北京市西城区 2012 年高三二模试卷
数 学（理科） 2012.5
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．已知集合 2{ | log 1}A x x ， { | 0B x x c ，其中 0}c ．若 A B B ，则 c 的
取值范围是（ ）
（A） (0,1] （B）[1, ) （C） (0,2] （D）[2, )
2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
① ( ) exf x ； ② ( ) exf x ；
③ 1( )f x x x ； ④ 1( )f x x x ．
则输出函数的序号为（ ）
（A）① （B）②
（C）③ （D）④
3．椭圆 3cos
5sin
x
y
( 是参数 ) 的离心率是（ ）
（A） 3
5
（B） 4
5
（C） 9
25
（D） 16
25
4．已知向量 ( ,1)xa ， ( ,4)x b ，其中 xR ．则“ 2x ”是“ a b ”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
5．右图是1， 2 两组各 7 名同学体重（单位： kg ）
数据的茎叶图．设1， 2 两组数据的平均数依次
为 1x 和 2x ，标准差依次为 1s 和 2s ，那么（ ）
（注：标准差 2 2 2
1 2
1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn
，其中 x 为 1 2, , , nx x x 的平均数）
（A） 1 2x x ， 1 2s s （B） 1 2x x ， 1 2s s
（C） 1 2x x ， 1 2s s （D） 1 2x x ， 1 2s s
6．已知函数 ( ) 1f x kx ，其中实数 k 随机选自区间[ 2,1] ．对 [0,1]x ， ( ) 0f x 的
概率是（ ）
（A） 1
3
（B） 1
2
（C） 2
3
（D） 3
4
7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第 2 至第12层，每层1人．因
特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10 人都要步行到达所去的楼
层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为 0 ，乘客每向下步行1层的“不满意度”
增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为 2 ，10人的“不满意度”之和记为 S ，
则 S 的最小值是（ ）
（A） 42 （B） 41 （C） 40 （D）39
8．对数列{ }na ，如果 *k N 及 1 2, , , k R ，使 1 1 2 2n k n k n k k na a a a
成立，其中 *nN ，则称{ }na 为 k 阶递归数列．给出下列三个结论：
1 若{ }na 是等比数列，则{ }na 为1阶递归数列；
2 若{ }na 是等差数列，则{ }na 为 2 阶递归数列；
3 若数列{ }na 的通项公式为 2
na n ，则{ }na 为3 阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9．在△ ABC 中， 3BC ， 2AC ， π
3A ，则 B _____．
10．已知复数 z 满足 (1 i) 1z ，则 z _____．
11．如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形， PA 是⊙O 的切
线， PB 交 AC 于点 E ，交⊙O 于点 D ．若 PA PE ，
60ABC ， 1PD ， 9PB ，则 PA _____；
EC _____．
12．已知函数 2( ) 1f x x bx 是 R 上的偶函数，则实数b _____；不等式 ( 1) | |f x x
的解集为_____．
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体
的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面
上，则球的表面积是_____．
14．曲线C 是平面内到定点 (0,1)F 和定直线 : 1l y 的距离之和等于 4 的点的轨迹，给出
下列三个结论：
① 曲线C 关于 y 轴对称；
② 若点 ( , )P x y 在曲线C 上，则| | 2y ；
③ 若点 P 在曲线 C 上，则1 | | 4PF .
其中，所有正确结论的序号是____________．
三、解答题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分 13 分）
已知函数 2 2π( ) cos ( ) sin6f x x x ．
（Ⅰ）求 π( )12f 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 π[0, ]2x ，都有 ( )f x c ，求实数 c 的取值范围．
16．（本小题满分 14 分）
如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直． AB ∥ CD ，
BCAB ， BCCDAB 22 ， EA EB ．
（Ⅰ）求证： AB DE ；
（Ⅱ）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段 EA 上是否存在点 F ，使 EC // 平面 FBD ？若存在，求出 EF
EA
；若不存在，
说明理由．
17．（本小题满分 13 分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3 ，
乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3 道题进行测试，答对
一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5 分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
18．（本小题满分 13 分）
已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点．
（Ⅰ）若 2AF FB ，求直线 AB 的斜率；
（Ⅱ）设点 M 在线段 AB 上运动，原点O 关于点 M 的对称点为C ，求四边形OACB 面
积的最小值．
19．（本小题满分 14 分）
已知函数
