新课标——回归教材
导数
1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.
典例:一物体的运动方程是 21s t t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在
3t 时的瞬时速度为 5 米/秒 .
2.导函数的概念:如果函数 ( )f x 在开区间 ( , )a b 内可导,对于开区间 ( , )a b 内的每一个 0x ,
都对应着一个导数 0f x ,这样 ( )f x 在开区间 ( , )a b 内构成一个新的函数,这一新的函数叫做
( )f x 在开区间 ( , )a b 内的导函数,记作
0 0
lim limx x
f x x f xyf x y x x
,简称导数.
3.求 ( )y f x 在 0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量 0 0y f x x f x ;(2)求平
均变化率 0 0f x x f xy
x x
;(3)取极限,得导数 0 0
limx
yf x x
.
4.导数的几何意义:函数 ( )f x 在点 0x 处的导数的几何意义,就是曲线 ( )y f x 在点
0, 0P x f x 处的切线的斜率,即曲线 ( )y f x 在点 0, 0P x f x 处的切线的斜率是 0f x ,相
应地切线的方程是 0 0 0y y f x x x .
特别提醒:(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,
还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此
点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线
上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是 0( )f x .
典例:(1) P 在曲线 3 2
3y x x 上移动,在点 P 处的切线的倾斜角为 ,则 3[0, ) [ , )2 4
;
(2)直线 3 1y x 是曲线 3y x a 的一条切线,则实数 a 的值为 －3 或 1 ;
(3)若函数 3 21( ) 2 2f x x x m ( m 为常数)图象上 A 处的切线与 3 0x y 的夹角为
4
,则
A 点的横坐标为 160或 ;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为 0 或 900(舍去))
(4)曲线 3 1y x x 在点 (1,3) 处的切线方程是 4 1 0x y ;
(5)已知函数 3 22( ) 43f x x ax x ,又 ' ( )y f x 的图象与 x 轴交于 ( ,0),(2 ,0), 0k k k .
①求 a 的值;②求过点 (0,0) 的曲线 ( )y f x 的切线方程（答:①1;② 4y x 或 35
8y x ）.
5.导数的公式、法则:
(1)常数函数的导数为 0,即 0C （ C 为常数）;
(2) 1n nx nx n Q ,与此有关的常用结论: 1
1 2
2
1 1 1,
2
x x xx x x
;
(3) 11
ln(sin ) cos ;(cos ) sin ;( ) ,( ) ln ;(ln ) ,(log )x x x x
x a x ax x x x e e a a a x x
(4)[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x ;[ ( )] ( )C f x Cf x ; ( )
( ) 2
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( )
f x
g x
f x g x g x f x g xg x
典例:(1)已知函数 ( ) m nf x mx 的导数为 3( ) 8f x x ,则 nm 1
4 ;
(2)函数 2( 1)( 1)y x x 的导数为 23 2 1y x x ;
(3)若对任意 x R , 3( ) 4 , (1) 1f x x f ,则 ( )f x 是 4( ) 2f x x .
6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性:
①若 ( ) 0f x ,则 ( )f x 为增函数;若 ( ) 0f x ,则 ( )f x 为减函数;若 ( ) 0f x 恒成立,则
( )f x 为常数函数;若 ( )f x 的符号不确定,则 ( )f x 不是单调函数.
②若函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上单调递增,则 ( ) 0f x ,反之等号不成立;若函数
( )y f x 在区间 ( , )a b 上单调递减,则 ( ) 0f x ,反之等号不成立.
典例:(1)函数 3 2( ) ( , , )f x x ax bx c a b c R ,当 2 3 0a b 时, ( )f x 的单调性是 增函数 ;
(2)设 0a 函数 3( )f x x ax 在[1, ) 上单调函数,则实数 a 的取值范围 0 3a ;
(3)已知函数 3( ) (f x x bx b 为常数）在区间 (0,1) 上单调递增,且方程 ( ) 0f x 的根都在区
间[ 2,2] 内,则 b 的取值范围是[3,4];
(4)已知 2( ) 1f x x , 4 2( ) 2 2g x x x ,设 ( ) ( ) ( )x g x f x ,试问是否存在实数 ,使 ( )x
在 ( , 1) 上是减函数,并且在 ( 1,0) 上是增函数？（答: 4 ）
(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求 ( )f x ;(2)求方程 ( ) 0f x 的根,设根为
1 2, , nx x x ;(3) 1 2, , nx x x 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判断 ( )f x 的
符号,由此确定每一子区间的单调性.
