新课标——回归教材
函 数
1.函数 :f A B 的概念.理解注意(1): A B、 都是非空数集;(2)任意性:集合 A 中的任意一
个元素 x ;(3)唯一性:在集合 B 中有唯一确定的数 ( )f x 和它对应;(3)定不定:集合 A 一定是
函数的定义域,集合 B 不一定是函数的值域,函数值域一定是集合 B 的子集.
典例:(1)函数图像与直线 ( )x m m R 至多有一个公共点,但与直线 ( )y n n R 的公共
点可能没有,也可能有任意个.
(2)已知 {( , ) | ( ), }, {( , ) | 1}A x y y f x x F B x y x ,则集合 A B 中元素有 0 或 1 个;
(3)若函数 21 2 42y x x 的定义域、值域都是闭区间[2,2 ]b ,则 b ＝ 2 .
2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一
确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数.
典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函
数”,那么解析式为 2y x ,值域为{4,1}的“孪生函数”共有 9 个.
3.映射 :f A B 的概念.理解注意:映射是函数概念的推广,表现在集合 A B、 可以为任意
非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.
典 例 :(1) 设 集 合 { 1,0,1}, {1,2,3,4,5}M N , 映 射 :f M N 满 足 条 件 “ 对 任 意 的
x M , ( )x f x 是奇数”,这样的映射 f 有 12 个;
(2)设 2:f x x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 {1,2}B ,则 A B 一定是 1或 .
4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题:定义域优先）
(1)使函数的解析式有意义.
解析式 求定义域 解析式 求定义域 解析式 求定义域
( ) (ny u x n 为偶数) ( ) 0u x 1
( )y u x
( ) 0u x 0[ ( )]y u x ( ) 0u x
logay x ( a R , 1a ) 0x tany x ( )2x k k Z
典例:(1)函数
2
4
lg 3
x xy
x
的定义域是 [0,2) (2,3) (3,4) ;
(2)若函数 2
7
4 3
kxy kx kx
的定义域为 R,则 k 3 4[0, ) ;
(3)函数 ( )f x 定义域是[ , ]a b ,且 0b a ,则函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 定义域是 [ , ]a a ;
(4)设函数 2( ) lg( 2 1)f x ax x ,①若 ( )f x 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②若 ( )f x 的
值域是 R,求实数 a 的取值范围（答:① 1a ; ② 0 1a ）
(2)使实际问题有意义.
实际问题 有意义 实际问题 有意义 实际问题 有意义
三角形中 0 A ，最大角 3
,
最小角 3
距离或弧长或
面积或体积等 为正数 年月日等 为正整数
(3)复合函数的定义域.
简单函数定义域 复合函数定义域 求法备注
若已知 ( )f x 的定义域为[ , ]a b 则 [ ( )]f g x 的定义域由不等式 ( )a g x b 解出 解不等式
复合函数定义域 简单函数定义域 求法备注
若 [ ( )]f g x 的定义域为[ , ]a b 则 ( )f x 的定义域为 ( )g x 在[ , ]a b 上的值域 求值域法
典例:(1)若函数 ( )y f x 的定义域为 12[ ,2],则 2(log )f x 的定义域为 4}| 2{x x ;
(2)若函数 2( 1)f x 的定义域为[ 2,1) ,则函数 ( )f x 的定义域为 [1,5]x ．
5.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[ , ]m n 上
的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形
结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.
典例:(1)函数 2 2 5, [ 1,2]y x x x 的值域是 [4,8] ;
(2)已知 2( ) 4( 1) 3( )f x ax a x x 在 2x 时有最大值,则 a 1[ , )2
;
(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是
函数解析式含有根式.
典例:(1) 22sin 3cos 1y x x 的值域为 178[ 4, ] ;
(2) 2 1 1y x x 的值域为 [3, ) ;（令 1 0x t ,注意:换元要等价）;
(3) sin cos sin cosy x x x x 的值域为 12[ 1, 2] ;( 4sin cos 2 sin( )t x x x …)
(4) 24 9y x x 的值域为 [1,3 2 4] ;(令 3cos ( )x …)
(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.