2
2
2 1( ) 1
ax af x x
，其中 aR ．
（Ⅰ）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求 )(xf 的单调区间；
（Ⅲ）若 )(xf 在[0, ) 上存在最大值和最小值，求 a 的取值范围．
20．（本小题满分 13 分）
若 1 2 ( 0n n iA a a a a 或1, 1,2, , )i n ，则称 nA 为 0 和1的一个 n 位排列．对于
nA ，将排列 1 2 1n na a a a 记为 1( )nR A ；将排列 1 1 2n n na a a a 记为 2 ( )nR A ；依此类推，
直至 ( )n
n nR A A ．
对于排列 nA 和 ( )i
nR A ( 1,2, , 1)i n ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置
数字不同的个数，叫做 nA 和 ( )i
nR A 的相关值，记作 ( , ( ))i
n nt A R A ．例如 3 110A ，则
1
3( ) 011R A ， 1
3 3( , ( )) 1t A R A ．
若 ( , ( )) 1( 1,2, , 1)i
n nt A R A i n ，则称 nA 为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列 3A ；
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列 5A ；
（Ⅲ）若某个 2 1 (kA k 是正整数 ) 为最佳排列，求排列 2 1kA 中1的个数．
北京市西城区 2012 年高三二模试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．D； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．C； 7．C； 8．D．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． π
4
； 10． 1 i
2 2
； 11．3 ， 4 ；
12． 0 ，{ |1 2}x x 13． 1
3
，3π ； 14．① ② ③．
注：11、12、13 第一问 2 分，第二问 3 分；14 题少填不给分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解： 2 2π π π π 3( ) cos ( ) sin cos12 12 12 6 2f ． ………………5 分
（Ⅱ）解： 1 π 1( ) [1 cos(2 )] (1 cos2 )2 3 2f x x x ………………7 分
1 π 1 3 3[cos(2 ) cos2 ] ( sin 2 cos2 )2 3 2 2 2x x x x ………………8分
3 πsin(2 )2 3x ． ………………9 分
因为 π[0, ]2x ，所以 π π 4π2 [ , ]3 3 3x ， ………………10 分
所以当 π π2 3 2x ，即 π
12x 时， ( )f x 取得最大值 3
2
． ………………11 分
所以 π[0, ]2x ， ( )f x c 等价于 3
2 c ．
故当 π[0, ]2x ， ( )f x c 时， c 的取值范围是 3[ , )2
． ………………13 分
16．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：取 AB 中点O ，连结 EO ， DO ．
因为 EAEB ，所以 ABEO ． ………………1 分
因为四边形 ABCD 为直角梯形， BCCDAB 22 ， BCAB ，
所以四边形OBCD 为正方形，所以 ODAB ． ……………2 分
所以 AB 平面 EOD ． ………………3 分
所以 EDAB ． ………………4 分
（Ⅱ）解：因为平面 ABE 平面 ABCD ，且 ABEO ，
所以 EO 平面 ABCD ，所以 ODEO ．
由 OEODOB ,, 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzO ． …………5 分
因为三角形 EAB 为等腰直角三角形，所以 OEODOBOA ，设 1OB ，所以
(0,0,0), ( 1,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1)O A B C D E ．
所以 )1,1,1( EC ，平面 ABE 的一个法向量为 (0,1,0)OD ． ………………7 分
设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ，
所以 | | 3sin | cos , | 3| || |
EC ODEC OD
EC OD
，
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3
3
． ………………9 分
（Ⅲ）解：存在点 F ，且 1
3
EF
EA
时，有 EC // 平面 FBD ． ………………10 分
证明如下：由 )3
1,0,3
1(3
1 EAEF ， )3
2,0,3
1(F ，所以 )3
2,0,3
4( FB ．
设平面 FBD 的法向量为 v ),,( cba ，则有 0,
0.
BD
FB
v
v
所以
0,
4 2 0.3 3
a b
a z
取 1a ，得 )2,1,1(v ． ………………12 分
因为 EC v 0)2,1,1()1,1,1( ，且 EC 平面 FBD ，所以 EC // 平面 FBD ．
即点 F 满足 1
3
EF
EA
时，有 EC // 平面 FBD ． ………………14 分
17．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为 X ，则 X 的可能取值为 15,0,15,30 ．………………1 分
3
5
3
10
C 1( 15) C 12P X ；
2 1
5 5
3
10
C C 5( 0) C 12P X ；
1 2
5 5
3
10
C C 5( 15) C 12P X ；
3
5
3
10
C 1( 30) C 12P X ． ………………5 分
乙得分的分布列如下：
X 15 0 15 30
P 12
1
12
5
12
5
12
1
………………6 分
1 5 5 1 15( 15) 0 15 3012 12 12 12 2EX ． ………………7 分
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选，记甲入选为事件 A ，乙入选为事件 B .
