高三自评试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、
考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：锥体的体积公式为： 1
3V Sh ,其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 , 3M m , 22 7 3 0,N x x x x Z ,如果 M N ,则 m 等于
A． 1 B． 2 C． 2 或 1 D． 3
2
2．设复数 21z i
(其中i 为虚数单位)，则 2 3z z 的虚部为
A． 2i B． 0 C． 10 D． 2
3．“ 4a ”是“对任意的实数 x , 2 1 2 3x x a 成立”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
4．已知函数 2log , 0
( )
9 1, 0x
x x
f x
x
，则 3
1( (1)) log 2f f f 的值是
A． 7 B． 2 C．5 D．3
5．设 m , n 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若 // ， m ， n ，则 //m n ；
②若 m ， //m ，则 ；
③ 若 n ， n ， m ，则 m ；
④ 若 ， ， m ，则 m ．
其中错误．．命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③
6．执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为31，
则图中判断框内①处应填
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
7．函数 29 5y x 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下
不可能成为该等比数列的公比的数是
A． 3
4
B． 2 C． 3 D． 5
8．以下正确命题的个数为
①命题“存在 Rx ， 2 2 0x x ”的否定是：“不存在 Rx ， 2 2 0x x ”；
②函数
1
3 1( ) ( )2
xf x x 的零点在区间 1 1( , )3 2 内；
③已知随机变量 服从正态分布 2(1, )N ， ( 4) 0.79P ，则 ( 2) 0.21P ；
④函数 ( ) x xf x e e 的图象的切线的斜率的最大值是 2 ；
⑤线性回归直线 y bx a 恒过样本中心 ,x y ，且至少过一个样本点.
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
开始
结束
1, 1a b
a ①？
2 1b b
1a a
输出b
是
否
9．设 22(1 3 ) 40a x dx ，则二项式 2 6( )ax x
展开式中不含．． 3x 项的系数和是
A． 160 B．160 C．161 D． 161
10．已知函数 1 π( ) cos , [ , ]2 2 2f x x x x ， 0
1sin 2x ， 0
π[ , ]2 2x ，那么下面命
题中真命题的序号是
① ( )f x 的最大值为 0( )f x ② ( )f x 的最小值为 0( )f x
③ ( )f x 在 0[ , ]2 x 上是增函数 ④ ( )f x 在 0
π[ , ]2x 上是增函数
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的
A.外接球的半径为 3
3
B.体积为 3
C.表面积为 6 3 1 D.外接球的表面积为16
3
12．已知直线 1y k x 与抛物线 2: 4C y x 相交于 A 、
B 两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 2FA FB ,则 k =
A． 2 2
3
B． 2
3
C． 1
3
D． 2
3
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13．若 tan 2, 则sin cos .
14．已知直线 y x a 与圆 2 2 4x y 交于 A 、 B 两点，且 0OA OB
，其中 O 为坐
标原点，则正实数 a 的值为 .
3
111
正视图 侧视图
俯视图
15．设 x 、 y 满足约束条件
3 6 0
2 0
0, 0
x y
x y
x y
，则目标函数 2 2z x y 的最大值为 .
16．已知函数 f x 的定义域为 1 5, ，部分对应值如下表， f x 的导函数 y f x 的
图象如图所示. 下列关于 f x 的命题：
①函数 f x 的极大值点为 0 ， 4 ；
②函数 f x 在 0 2, 上是减函
数；
③如果当 1x ,t 时， f x 的最大值是 2，那么t 的最
大值为 4；
④当1 2a 时，函数 y f x a 有 4 个零点；
⑤函数 y f x a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．（本小题满分 12 分）已知向量 )cos,(sin),sin3,(sin xxnxxm ，设函数
nmxf )( ,若函数 )(xg 的图象与 )(xf 的图象关于坐标原点对称.
（Ⅰ）求函数 )(xg 在区间
6,4
上的最大值,并求出此时 x 的值；
（Ⅱ）在 ABC 中， cba ,, 分别是角 CBA ,, 的对边， A 为锐角,若
2
3)()( AgAf ，
7 cb ， ABC 的面积为 32 ，求边 a 的长．
x －1 0 4 5
f x 1 2 2 1
A B
C
1A 1B
1C
18．（本小题满分 12 分）
如图，在多面体 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1ABB A 是正
方形， 1AC AB ， 1 1AC A B BC ， 1 1 //B C BC ，
1 1
1
2B C BC .
（Ⅰ）求证： 1 //AB 面 1 1AC C ；
（Ⅱ）求二面角 1 1C AC B 的余弦值的大小.