典例:函数 2sin 1
1 siny
, 3
1 3
x
xy , 2sin 1
1 cosy
值域分别是: 312 2( , ],(0,1),( , ] ;
(4)单调性法——利用函数的单调性.
典例:(1)求 1 (1 9)y x xx
, 2
2 9
(1 sin )sin xy x , 5
32 log 1xy x 的值域
为 80 119 2(0, ) [ ,9] R、 、 ;
(5)数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.
典例:(1)若点 2 2{( , ) | 1}P x y x y ,则 2
y
x 及 2y x 的取值范围 3 3
3 3[ , ] [ 5, 5] 、 ;
(2)函数 2 2( 2) ( 8)y x x 的值域 [10, ) ;
(3)函数 2 26 13 4 5y x x x x 的值域 [ 34, ) 注意:异侧和最小,同侧差最大.
(6)判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为 R
典例:(1)函数 22
( 1)
x
xy 的值域 [ 1,1]
(2)若
2
3 2
8log 1
mx x ny x
的定义域为 R,值域为[0,2],求常数 ,m n 的值（答: 5m n ）
(7)不等式法——利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R 求函数的最值或值域.
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要
用到拆项、添项和平方等技巧.
典例:(1) 2
by k x
型,可直接用不等式性质,如函数 2
3
2y x
的值域 3 2(0, ] .
(2)
2x m x ny mx n
型, ,如函数
2 1
1
x xy x
的值域 ( , 3] [1, )
(3) 2
bxy x mx n
型,如①函数 21
xy x
的值域 1 12 2[ , ] ;②函数 2
3
xy x
的值域 12[0, ] .
(4) 设 1 2, , ,x a a y 成等差数列, 1 2, , ,x b b y 成等比数列,则
2
1 2
1 2
( )a a
bb
的取值范围是 ( ,0] [4, ) .
(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.
典例:函数 3 2( ) 2 4 40f x x x x , [ 3,3]x 的最小值是 48 .
提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？
(2)函数的最值与值域之间有何关系？
典例:函数 3 ( 1 3,y x x 且 )x Z 的值域是 { 3,0,3,6,9} ,不要错觉为 [ 3,9] .
6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表
示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值 0( )f x 时,一定首先要判断 0x
属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子
集上各关系式的取值范围的并集.
典例:(1)设函数
2( 1) , ( 1)( )
4 1.( 1)
x xf x
x x
,则不等式 ( ) 1f x 的解集为 ( , 2] [0,10] ;
(2)已知 1 ( 0)( ) 1 ( 0)
xf x x
,则不等式 ( 2) ( 2) 5x x f x 的解集是 3 2( , ] .
7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定 系数 法—— 已知所求函数的类型（二次函 数的表达形式有三种:一般
式: 2( )f x ax bx c ;顶点式: 2( ) ( )f x a x m n ;零点式: 1 2( ) ( )( )f x a x x x x ,要会根据已
知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式.
典例:若 ( )f x 为二次函数,且 ( 2) ( 2)f x f x ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段
长为 2 2 ,求 ( )f x 的解析式.（答: 21( ) 2 12f x x x ）
(2)代换(配凑)法——已知形如 ( ( ))f g x 的表达式,求 ( )f x 的表达式.
典例:(1)已知 2(1 cos ) sin ,f x x 求 2f x 的解析式（答: 2 4 2( ) 2 , [ 2, 2]f x x x x ）;
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 ( )f x 的定义域应是 ( )g x 的值域.
(2)若 2
2
1 1( )f x xx x
,则函数 ( 1)f x = 2 2 3x x ;
(3)若 ( )( )y f x x R 是奇函数,且 3( ) (1 )( 0)f x x x x ,那么 ( ,0)x 时, ( )f x = 3(1 )x x .
