2012青岛市高三二模文科数学试卷及答案

高三自评试题 数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：锥体的体积公式为： 1 3V Sh ,其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  , 3M m  ,  22 7 3 0,N x x x x     Z ,如果 M N   ,则 m 等于 A． 1 B． 2 C． 2 或 1 D． 3 2  2．设复数 21z i   (其中i 为虚数单位)，则 2 3z z 的虚部为 A． 2i B． 0 C． 10 D． 2 3．设 , Rx y  ，则“ 2 2 9x y  ” 是“ 3x  且 3y  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 4．已知函数 2log , 0 ( ) 3 1, 0x x x f x x     ，则  3 1( (1)) log 2f f f 的值是 A．5 B． 3 C． 1 D． 7 2 5．设 m , n 是两条不同的直线,  ,  , 是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若 //  ， m  ， n  ，则 //m n ； 甲 乙 146 2 8 5 4 397 423 7 2 2 8 5 1 4 1 5 ②若 m  ， //m  ，则  ； ③ 若 n  ， n  ， m  ，则 m  ； ④ 若  ，   ， m  ，则 m  ． 其中错误．．命题的序号是 A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③ 6．执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为31， 则图中判断框内①处应填 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 7．函数  29 5y x   的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不 可能成为该数列的公比的数是 A． 3 4 B． 2 C． 3 D． 5 8．以下正确命题的个数为 ①命题“存在 Rx ， 2 2 0x x   ”的否定是：“不存在 Rx ， 2 2 0x x   ”；② 函数 1 3 1( ) ( )2 xf x x  的零点在区间 1 1( , )3 2 内； ③ 函数 ( ) x xf x e e  的图象的切线的斜 率的最大值是 2 ；④线性回归直线  y bx a  恒过样本中心  ,x y ，且至少过一个样本点. A．3 B．1 C． 0 D． 2 9．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛 得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数 之和是 A． 68 B． 70 C．69 D． 71 10．已知函数 1 π( ) cos , [ , ]2 2 2f x x x x     ， 0 1sin 2x  , 0 π[ , ]2 2x   ．那么下面命题 中真命题的序号是 ① ( )f x 的最大值为 0( )f x ② ( )f x 的最小值为 0( )f x ③ ( )f x 在 0[ , ]2 x 上是增函数 ④ ( )f x 在 0 π[ , ]2x 上是增函数 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 开始 结束 1, 1a b  a  ①？ 2 1b b  1a a  输出 b 是 否 11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三 角形，则这个几何体的 A．外接球的半径为 3 3 B．表面积为 7 3 1  C．体积为 3 D．外接球的表面积为 4 12．过双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的左焦点 )0)(0,(  ccF 作圆 4 2 22 ayx  的切线，切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ，若 2OF OP OE    ,则双曲线的离心率为 A． 2 B． 5 10 C． 2 10 D． 10 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．若 tan 2, sin cos   则 . 14．已知直线 y x a  与圆 2 2 4x y  交于 A 、 B 两点，且 0OA OB   ，其中O 为坐标 原点，则正实数 a 的值为 . 15．设等轴双曲线 2 2 1y x  的两条渐近线与直线 2x  围成的三角形区域（包含边界）为 M ， ( , )P x y 为 M 内的一个动点，则目标函数 2z x y  的最大值为 . 16．已知函数  f x 的定义域为 1 5, ，部分对应值如下表,  f x 的导函数  y f x 的 图象如图所示. 下列关于  f x 的 命题： ①函数  f x 的极大值点为 0 ， 4 ； ②函数  f x 在 0 2, 上是减函数； ③如果当  1x ,t  时，  f x 的最大值是 2，那么 t 的 最大值为 4； x －1 0 4 5  f x 1 2 2 1 3 111 正视图 侧视图 俯视图 A B C 1A 1B 1C ④当1 2a  时，函数  y f x a  有 4 个零点； ⑤函数  y f x a  的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知向量 )cos,(sin),sin3,(sin xxnxxm  ，设函数 nmxf )( . （Ⅰ）求函数 ( )f x 在 3[0, ]2  上的单调递增区间； （Ⅱ）在 ABC 中， a ，b ， c 分别是角 A ， B ，C 的对边， A 为锐角，若 1)62sin()(  AAf ， 7 cb ， ABC 的面积为 32 ，求边 a 的长． 