19．（本小题满分 12 分）甲居住在城镇的 A 处，准备开
车到单位 B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相
互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
发生堵车事件的概率如图（例如， A → C → D 算作两
个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为 10
1 ，路段CD
发生堵车事件的概率为 15
1 ，且甲在每个路段只能按箭头
指的方向前进）．
(Ⅰ）请你为其选择一条由 A 到 B 的路线，使得途中发
生堵车事件的概率最小；
（Ⅱ）若记路线 A →C → F → B 中遇到堵车次数为随机变量 ，求 的分布列及 E ．
20．（本小题满分 12 分）已知集合 2 1, NA x x n n , 6 3, NB x x n n ，
设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和,若 na 的任一项 BAan ,且首项 1a 是 A B 中的最
大数, 10750 300S .
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式;
（Ⅱ）若数列 nb 满足 13 92( )2
na n
nb ，令 nT 2 4 6 224( )nb b b b ，试比较 nT
A
B
C D
E F
1
5
1
6
1
10
1
12
1
15
1
20
3
20
与 48
2 1
n
n 的大小.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 232 3 2f x ln x x .
（Ⅰ）求函数 y f x 的极大值；
（Ⅱ）令 23 12g x f x x m x （ m 为实常数），试判断函数 g x 的单调性；
（Ⅲ）若对任意 1 1
6 3x ,
，不等式 3 0a ln x ln f x x 均成立，求实数 a 的取
值范围.
22．（本小题满分 14 分）已知椭圆 1C 、抛物线 2C 的焦点均在 x 轴上， 1C 的中心和 2C 的
顶 点 均 为 坐标原点 O ，从每
条 曲 线 上 各取两个点，将其坐
标 记 录 于 表中：
（ Ⅰ ） 求 1 2C C、 的 标 准 方
程；
（Ⅱ）请问是否存在直线 l 同时满足条件：(ⅰ)过 2C 的焦点 F ；(ⅱ)与 1C 交于不同两点Q 、
R ，且满足OQ OR
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）已知椭圆 1C 的左顶点为 A ，过 A 作两条互相垂直的弦 AM 、 AN 分别另交椭圆于
M 、 N 两点．当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定点，若过定点，
请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．
x 3 2 4 2
y 2 3 0 4
2
2
高三自评试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
C D B A B B D C C A D A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13. 2
5 14. 2 15. 52 16．①②⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意得： 2 1 cos2 3( ) sin 3sin cos sin 22 2
xf x x x x x
1 sin(2 )2 6x ………………………………………………………2 分
所以 )62sin(2
1)( xxg ………………………………………………3 分
因为
6,4
x ，所以
6,3
2
62 x
所以当
262 x 即
6
x 时，函数 )(xg 在区间
6,4
上的最大值为
2
1 .
……………………………………………6 分
（Ⅱ）由
2
3)()( AgAf 得：
2
3)62sin()62sin(1 AA
化简得：
2
12cos A
又因为 0 2A ，解得：
3
A …………………………………………9 分
由题意知： 32sin2
1 AbcS ABC ，解得 8bc ，
又 7 cb ,所以 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )a b c bc A b c bc A
149 2 8 (1 ) 252
故所求边 a 的长为5 . …………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ， 1C E ， 1B E
1 1 //B C BC ， 1 1B C 1
2 BC ， 1 1 1 1// ,B C EC B C EC ，
四边形 1 1CEB C 为平行四边形， 从而 1 1//B E C C ，
1C C 面 1 1AC C ， 1B E 面 1 1AC C
1 //B E 面 1 1AC C ………………………………………………………………2 分
1 1 //B C BC ， 1 1B C 1
2 BC ， 1 1 1 1// ,B C BE B C BE
四边形 1 1BB C E 为平行四边形
1 1//B B C E ，且 1B B 1C E
又 1 1ABB A 是正方形， 1 1//A A C E ，且 1A A 1C E
故 1 1AEC A 为平行四边形， 1 1//AE AC
1 1AC 面 1 1AC C ， AE 面 1 1AC C
//AE 面 1 1AC C ………………………………………………………………4 分
1AE B E E ，面 1 //B AE 面 1 1AC C
1A 1B
1C
A B
C
E
z
x
y
1AB 面 1B AE ， 1 //AB 面 1 1AC C ………………………………………6 分
（Ⅱ）四边形 1 1ABB A 为正方形, 1 1A A AB AC , 1A A AB
1 2A B ， 1 1AC A B 1 2AC
由勾股定理可得： 1 90A AC ， 1A A AC ，
AB AC A ， 1A A 面 ABC ，
1 1AC A B BC ， 2BC
由勾股定理可得： 90BAC ， AB AC
…………………………………8 分
故以 A 为原点，以 AC 为 x 轴建立坐标系如图，则 1 1
1 1(1,0,0), (0,0,1), ( , ,1)2 2C A C ，
(0,1,0)B ，所以 1 ( 1,0,1)CA
， 1
1 1( , ,1)2 2CC
， 1 (0, 1,1)BA
， 1
1 1( , ,1)2 2BC
.