(3)方程的思想——已知条件是含有 ( )f x 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对
等式的进行赋值,从而得到关于 ( )f x 及另外一个函数的方程组.
典例:(1)已知 ( ) 2 ( ) 3 2f x f x x ,求 ( )f x 的解析式（答: 2( ) 3 3f x x ）;
(2)已知 ( )f x 是奇函数, ( )g x 是偶函数,且 ( )f x + ( )g x = 1
1x ,则 ( )f x = 2 1
x
x
.
8.函数的奇偶性.
(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇
偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
典例:若 ( )f x 2sin(3 ), [2 5 ,3 ]x x 为奇函数,其中 (0,2 ) ,则 值是 0 ;
(2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:
①定义法: 典例:(1)判断函数
2
| 4 | 4
9
xy
x
的奇偶性 奇函数_.
(2)判断函数 4 4( ) sin cos2 cosf x x x x 的奇偶性 既是奇函数又是偶函数 ;
②利用函数奇偶性定义的等价形式: ( ) ( ) 0f x f x 或 ( ) 1( )
f x
f x
( ( ) 0f x ).
典例:判断 1 1( ) ( )2 1 2xf x x
的奇偶性 偶函数 .
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称.
典例:判断 1,( 0)( ) 1.( 0)
x xf x x x
的奇偶性 奇函数 .
(3)函数奇偶性的性质:
①奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反).
②若 ( )f x 为偶函数,则 ( ) ( ) (| |)f x f x f x .
典例:若偶函数 ( )( )f x x R 在 ( ,0) 上单调递减,且 1( )3f =2,则不等式 1
8
(log ) 2f x 的解
集为 12(0, ) (2, )
④若奇函数 ( )f x 定义域中含有 0,则必有 (0) 0f .故 (0) 0f 是 ( )f x 为奇函数的既不
充分也不必要条件.
典例:若 2 2( ) 2 1
x
x
a af x
为奇函数,则实数 a ＝ 1 .
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函
数的和（或差）”.
典例:设 ( )f x 是定义域为 R 的任一函数, ( ) ( )( ) 2
f x f xF x , ( ) ( )( ) 2
f x f xG x .
①判断 ( )F x 与 ( )G x 的奇偶性; 答案: ( ) ( )F x G x为偶函数, 为奇函数 ;
②若将函数 ( ) lg(10 1)xf x ,表示成一个奇函数 ( )g x 和一个偶函数 ( )h x 之和,则 ( )g x ＝ 2x
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个( ( ) 0f x ,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9.函数的单调性.
(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
①在解答题中常用:定义法（取值—作差—变形—定号）、导数法（在区间 ( , )a b 内,
若总有 ( ) 0f x ,则 ( )f x 为增函数;反之,若 ( )f x 在区间 ( , )a b 内为增函数,则 ( ) 0f x ,请注
意两者的区别所在.
典例:已知函数 3( )f x x ax 在区间[1, ) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ( ,3] ;
②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意双勾函数 ( , )by ax a b Rx 图
象和单调性在解题中的运用:增区间为 ( , ],[ , )b ba a ,减区间为[ ,0)b a 和 (0, ]b a .
典例:(1)若函数 2( ) 2( 1) 2f x x a x 在 ( ,4] 上是减函数,则 a 取值范围是 3a ;
(2)已知函数 1( ) 2
axf x x
在区间 2, 上为增函数,则实数 a 的取值范围 12( , ) ;
(3)若函数 log ( 4) 0, 1a xaf x x a a 且 的值域为 R,则 a 的取值范围是 0 4 1a a 且 ;
③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.
典例:函数 2
0.5log ( 2 )y x x 的单调递增区间是 (1,2) .
特别提醒:求单调区间时,第一,勿忘定义域;
典例:若 2( ) log ( 3)af x x ax 在区间 ( , ]2
a 上为减函数,则 a 的取值范围 (1,2 3) ;
第二,在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”;
第三,单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示;
第四,你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?①比较大小;②解不等式;③求参数范围.
