⅰ）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在原点处的切线方程； （Ⅱ）求 )(xf 的单调区间． 19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 6 ，且经过点 3 1( , )2 2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点 (0,2)P 的直线交椭圆C 于 A ， B 两点，求△ AOB （O 为原点）面积的最 大值． 20．（本小题满分 14 分） 若正整数 * 1 2 ( , 1,2, , )n kN a a a a k n     N  ，则称 1 2 na a a   为 N 的 一个“分解积”． （Ⅰ）当 N 分别等于 6,7,8 时，写出 N 的一个分解积，使其值最大； （Ⅱ）当正整数 ( 2)N N  的分解积最大时，证明： *( )Nka k  中 2 的个数不超过 2 ； （Ⅲ）对任意给定的正整数 ( 2)N N  ，求出 ( 1,2, , )ka k n  ，使得 N 的分解积最 大． 北京市西城区 2012 年高三二模试卷 数学（文科）参考答案及评分标准 2012.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．A； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．C ． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9． π 4 ； 10． 2 ； 11． 1 6 ； 12． 0 ，{ |1 2}x x  ； 13． 1 3 ，3π ； 14．② ③． 注：12、13 题第一问 2 分，第二问 3 分;14 题少选、错选均不给分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：设等差数列{ }na 的公差是 d ． 依题意 3 8 2 7( ) 2 6a a a a d      ，从而 3d   ． ………………2 分 所以 2 7 12 7 23a a a d     ，解得 1 1a   ． ………………4 分 所以数列{ }na 的通项公式为 23  nan ． ………………6 分 （Ⅱ）解：由数列{ }n na b 是首项为1，公比为 c 的等比数列， 得 1 n nn cba ，即 123  n n cbn ， 所以 123  n n cnb ． ………………8 分 所以 2 1[1 4 7 (3 2)] (1 )n nS n c c c             2 1(3 1) (1 )2 nn n c c c       ． ………………10 分 从而当 1c 时， 2(3 1) 3 2 2n n n n nS n    ； ………………11 分 当 1c 时， (3 1) 1 2 1 n n n n cS c     ． ………………13 分 16．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解： π( ) 2sin( )3f x x    ． ………………2 分 设 ( )f x 的最小正周期为T ． 由图可得 π π π( )2 4 4 2 T     ，所以 πT  ， 2 ． ………………4 分 由 2)0( f ，得 πsin( ) 13    ， 因为 π π( , )2 2    ，所以 π 6   ． ………………6 分 （Ⅱ）解： π( ) 2sin(2 ) 2cos22f x x x   ． ………………8 分 由 5 54 2cos2)4(  f ，得 5 52 2cos  ， ………………9 分 所以 5 312cos2cos 2   ． ………………11 分 所以 2sin sin 2 2sin (1 cos ) 1 cos 1 2sin sin 2 2sin (1 cos ) 1 cos 4                  ． ………………13 分 17．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：取 AB 中点O ，连结 EO ， DO ． 因为 EA EB ，所以 ABEO  ． ……………2 分 因为 AB ∥CD ， CDAB 2 ， 所以 BO ∥CD ， CDBO  ． 又因为 BCAB  ，所以四边形OBCD 为矩形， 所以 DOAB  ． ………………4 分 因为 ODOEO  ，所以 AB 平面 EOD ． ………………5 分 所以 EDAB  ． ………………6 分 （Ⅱ）解：点 F 满足 1 2 EF EA  ，即 F 为 EA 中点时，有 DF // 平面 BCE ．……………7 分 证明如下：取 EB 中点G ，连接CG ， FG ． ………………8 分 因为 F 为 EA 中点，所以 FG ∥ AB ， ABFG 2 1 ． 因为 AB ∥CD ， ABCD 2 1 ，所以 FG ∥CD ， CDFG  ． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11 分 因为 DF 平面 BCE ， CG 平面 BCE ， ………………12 分 所以 DF // 平面 BCE ． ………………13 分 18．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：当 1a  时， 2 2( ) 1 xf x x   ， 2 2 ( 1)( 1)( ) 2 ( 1) x xf x x      ． ………………2 分 由 (0) 2f   ， 得曲线 ( )y f x 在原点处的切线方程是 2 0x y  ．…………4 分 （Ⅱ）解： 2 ( )( 1)( ) 2 1 x a axf x x      ． ………………6 分 ① 当 0a  时， 2 2( ) 1 xf x x    ． 