设面 1 1AC C 的法向量为 1 ( , , )n x y z
，由 1 1 1 10, 0n CA n CC
0
1 1 02 2
x z
x y z
，令 1z ，则 1 (1, 1,1)n
设面 1 1AC B 的法向量为 2 ( , , )n m n k
，则 2 1 2 10, 0n BA n BC
则
0
1 1 02 2
n k
m n k
，令 1k ，则 2 ( 1,1,1)n
…………………………10 分
所以 1 2
1 2
1 2
1 1 1 1cos , 33 3
n nn n
n n
设二面角 1 1C AC B 的平面角为 ， 1 2,n n
所以 1cos cos 3
……………………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）记路段 AC 发生堵车事件为 AC ，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各
路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线
A →C → D → B 中遇到堵车的概率为
1 1 1P P AC CD DB P AC P CD P DB
1 1 1 1P AC P CD P DB
9 14 5 31 10 15 6 10
……………………………………………………………………2 分
同理：路线 A →C → F → B 中遇到堵车的概率为 2P 1－ P ( AC ·CF · FB ）=
800
239（小
于 3
10 ） ………………………………………………………………………4 分
路线 A → E → F → B 中遇到堵车的概率为 3P 911 300P AE EF FB （大于 3
10 ）
显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.
因此选择路线 A →C → F → B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………6 分
（Ⅱ）路线 A →C → F → B 中遇到堵车次数 可取值为 0，1，2，3．
0P 561
800P AC CF FB ，
1P P AC CF FB P AC CF FB P AC CF FB
1 17 11 9 3 11 9 17 1 637
10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400
，
2P P AC CF FB P AC CF FB P AC CF FB
1 3 11 1 17 1 9 3 1 77
10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400
，
1 3 1 13 10 20 12 800P P AC CF FB .
所以 的分布列为
…………………………………………………………9 分
∴ E = 561 637 77 1 10 1 2 3800 2400 2400 800 3
………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解: （Ⅰ）根据题设可得: 集合 A 中所有的元素可以组成以 3 为首项, 2 为公差的递减等
差数列；集合 B 中所有的元素可以组成以 3 为首项, 6 为公差的递减等差数列.
由此可得,对任意的 Nn ,有 BBA
A B 中的最大数为 3 ,即 1 3a …………………………………………2 分
设等差数列 na 的公差为 d ,则 3 ( 1)na n d , 1 10
10
10( ) 45 302
a aS d
因为 10750 300S , 750 45 30 300d ,即 616 d
由于 B 中所有的元素可以组成以 3 为首项, 6 为公差的递减等差数列
所以 )0,(6 mZmmd ,由 16 6 6m 2m ，所以 12d …………5 分
所以数列 na 的通项公式为 9 12na n （ Nn ） ………………………6 分
（Ⅱ） 13 92 2( ) ( )2 2
na n n
nb
2 4 6 2
1 1[1 ( ) ] 12 224( ) 24 24(1 )1 21 2
n
n n nT b b b b
………………………7 分
48 24 48 24(2 2 1)242 1 2 2 1 2 (2 1)
n
n n n
n n nT n n n
0 1 2 3
P 800
561
2400
637
2400
77 1
800
于是确定 nT 与 48
2 1
n
n 的大小关系等价于比较 2n 与 2 1n 的大小
由 2 2 1 1 ， 22 2 2 1 ， 32 2 3 1 ， 42 2 4 1 ，
可猜想当 3n 时， 2 2 1n n …………………………………………………………9 分
证明如下：
证法 1：（1）当 3n 时，由上验算可知成立.
（2）假设 n k 时， 2 2 1k k ，
则 12 2 2 2(2 1) 4 2 2( 1) 1 (2 1) 2( 1) 1k k k k k k k
所以当 1n k 时猜想也成立
根据（1）（2）可知 ，对一切 3n 的正整数，都有 2 2 1n n
当 1,2n 时， 48
2 1n
nT n
，当 3n 时 48
2 1n
nT n
………………………………12 分
证法 2：当 3n 时
0 1 1 0 1 12 (1 1) 2 2 2 1n n n n n n
n n n n n n n nC C C C C C C C n n
当 1,2n 时， 48
2 1n
nT n
，当 3n 时 48
2 1n
nT n
………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） 232 3 2f x ln x x , y f x 的定义域为 2
3 ,
;
由于
19 1 3
3 2
x x
f x x
，由 10 3f x x ,
当 2 1
3 3x ,
时， 0f x ；当 1
3x ,
时， 0f x .