典例:已知奇函数 ( )f x 是定义在 ( 2,2) 上的减函数,若 ( 1) (2 1) 0f m f m ,求实数 m 的
取值范围.（答: 1 22 3m ）
10. 常见的图象变换
① y f x a ( 0)a 的图象是把函数 y f x 图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的.
典例:设 ( ) 2 , ( )xf x g x 的图像与 ( )f x 的图像关于直线 y x 对称, ( )h x 的图像由 ( )g x
的图像向右平移 1 个单位得到,则 ( )h x 为 2( ) log ( 1)h x x
② y f x a ( ( 0)a 的图象是把函数 y f x 图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的.
典例: (1)若 2( 199) 4 4 3f x x x ,则函数 ( )f x 的最小值为 2 ;
(2)要得到 lg(3 )y x 的图像,需作 lgy x 关于 y 轴对称图像,再向右平移 3 个单位而得到;
(3)函数 ( ) lg( 2) 1f x x x 的图象与 x 轴的交点个数有 2 个.
③函数 y f x + a ( 0)a 图象是把函数 y f x 的图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;
④函数 y f x + a ( 0)a 图象是把函数 y f x 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的;
典例:将函数 by ax a
的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与
原图象关于直线 y x 对称,那么 ( C )
1, 0A a b 1,B a b R 1, 0C a b 0,D a b R
⑤函数 y f ax ( 0)a 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 1
a
得到的.
典例:(1)将函数 ( )y f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 1
3 (纵坐标不变),再将此图像
沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为 (3 6)y f x ;
(2)如若函数 (2 1)y f x 是偶函数,则函数 (2 )y f x 的对称轴方程是 12x ．
⑥函数 y af x ( 0)a 图象是把函数 y f x 图象上各点纵坐标变为原来的 a 倍得到的.
11. 函数的对称性.
①满足条件 f x a f b x 的函数的图象关于直线
2
a bx 对称.
典例:若 2 ( 0)y ax bx a 满足 (5 ) ( 3)f x f x 且方程 ( )f x x 有等根,则 ( )f x ＝ 21
2 x x .
②点 ( , )x y 关于 y 轴对称点为 ( , )x y ;函数 y f x 关于 y 轴的对称曲线方程为 y f x ;
③点 ( , )x y 关于 x 轴对称点为 ( , )x y ;函数 y f x 关于 x 轴的对称曲线方程为 y f x ;
④点 ( , )x y 关于原点对称点为 ( , )x y ;函数 y f x 关于原点对称曲线方程为 y f x ;
:⑤点 ( , )x y 关于直线 y x a 的对称点为 ( ( ), )y a x a ;
曲线 ( , ) 0f x y 关于直线 y x a 的对称曲线的方程为 ( ( ), ) 0f y a x a .
特别地,点 ( , )x y 关于直线 y x 的对称点为 ( , )y x ;
曲线 ( , ) 0f x y 关于直线 y x 的对称曲线的方程为 ( , ) 0f y x ;
点 ( , )x y 关于直线 y x 的对称点为 ( , )y x ;
曲线 ( , ) 0f x y 关于直线 y x 的对称曲线的方程为 ( , ) 0f y x .
典例:己知函数 3 3( ) ,( )2 3 2
xf x xx
,若 ( 1)y f x 的图像是 1C ,它关于直线 y x 对称
图像是 2 2,C C 关于原点对称的图像为 3 3,C C则 对应的函数解析式是 2
2 1
xy x
;
⑥曲线 ( , ) 0f x y 关于点 ( , )a b 的对称曲线的方程为 (2 ,2 ) 0f a x b y .
典例:若函数 2y x x 与 ( )y g x 的图象关于点（-2,3）对称,则 ( )g x ＝ 2 7 6x x .