18．（本小题满分 12 分） 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所 示(单位:辆)，若按 A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,则 A 类 轿车有 10 辆. （Ⅰ）求 z 的值； （Ⅱ）用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这 8 辆轿车的得分看作一个 总体,从中任取一个分数 a .记这 8 辆轿车的得分的平均数为 x ，定义事 件 E  { 0.5a x  ，且函数   2 2.31f x ax ax   没有零点}，求事件 E 发生的概率. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1ABB A 是正方 形， 1AC AB  ， 1 1AC A B ， 1 1 //B C BC ， 1 1 1 2B C  BC . （Ⅰ）求证：面 1A AC  面 ABC ； （Ⅱ）求证： 1 //AB 面 1 1AC C . 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 20．（本小题满分 12 分） 已知集合  2 1, NA x x n n      ,  6 3, NB x x n n      ，设 nS 是等差数列  na 的前 n 项和,若 na 的任一项 BAan  ,且首项 1a 是 A B 中的最大数, 10750 300S    . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式; （Ⅱ）若数列 nb 满足 13 92( )2 na n nb   ， 求 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n na b b a a b b a a b b a       的值. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数   3 21 3f x x ax bx    Ra,b . （Ⅰ）若曲线  C : y f x 经过点  1 2P , ，曲线C 在点 P 处的切线与直线 2 14 0x y   垂直，求 a,b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数      2 71 3g x m f x x      （ m 为实常数， 1m   ） 的极大值与极小值之差； （Ⅲ）若  f x 在区间 1 2, 内存在两个不同的极值点，求证： 0 2a b   . 22．（本小题满分 14 分） 设 1F , 2F 分别是椭圆 D ： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点，过 2F 作倾斜角为 3  的直 线交椭圆 D 于 A , B 两点, 1F 到直线 AB 的距离为 3 ,连结椭圆 D 的四个顶点得到的菱形 面积为 4 . （Ⅰ）求椭圆 D 的方程； （Ⅱ）过椭圆 D 的左顶点 P 作直线 1l 交椭圆 D 于另一点 Q . (ⅰ)若点 ),0( tN 是线段 PQ 垂直平分线上的一点,且满足 4 NQNP ,求实数t 的值; (ⅱ)过 P 作垂直于 1l 的直线 2l 交椭圆 D 于另一点 G ，当直线 1l 的斜率变化时,直线 GQ 是否过 x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明 理由． 高三自评试题 数学 (文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分． C D B A A B D D C A B C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13. 2 5 14. 2 15. 6 16. ①②⑤ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 2 1 cos2 3( ) sin 3sin cos sin 22 2 xf x x x x x    1 sin(2 )2 6x    ………………………………………………………………………3 分 令 32 2 22 6 2k x k        , Zk  解得： 2 6 3k x k      ， Zk  30, 2x      ， 2 6 3x    ，或 7 3 6 2x   所以函数 ( )f x 在 3[0, ]2  上的单调递增区间为 2[ , ]6 3   ， 7 3,6 2       …………………6 分 （Ⅱ）由 1)62sin()(  AAf 得： 1)62sin()62sin(2 1   AA 化简得： 2 12cos A 又因为 0 2A   ，解得： 3 A …………………………………………………………9 分 由题意知： 32sin2 1  AbcS ABC ，解得 8bc ， 又 7 cb ,所以 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )a b c bc A b c bc A       149 2 8 (1 ) 252       故所求边 a 的长为 