y f x 在 2 1
3 3,
上为增函数；在 1
3 ,
上为减函数，
从而 1 133 6f x f ln 极大 . ………………………………………3 分
（Ⅱ） ln 2 3 1g x x m x ， 2
3x
3 1 2 13 12 3 2 3
m x mg x mx x
，………………………………………4 分
1 当 1 0m ,即 1m 时， 3
2 3g x x
0 ，
g x 在 2
3 ,
上为增函数；…………………………………………………………5 分
②当 1 0m ，即 1m 时，
2 13 1 3 13 1 2 1
2 3 2 3
mm x mm x mg x x x
.
由
2 10 3 1
mg x x m
,
2 1 2 1
3 1 3 1
m
m m
,
（ⅰ）若 1m ，则
2 1 2
3 1 3
m
m
， 2
3x 时， 0g x ，
g x 在 2
3 ,
上为增函数；…………………………………………………………7 分
(ⅱ)若 1m ，则
2 1 2
3 1 3
m
m
，
2 2 1,3 3 1
mx m
时， 0g x ；
2 1 ,3 1
mx m
时， 0g x ，
g x 在
2 2 1
3 3 1
m, m
上为增函数,在
2 1
3 1
m ,m
上为减函数.
综上可知：当 1m 时， g x 在 2
3 ,
上为增函数；
当 1m 时， g x 在
2 2 1
3 3 1
m, m
上为增函数，在
2 1
3 1
m ,m
上为减函数.
…………………………9 分
（Ⅲ）由 3 0a ln x ln f x x
3 02 3a ln x ln x
,
1 1
6 3x , , 3 60 2 3 5ln lnx
,而 0a ln x ，
要对任意 1 1
6 3x ,
，不等式 3 0a ln x ln f x x 均成立，必须：
3
2 3ln x 与 a ln x 不同时为 0. ………………………………………………………11 分
因当且仅当 1
3x 时， 3
2 3ln x =0，所以为满足题意必有 1 03a ln ，
即 1
3a ln . …………………………………………………………………12 分
22．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）设抛物线 2
2 : 2 0C y mx m ，则有
2
2 0y m xx
，据此验证 4 个点知
3, 2 3 、 4, 4 在抛物线上，易求 xyC 4: 2
2 …………………2 分
设 1C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，把点（ 2，0）（ 2 ，
2
2 ）代入得：
1
2
12
14
22
2
ba
a
1
4
2
2
b
a
∴ 1C 方程为 14
2
2
yx ………………………………………………………4 分
（Ⅱ）容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点 (1,0)F ，设其方程为 ( 1)y k x ，与
1C 的交点坐标为 1 1,Q x y , 2 2,R x y
由
2
2 14 ( 1)
x y
y k x
消去 y ，得 2 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x k x k ，
于是
2
1 2 2
8
1 4
kx x
k
，
2
1 2 2
4( 1)
1 4
kx x
k
…………① ……………………7 分
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( 1) [ ( ) 1]y y k x k x k x x x x
即
2 2 2
2
1 2 2 2 2
4( 1) 8 3( 1)
1 4 1 4 1 4
k k ky y k
k k k
……②
由OQ OR
，即 0OQ OR
，得 (*)02121 yyxx
将①、②代入（*）式，得
2 2 2
2 2 2
4( 1) 3 4 0
1 4 1 4 1 4
k k k
k k k
，解得 2k ；
所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为： 2 2y x 或 2 2y x …………………9 分
（Ⅲ）设直线 AM 的斜率为 k 0k ，则 AM ： ( 2)y k x ， AN ： 1 ( 2)y xk
则 2
2
( 2),
1,4
y k x
x y
化简得： 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k ．
∵此方程有一根为 2 ，∴
2
2
2 8
1 4M
kx k
2
4
1 4M
ky k
同理可得
2
2
2 8
4N
kx k
2
4
4N
ky k
………………………………………………11 分
则
2 2
2 2 2
2 2
4 4
54 1 4
2 8 2 8 4( 1)
4 1 4
MN
k k
kk kk k k k
k k
所以 MN 的直线方程为
2
2 2 2
4 5 2 8( )1 4 4( 1) 1 4
k k ky xk k k
令 0y ，则
2 2
2 2
16 ( 1) 2 8 6
5 (1 4 ) 1 4 5
k k kx k k k
.
所以直线 MN 过 x 轴上的一定点 6( ,0)5
………………………………………………14 分
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