⑦形如 ( 0, )ax by c ad bccx d
的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 dx c
(由分母
为零确定)和直线 ay c
(由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 ( , )d a
c c
.
典例:已知函数图象 C 与 2: ( 1) 1C y x a ax a 关于直线 y x 对称,且图象 C 关于
点 (2, 3) 对称,则 a 的值为 2 .
⑧| ( ) |f x 的图象先保留 ( )f x 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对
称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; (| |)f x 的图象先保留 ( )f x 在 y 轴右方的图象,擦去 y
轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到.
典例:(1)作出函数 2| log ( 1) |y x 及 2log | 1|y x 的图象;
(2)若函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数,则函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 的图象关于 y轴 对称.
提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转
化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心（对
称轴）的对称点仍在图像上;(3)证明图像 1C 与 2C 的对称性,需证两方面:①证明 1C 上任意
点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 2C 上;②证明 2C 上任意点关于对称中心（对称轴）
的对称点仍在 1C 上.
典例:(1)已知函数 1( ) ( )x af x a Ra x
.求证:函数 ( )f x 的图像关于点 ( , 1)M a 成中心
对称图形;
(2)设曲线 C 的方程是 3y x x ,将 C 沿 x 轴, y 轴正方向分别平行移动 ,t s 单位长度后
得曲线 1C .
①写出曲线 1C 的方程（答: 3( ) ( )y x t x t s ）;
②证明曲线 C 与 1C 关于点 ( , )2 2
t sA 对称.
12. 函数的周期性.
(1)类比“三角函数图像”得
①若 ( )y f x 图像有两条对称轴 , ( )x a x b a b ,则 ( )y f x 必是周期函数,且一周期
为 2 | |T a b ;
②若 ( )y f x 图像有两个对称中心 ( ,0), ( ,0)( )A a B b a b ,则 ( )y f x 是周期函数,且一周
期为 2 | |T a b ;
③如果函数 ( )y f x 的图像有一个对称中心 ( ,0)A a 和一条对称轴 ( )x b a b ,则函数
( )y f x 必是周期函数,且一周期为 4 | |T a b ;
典例:(1)已知定义在 R 上的函数 ( )f x 是以 2 为周期的奇函数,则方程 ( ) 0f x 在[ 2,2]
上至少有 5 个实数根.
(2)由周期函数的定义“函数 ( )f x 满足 f x f a x ( 0)a ,则 ( )f x 是周期为 a 的周期
函数”得:
①函数 ( )f x 满足 f x f a x ,则 ( )f x 是周期为 2 a 的周期函数;
②若 1( ) ( 0)( )f x a af x
恒成立,则 2T a ;③若 1( ) ( 0)( )f x a af x
恒成立,则 2T a .
④若 1 ( )( ) ( 0)1 ( )
f xf x a af x
恒成立,则 4T a .类比 1 tantan( )4 1 tan
xx x
记忆.
典例:(1)设 ( )f x 是 R 上的奇函数, ( 2) ( )f x f x ,当 0 1x 时, ( )f x x ,则 (47.5)f = 0.5 ;
(2)定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 ( 2) ( )f x f x ,且在[ 3, 2] 上是减函数,若 , 是锐角
三角形的两个内角,则 (sin ), (cos )f f 的大小关系为 (sin ) (cos )f f ;
(3)已知 ( )f x 是偶函数,且 (1)g =993, ( )g x = ( 1)f x 是奇函数,求 (2012)f 的值(答:993);
(4)设 2 1 1 ( )f x f x f x x R ,又 2 2 2f ,则 2012f = 1 2 2 .
13.指数式、对数式:
m
mnna a , 1 m
n
m
n
a
a
, 0 1( 0)a a , log 1 0a , log 1a a , lg2 lg5 1 , log lne x x ,
log ( 0, 1, 0)b
aa N N b a a N , loga Na N , loglog log
c
a
c
bb a
, log logm
n
aa
nb bm
.