所以 ( )f x 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,0) 单调递减． ………………7 分 当 0a  ， 2 1( )( ) ( ) 2 1 x a x af x a x       ． ② 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 1x a  ， 2 1x a  ， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下： 故 )(xf 的单调减区间是 ( , )a  ， 1( , )a  ；单调增区间是 1( , )a a  ．………10 分 ③ 当 0a  时， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下： 所以 ( )f x 的单调增区间是 1( , )a  ；单调减区间是 1( , )aa   ， ( , )a  ． ………………13 分 综上， 0a  时， ( )f x 在 ( , )a  ， 1( , )a  单调递减；在 1( , )a a  单调递增. x 1( , )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x   ( )f x  0  0  ( )f x ↘ 1( )f x ↗ 2( )f x ↘ x 2( , )x 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x   ( )f x  0  0  ( )f x ↗ 2( )f x ↘ 1( )f x ↗ 0a  时， ( )f x 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,0) 单调递减； 0a  时， ( )f x 在 1( , )a  ， ( , )a  单调递增；在 1( , )aa  单调递减． 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解： 由 2 2 2 2 2 2 21 3 a b be a a     ， 得 1 3 b a  ． ① ………………2 分 由椭圆C 经过点 3 1( , )2 2 ，得 2 2 9 1 14 4a b   ． ② ………………3 分 联立① ②，解得 1b  ， 3a  ． …………4 分 所以椭圆 C 的方程是 2 2 13 x y  ． …………5 分 （Ⅱ）解：易知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 2 kxy ． 将直线 AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去 y 得 0912)31( 22  k ． ………………7 分 令 2 2144 36(1 3 ) 0k k     ，得 2 1k  ． 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 12 1 3 kx x k     ， 1 2 2 9 1 3x x k   ． ……………9 分 所以 1 2 1 2 1 22AOB POB POAS S S x x x x          ． ………………10 分 因为 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 12 36 36( 1)( ) ( ) 4 ( )1 3 1 3 (1 3 ) k kx x x x x x k k k           ， 设 2 1 ( 0)k t t   ， 则 2 1 2 2 36 36 36 3( ) 16(3 4) 4169 24 2 9 24 tx x t t tt t          ． ……………13 分 当且仅当 169t t  ，即 4 3t  时等号成立，此时△ AOB 面积取得最大值 2 3 ． ………………14 分 20．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：6 3 3  ，分解积的最大值为3 3 9  ； ………………1 分 7 3 2 2 3 4     ，分解积的最大值为3 2 2 3 4 12     ； ………………2 分 8 3 3 2   ，分解积的最大值为3 3 2 18   ． ………………3 分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知， ( 1,2, , )ka k n  中可以有 2 个 2 ． ………………4 分 当 ( 1,2, , )ka k n  有3 个或3 个以上的 2 时， 因为 2 2 2 3 3    ，且 2 2 2 3 3    ， 所以，此时分解积不是最大的． 因此， *( )Nka k  中至多有 2 个 2 ． ………………7 分 （Ⅲ）解：① 当 ( 1,2, , )ka k n  中有1时， 因为1 ( 1)i ia a   ，且1 1i ia a   ， 所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8 分 ② 由（Ⅱ）可知， ( 1,2, , )ka k n  中至多有 2 个 2 ． ③ 当 ( 1,2, , )ka k n  中有 4 时， 若将 4 分解为1 3 ，由 ① 可知分解积不会最大； 若将 4 分解为 2 2 ，则分解积相同； 若有两个 4 ，因为 4 4 3 3 2    ，且 4 4 3 3 2    ，所以将 4 4 改写为3 3 2  ， 使得分解积更大． 因此， ( 1,2, , )ka k n  中至多有1个 4 ，而且可以写成 2 2 ． ………………10 分 ④ 当 ( 1,2, , )ka k n  中有大于 4 的数时，不妨设 4ia  ， 因为 2( 2)i ia a  ， 所以将 ia 分解为 2 ( 2)ia  会使得分解积更大． ………………11 分 综上所述， ( 1,2, , )ka k n  中只能出现 2 或3 或 4 ，且 2 不能超过 2 个， 4 不能超 过1个． 于是，当 *3 ( )N m m  N 时， 3 3 3 m N     个 使得分解积最大； …………12 分 当 *3 1( )N m m   N 时， ( 1) ( 1) 3 3 3 2 2 3 3 3 4 m m N                个 个 使得分解积 最大； ………………13 分 当 3 2 ( )N m m   N 时， 3 3 3 2 m N      个 使得分解积最大． ………………14 分