5. ……………………………………………………………………12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：( Ⅰ)设该厂本 月生产轿车为 n 辆 ,由题意得: 50 10 100 300n   ,所以 2000n  . z =2000-100-300-150-450-600=400 ………………………………4 分 (Ⅱ) 8 辆轿车的得分的平均数为 1 (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 98x          …………………………………………6 分 把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 a 对应的基本事件的总数为8个, 由 0.5a x  ，且函数   2 2.31f x ax ax   没有零点 2 9 0.5 8.5 9.24 9.24 0 a a a a          ………………………………………………10 分  E 发生当且仅当 a 的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0 共 4 个,   4 1 8 2p E   ……………………………………………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 证明：（Ⅰ） 四边形 1 1ABB A 为正方形,  1 1A A AB AC   , 1A A AB  1 2A B  …………………………………2 分  1 1AC A B  1 2AC   1 90A AC    1A A AC ………………………………4 分  AB AC A ， 1A A  面 ABC 又 1A A  面 1A AC ，面 1A AC  面 ABC ………………………………6 分 （Ⅱ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ， 1C E ， 1B E  1 1B C // BC ， 1 1B C  1 2 BC ， 1 1 1 1// ,B C EC B C EC  四边形 1 1CEB C 为平行四边形  1B E // 1C C  1C C  面 1 1AC C ， 1B E  面 1 1AC C  1B E // 面 1 1AC C ……………………8 分  1 1 //B C BC ， 1 1B C  1 2 BC ， 1 1 1 1// ,B C BE B C BE  四边形 1 1BB C E 为平行四边形 1 1//B B C E ，且 1B B  1C E 又 1 1ABB A 是正方形， 1 1//A A C E ，且 1A A  1C E  1 1AEC A 为平行四边形， 1 1//AE AC , 1 1AC  面 1 1AC C ， AE  面 1 1AC C  //AE 面 1 1AC C ………………………………………………………………………10 分  1AE B E E ，面 1 //B AE 面 1 1AC C  1AB  面 1B AE ， 1 //AB 面 1 1AC C ………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 解: （Ⅰ）由题设知: 集合 A 中所有元素可以组成以 3 为首项, 2 为公差的递减等差数 列；集合 B 中所有的元素可以组成以 3 为首项, 6 为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的 Nn  ,有 BBA  A B 中的最大数为 3 ,即 1 3a   …………………………………………………3 分 设等差数列 na 的公差为 d ,则 3 ( 1)na n d    , 1 10 10 10( ) 45 302 a aS d   因为 10750 300S    ,  750 45 30 300d     ,即 616  d 由于 B 中所有的元素可以组成以 3 为首项, 6 为公差的递减等差数列, 所以 )0,(6  mZmmd ,由 16 6 6m     2m  ，所以 12d 所以数列 na 的通项公式为 9 12na n  （  Nn ） …………………………………8 分 （Ⅱ） 13 92 2( ) ( )2 2 na n n nb    …………………………………………………………9 分 于是有 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n na b b a a b b a a b b a       1A 1B 1C A B C E 2 1 3 4 3 5 6 5 7 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n nb a a b a a b a a b a a          2 4 6 2 1 1[1 ( ) ] 12 224( ) 24 24(1 )1 21 2 n n nb b b b             …………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）   2 2f x x ax b    ，  直线 2 14 0x y   的斜率为 1 2  ，曲线C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ,  1 1 2 2f a b     ……①  曲线  C : y f x 经过点  1 2P , ，   11 23f a b     ……② 由①②得： 2 ,3 7 .3 a b      ……………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：   3 21 2 7 3 3 3f x x x x   ，    2 3 21 23 mg x x x  ，    2 41 3g x m x x       , 由   0 0g x x    ，或 4 3x  . 