典例:设函数 3 2( )f x ax bx cx 在 1,1x 处有极值,且 ( 2) 2f ,求 ( )f x 的单调区间.
（答:递增区间（－1,1）,递减区间 , 1 ,(1, ) ）
7、函数的极值:
(1)定义:设函数 ( )f x 在点 0x 附近有定义,如果对 0x 附近所有的点,都有 0( ) ( )f x f x ,就
说是 0( )f x 函数 ( )f x 的一个极大值.记作 y极大值 ＝ 0( )f x ,如果对 0x 附近所有的点,都有
0( ) ( )f x f x ,就说是 0( )f x 函数 ( )f x 的一个极小值.记作 y极小值 ＝ 0( )f x .极大值和极小值统
称为极值.
(2)求函数 ( )y f x 在某个区间上的极值的步骤:（i）求导数 ( )f x ;（ii）求方程 ( ) 0f x
的根 0x ;（iii）检查 ( )f x 在方程 ( ) 0f x 的根 0x 的左右的符号:“左正右负” ( )f x 在 0x
处取极大值;“左负右正” ( )f x 在 0x 处取极小值.
特别提醒:(1) 0x 是极值点的充要条件是 0x 点两侧导数异号,而不仅是 0f x ＝
0, 0f x ＝0 是 0x 为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既
考虑 0( ) 0f x ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一
点一定要切记！
典例:(1)函数 2 3( 1) 1y x 的极值点是( C )
A、极大值点 1x B、极大值点 0x C、极小值点 0x D、极小值点 1x ;
(2)函数 3 2 2 1f x x ax bx a x 在 处有极小值 10,则 a+b 的值为 －7 ;
(3)已知 3 2( )f x x bx cx d 在区间[－1,2 ]上是减函数,那么 b＋c 有最 大 值 15
2
.
特别小结:三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a 的极值情况.
记其导函数 2( ) 3 2 0f x ax bx c 的判别式为 24 12b ac ,其图象对称轴为
3
bx a
.则
(1)若 24 12 0b ac 时,三次函数 ( )f x 无极值,
①当 0a 时, ( ) 0f x , ( )f x 在定义域上递增;②当 0a 时, ( ) 0f x , ( )f x 在定义域上递减.
(2) 若 24 12 0b ac 时,记 ( ) 0f x 的两根为 1 2x x ,则三次函数 ( )f x 有极值,且
①当 0a 时, 1 2( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x 极大值 极小值 (简称为左大右小);
②当 0a 时, 1 2( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x 极小值 极在值 (简称为左小右大);
综上,三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a 有极值的充要条件为 24 12 0b ac .
(3)三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a 都有对称中心,其坐标为 ( , ( ))3 3
b bfa a
.
典例:已知函数 3 2( ) ( 6) 1f x x ax a x 有极值,则实数 a 的取值范围是 6 3a a 或 ;
8.函数的最大值和最小值:
(1)定义:函数 ( )f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的
“最大值”;函数 ( )f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中
的“最小值”.
(2)求函数 ( )y f x 在[ ,a b ]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数 ( )y f x 在 ( , )a b 内的极
值（极大值或极小值）;(2)将 ( )y f x 的各极值与 ( )f a , ( )f b 比较,其中最大的一个为最大值,
最小的一个为最小值.
典例:(1)函数 3 22 3 12 5y x x x 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 5, 15 ;
(2)用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一
边长 0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
（答:高为 1.2 米时,容积最大为 39
5 cm ）
特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！
(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解
决方程不等式等相关问题.
典例:(1) ( )f x 是 ( )f x 的导函数, ( )f x 的图象如下图所示,则 ( )f x 的图象只可能是( D )
(2)图形 M(如图所示)是由底为 1，高为 1 的等腰三角形及
高为 2 和 3 的两个矩形所构成，函数 S＝S(a)(a≥0)是图形
M 介于平行线 y＝0 及 y＝a 之间的那一部分面积，则函数
S(a)的图象大致是 ( C )
(3)方程 3 26 9 10 0x x x 的实根的个数为 1 ;
(4)已知函数 3 2( )f x x ax x ,抛物线 2:C x y ,当 (1,2)x 时,函数 ( )f x 的图象在抛物线
2:C x y 的上方,求 a 的取值范围（答: 1a ）.
(5)求证: 1 ln 1( 0)x x x xx
(构造函数法)
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