典例:(1) 2 3 5log 25 log 4 log 9 的值为 8 ;(2) 2log 81( )2
的值为 1
64
(3)已知函数 *
1( ) log ( 2)( )nf n n n N ,定义使 (1) (2) ( )f f f k 为整数的数 *( )k k N 叫做
企盼数,则在区间[1,2012] 内这样的企盼数共有 9 个.
14. 指数、对数值的大小比较:
(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法;
(3)利用中间量(0 或 1); (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较.
15. 函数的应用.
(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题—认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背
景,寻找各量之间的内存联系;②建模—通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,
别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模—求解所得的数学问题;④回归—将所解得的数
学结果,回归到实际问题中去. (2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建
立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立双勾函数 ( , )by ax a b Rx 型.
典例:某旅店有客床 100 张,各床每天收费 10 元时可全部额满.若每床每天收费每提高
2 元,则减少 10 张客床租出,这样,为了减少投入多获利,每床每天收费应提高( B )
A 2 元 B 4 元 C 6 元 D 8 元
16. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件（如函数的
定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:
(1)借鉴模特函数进行类比探究.几类常见的抽象函数:
①正比例函数型: ( ) ( 0)f x kx k --------------- ( ) ( ) ( )f x y f x f y ;
②幂函数型: 2( )f x x -------------- ( ) ( ) ( )f xy f x f y , ( )( ) ( )
x f xf y f y
;
③指数函数型: ( ) xf x a ------------ ( ) ( ) ( )f x y f x f y , ( )( ) ( )
f xf x y f y
;
④对数函数型: ( ) logaf x x ----- ( ) ( ) ( )f xy f x f y , ( ) ( ) ( )xf f x f yy
;
⑤三角函数型: ( ) tanf x x ----- ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f yf x y f x f y
.
典例:若 ( )f x 是 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的周期为 T,则 ( )2
Tf 0 .
(2)利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究
典例:(1)设函数 ( )( )f x x N 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 ,x y N ,都有( A )
A ( 3) ( )f x f x B ( ) ( ) ( )f x y f x f y C (3 ) 3 ( )f x f x D ( ) ( ) ( )f xy f x f y
(2)设 ( 2) ( 1) ( )( )f x f x f x x R ,若 3(1) lg 2f , (2) lg15f ,求 (2012)f （答: 1 ）;
(3)设 ( )( )f x x R 是奇函数,且 ( 2) ( )f x f x ,证明:直线 1x 是 ( )f x 图象的一条对称轴;
(4)已知定义域为 R 的函数 ( )f x 满足 ( ) ( 4)f x f x ,且当 2x 时, ( )f x 单调递增.如果
1 2 4x x ,且 1 2( 2)( 2) 0x x ,则 1 2( ) ( )f x f x 的值的符号是 负 .
(3)利用一些方法（如赋值法（令 x ＝0 或 1,求出 (0)f 或 (1)f 、令 y x 或 y x 等）、
递推法、反证法等）进行逻辑探究.
典例:(1)若 x R , ( )f x 满足 ( ) ( )f x y f x ( )f y ,则 ( )f x 的奇偶性是 奇函数 ;
(2)若 x R , ( )f x 满足 ( ) ( )f xy f x ( )f y ,则 ( )f x 的奇偶性是 偶函数 ;
(3)已知 ( )f x 是定义在 ( 3,3) 上的奇函数,当 0 3x 时, ( )f x 的
图像如右图所示,那么不等式 ( ) cos 0f x x 的解集是
( , 1) (0,1) ( ,3)2 2
;
(4)设 ( )f x 的定义域为 R ,对任意 ,x y R ,都有 ( ) ( ) ( )xf f x f yy
,
且 1x 时, ( ) 0f x ,又 1( ) 12f .①求证 ( )f x 为减函数;②解不等式 2( ) (5 )f x f x .
（答: (0,1] [4,5) ）．
y
xO 1 2 3
微信/支付宝扫码支付