当 2 1 0m   ，即 1m , 或 1m   时， x ，  g x ，  g x 变化如下表 x  0, 0 40 3,     4 3 4 3 ,     g x + 0 - 0 +  g x 极大值 极小值 由表可知：       40 3g x g x g g       极大 极小    2 232 320 1 181 81m m         ……………5 分 当 2 1 0m ,  即 1 1m   时， x ，  g x ，  g x 变化如下表 x  0, 0 40 3,     4 3 4 3 ,     g x - 0 + 0 -  g x 极小值 极大值 由表可知：      4 03g x g x g g     极大 极小    2 232 321 0 181 81m m       ………………7 分 综上可知：当 1m , 或 1m   时，    g x g x 极大 极小  232 181 m  ； 当 1 1m   时，    g x g x 极大 极小  232 181 m  ……………………………………8 分 （Ⅲ）因为  f x 在区间  1 2, 内存在两个极值点 ，所以 ( ) 0f x  ， 即 2 2 0x ax b   在 (1,2) 内有两个不等的实根． ∴ 2 (1) 1 2 0, (1) (2) 4 4 0, (2) 1 2, (3) 4( ) 0. (4) f a b f a b a a b                   …………………………………………………………10 分 由 （1）+（3）得： 0a b  ，………………………………………………………11 分 由（4）得： 2a b a a   ，由（3）得： 2 1a    ，  2 21 1( ) 22 4a a a     ，∴ 2a b  ． 故 0 2a b   …………………………………………………………………………12 分 22．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）设 1F , 2F 的坐标分别为 )0,(),0,( cc ,其中 0c 由题意得 AB 的方程为: )(3 cxy  因 1F 到直线 AB 的距离为3,所以有 3 13 33    cc ,解得 3c …………………1 分 所以有 3222  cba ……………………① 由题意知: 4222 1  ba ,即 2ab ……② 联立①②解得: 1,2  ba 所求椭圆 D 的方程为 14 2 2  yx …………………………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知: )0,2(P , 设 ),( 11 yxQ 根据题意可知直线 1l 的斜率存在，可设直线斜率为 k ,则直线 1l 的方程为 )2(  xky 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: 0)416(16)41( 2222  kxkxk 由韦达定理得 2 2 1 41 162 k kx  ,则 2 2 1 41 82 k kx   ,  )2( 11 xky 241 4 k k  ， 2 2 2 2 8 4,1 4 1 4 k kQ k k       ，线段 PQ 的中点坐标为 ,41 8( 2 2 k k  )41 2 2k k  ………………6 分 (ⅰ)当 0k 时, 则有 )0,2(Q ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴 于是 ),2(),,2( tNQtNP  由 44 2  tNQNP ,解得: 22t ……………………………………………8 分 当 0k 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y  xkk k (1 41 2 2 )41 8 2 2 k k  因为点 ),0( tN 是线段 PQ 垂直平分线的一点, 令 0x ,得: 241 6 k kt  ，于是 ),(),,2( 11 tyxNQtNP  由 4)41( )11516(4)(2 22 24 11   k kktytxNQNP ,解得: 7 14k 代入 241 6 k kt  ,解得: 5 142t 综上, 满足条件的实数t 的值为 22t 或 5 142t ………………………10 分 (ⅱ)设  2 2,G x y ，由题意知 1l 的斜率 0k  ,直线 2l 的斜率为 1 k  ，则 2 1: ( 2)l y xk    由 2 2 1 ( 2), 1,4 y xk x y         化简得： 2 2 2( 4) 16 16 4 0k x x k     ． ∵此方程有一根为 2 ， 得 2 2 2 2 8 4 kx k    2 2 4 4 ky k    ．…………………………12 分 2 2 2 2 8 4,1 4 1 4 k kQ k k        , 则 2 2 2 2 2 2 2 4 4 54 1 4 2 8 2 8 4( 1) 4 1 4 GQ k k kk kk k k k k k         所以GQ 的直线方程为 2 2 2 2 4 5 2 8( )1 4 4( 1) 1 4 k k ky xk k k       令 0y  ，则 2 2 2 2 16 ( 1) 2 8 6 5 (1 4 ) 1 4 5 k k kx k k k       。 所以直线GQ 过 x 轴上的一定点 6( ,0)5  …………………………………………………14 分