则 2 2 3
3
3 2 3 81( ) C ( ) ( ) ( )5 5 5 125P A ， ………………10 分
5 1 1( ) 12 12 2P B ． ………………11 分
故甲乙两人至少有一人入选的概率 44 1 1031 ( ) 1 125 2 125P P A B ． ……13 分
18．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：依题意 (1,0)F ，设直线 AB 方程为 1x my ． ………………1 分
将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 2 4 4 0y my ． …………3 分
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，所以 1 2 4y y m ， 1 2 4y y ． ① ………………4 分
因为 2AF FB ，
所以 1 22y y ． ② ………………5 分
联立①和②，消去 1 2,y y ，得 2
4m ． ………6 分
所以直线 AB 的斜率是 2 2 ． ………………7 分
（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点 M 对称，得 M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到
直线 AB 的距离相等，
所以四边形OACB 的面积等于 2 AOBS ． ……………… 9 分
因为 1 2
12 2 | | | |2AOBS OF y y ………………10 分
2 2
1 2 1 2( ) 4 4 1y y y y m ， ………………12 分
所以 0m 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4 ． ………………13 分
19.（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：当 1a 时， 2
2( ) 1
xf x x
， 2 2
( 1)( 1)( ) 2 ( 1)
x xf x x
． ………………2 分
由 (0) 2f ， 得曲线 ( )y f x 在原点处的切线方程是 2 0x y ．…………3 分
（Ⅱ）解： 2
( )( 1)( ) 2 1
x a axf x x
． ………………4 分
① 当 0a 时， 2
2( ) 1
xf x x
．
所以 ( )f x 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,0) 单调递减． ………………5 分
当 0a ， 2
1( )( )
( ) 2 1
x a x af x a x
．
② 当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得 1x a ， 2
1x a
， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下：
故 )(xf 的单调减区间是 ( , )a ， 1( , )a
；单调增区间是 1( , )a a
． ………7
分
③ 当 0a 时， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下：
x 1( , )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x
( )f x 0 0
( )f x ↘ 1( )f x ↗ 2( )f x ↘
x 2( , )x 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x
( )f x 0 0
( )f x ↗ 2( )f x ↘ 1( )f x ↗
所以 ( )f x 的单调增区间是 1( , )a
；单调减区间是 1( , )aa
， ( , )a ．
………………9 分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a 时不合题意． ………………10 分
当 0a 时，由（Ⅱ）得， )(xf 在 1(0, )a
单调递增，在 1( , )a
单调递减，所以 )(xf
在 (0, ) 上存在最大值 21( ) 0f aa
．
设 0x 为 )(xf 的零点，易知
2
0
1
2
ax a
，且 0
1x a
．从而 0x x 时， ( ) 0f x ； 0x x
时， ( ) 0f x ．
若 )(xf 在[0, ) 上存在最小值，必有 (0) 0f ，解得 1 1a ．
所以 0a 时，若 )(xf 在[0, ) 上存在最大值和最小值， a 的取值范围是 (0,1]．
………………12 分
当 0a 时，由（Ⅱ）得， )(xf 在 (0, )a 单调递减，在 ( , )a 单调递增，所以 )(xf
在 (0, ) 上存在最小值 ( ) 1f a ．
若 )(xf 在[0, ) 上存在最大值，必有 (0) 0f ，解得 1a ，或 1a ．
所以 0a 时，若 )(xf 在[0, ) 上存在最大值和最小值，a 的取值范围是 ( , 1] ．
综上， a 的取值范围是 ( , 1] (0,1] ． ………………14 分
20.（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：最佳排列 3A 为110 ，101，100 ， 011， 010 ， 001． ………………3 分
（Ⅱ）证明：设 5 1 2 3 4 5A a a a a a ，则 1
5 5 1 2 3 4( )R A a a a a a ，
因为 1
5 5( , ( )) 1t A R A ，
所以 1 5| |a a ， 2 1| |a a ， 3 2| |a a ， 4 3| |a a ， 5 4| |a a 之中有 2 个 0 ，3 个1．
按 5 1 2 3 4 5a a a a a a 的顺序研究数码变化，由上述分析可知有 2 次数
码不发生改变，有3 次数码发生了改变．
但是 5a 经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在 5A ，使得 1
5 5( , ( )) 1t A R A ，
从而不存在最佳排列 5A ． ………………7 分
（Ⅲ）解：由 2 1 1 2 2 1 ( 0k k iA a a a a 或1, 1,2, ,2 1)i k ，得
1
2 1 2 1 1 2 2( )k k kR A a a a a ，
2
2 1 2 2 1 1 2 2 1( )k k k kR A a a a a a ，
……
2 1
2 1 3 4 2 1 1 2( )k
k kR A a a a a a
，
2
2 1 2 3 2 1 1( )k
k kR A a a a a ．
因为 2 1 2 1( , ( )) 1( 1,2, ,2 )i
k kt A R A i k ，
所以 2 1kA 与每个 2 1( )i
kR A 有 k 个对应位置数码相同，有 1k 个对应位置数码不
同，因此有
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2| | | | | | | | 1k k k k ka a a a a a a a k ，
1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1| | | | | | | | 1k k k k k ka a a a a a a a k ，
……，
1 3 2 4 2 1 2 1 2| | | | | | | | 1k ka a a a a a a a k ，
1 2 2 3 2 2 1 2 1 1| | | | | | | | 1k k ka a a a a a a a k ．
以上各式求和得， ( 1) 2S k k ． ………………10 分
另一方面，S 还可以这样求和：设 1 2 2 2 1, ,..., ,k ka a a a + 中有 x 个 0 ，y 个1，则 2S xy ．
………………11 分
所以 2 1,
2 2 ( 1).
x y k
xy k k
解得 ,
1,
x k
y k
或 1,
.
x k
y k
所以排列 2 1kA 中1的个数是 k 或 1k ． ………………13 分
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