房山区2012高三一模数学试题及答案（理科）

北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科) 考 生 须 知 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分,考试时间为 120 分钟 。 2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。 第 I 卷 选择题（共 40 分） 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直 接涂在答题卡上。 1.已知集合    2,0 , 2 5 0, , ,M a N x x x x M N a      Z 如果 则 等于 （ ） （A）1 （B） 2 （C）1 2或 （D） 2 5 2.如果 (1, )a k ， ( ,4),b k 那么“ a ∥b  ”是“ 2k   ”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 3.如图， PA 是圆O 的切线，切点为 A ， PO 交圆O 于 ,B C 两点， 3, 1PA PB  ，则 ABC =( ) （A） 70 （B） 60 （C） 45 （D）30 4.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1, 3) .若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则点 P 的极坐标可以是 （ ） （A） (2, )3  （B） 4(2, )3  （C） (1, )3  （D） 4(2, )3  5.执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值为 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 是 （D）8 否 6.已知函数      0,12 0,12)( 2 2 xxx xxxxf ，则对任意 R21, xx ，若 1 20 x x  ，下列不等式成立的是( ) （A） 1 2( ) ( ) 0f x f x  （B） 1 2( ) ( ) 0f x f x  （C） 1 2( ) ( ) 0f x f x  （D） 1 2( ) ( ) 0f x f x  7.直线 3y kx  与圆     421 22  yx 相交于 NM , 两点，若 2 3MN  ，则 k 的取值范围是( ) （A） 12( , )5   （B） 12( , ]5   （C） 12( , )5  （D） 12( , ]5  8.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动，则 OCOB  的最大 值是 （ ） （A） 2 （B）1 2 （C） （D）4 第 II 卷 非选择题(共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡上的指定位置。 9.i 是虚数单位，则 1 i i  __. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 11．已知函数      xxf sin （ >0,  0 ）的图象如图所示，则  __， =__. 12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连 续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种. 13.设 )(xf 是定义在 R 上不为零的函数，对任意 Ryx , ，都有 )()()( yxfyfxf  ，若 ))((,2 1 1 *N nnfaa n ，则数列 }{ na 的前 n 项和的取值范围是 . 14. F 是 抛 物 线 2 2y px  0p 的 焦 点 ， 过焦 点 F 且 倾 斜 角 为  的 直 线 交 抛物 线 于 ,A B 两 点 ， 设 ,AF a BF b  ，则：①若 60 且 ba  ，则 b a 的值为 ______ ；②  ba ______ （用 p 和 表示）. 三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共 13 分） 已知 ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ,b ，c ，tan tan 3 3 tan tanA B A B   , ,2a 19c  . （Ⅰ）求 tan( )A B 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积. 16.（本小题共 13 分） 今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10 人 6 人 4 人 （I）若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传，求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率； （II）若将 4 名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立 的），记安排到高一年级的教师人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17.（本小题共 14 分） 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BC CC AB  =2 , BCAB  .点 NM , 分别是 1CC , CB1 的中点，G 是棱 AB 上的动点. （I）求证： CB1 平面 BNG ； (II)若CG //平面 MAB1 ，试确定 G 点的位置，并给出证明； (III)求二面角 1M AB B  的余弦值. 18．（本小题共 13 分） 已知函数 mxxxf  )1ln()( ． （I）当 1m  时，求函数 )(xf 的单调递减区间； （II）求函数 )(xf 的极值； （III）若函数 ( )f x 在区间 20, 1e   上恰有两个零点，求 m 的取值范围． 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，一个顶点为  0, 1A  ，离心率为 3 6 ． （I）求椭圆G 的方程； （II）设直线 mkxy  与椭圆相交于不同的两点 ,M N ．当 ANAM  时，求 m 的取值范围． 20．（本小题共 13 分） 在直角坐标平面上有一点列  ),(,),(),,( 222111 nnn yxPyxPyxP ，对一切正整数 n ，点 nP 位于函数 4 133  xy 的图象上，且 nP 的横坐标构成以 2 5 为首项， 1 为公差的等差数列 nx ． （I）求点 nP 的坐标； （II）设抛物线列  ,,,,, 321 ncccc ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线 nc 的顶点为 nP ，且 过点 )1,0( 2 nDn ，记与抛物线 nc 相切于 nD 的直线的斜率为 nk ，求： nn kkkkkk 13221 111    ； （III）设    ** NN  nyyyTnxxxS nn ,4|,,2| ，等差数列 na 的任一项 na S T  ，其中 1a 是 S T 中的最大数， 125265 10  a ，求 na 的通项公式． 北京市房山区 2012 高三第一次模拟试题参考答案 高三数学(理科) 一、选择题（每题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D B A 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 9． i2 1 2 1  ; 10. 3 2 ; 11. 5 8 , 9 10  ; 12. 120； 13.      1,2 1 ; 14. ① 3 ；② 2sin 2pAB  或     2 2 tan 1tan2 p 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共 80 分） 15．（本小题共 13 分） 解：（I）解 tan tan 3 3 tan tanA B A B   3(1 tan tan )A B  tan tantan( ) 1 tan tan A BA B A B     3 ……………………5 分 （II）由（I）知 60A B   ， 120C   ……………………7 分  Cabbac cos2222  ∴      2 122419 2 bb ∴ 3b ……………………10 分 ∴ 2 3322 1sin2 1  CabS ABC 2 33 ……………………13 分 16．（本小题共 13 分） 解：（I）设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ，则   38 15 3 20 2 10 1 10  C CCAP 答：若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率为 38 15 . ………………………4 分 （II）解法 1：  的所有取值为 0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 3 1 .所 以 ………………………6 分   81 16 3 2 3 10 40 0 4          CP  ;   81 32 3 2 3 11 31 1 4          CP  ;   27 8 81 24 3 2 3 12 22 2 4          CP  ;   81 8 3 2 3 13 13 3 4          CP  ;   81 1 3 2 3 14 04 4 4          CP  . ………………………11 分 随机变量 的分布列为：  0 1 2 3 4 P 81 16 81 32 27 8 81 8 81 1 ………………………12 分 所以 3 4 81 1481 8381 24281 32181 160 E ……………………13 分 解法 2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 3 1 . …………………5 分 则随机变量 服从参数为 4， 3 1 的二项分布，即 ～ )3 1,4(B .……………7 分 随机变量 的分布列为：  0 1 2 3 4 P 81 16 81 32 27 8 81 8 81 1 所以 3 4 3 14  npE …………………13 分 17．（本小题共 14 分） (I) 证明：∵在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CCBC  ，点 N 是 CB1 的中点， ∴ CBBN 1 …………………………1 分 BCAB  , 1BBAB  , BBCBB 1 ∴ AB ⊥平面 11BCCB ………………………2 分 CB1 平面 11BCCB ∴ ABCB 1 ，即 GBCB 1 …………………3 分 又 BBGBN  ∴ CB1 平面 BNG …………………………………4 分 （II）当 G 是棱 AB 的中点时，CG //平面 MAB1 .……………………………5 分 证明如下: 连结 1AB ,取 1AB 的中点 H，连接 GCHMHG ,, , 则 HG 为 BAB1 的中位线 ∴GH ∥ 1BB ， 12 1 BBGH  …………………6 分 ∵由已知条件， 11BCCB 为正方形 ∴ 1CC ∥ 1BB ， 11 BBCC  ∵ M 为 1CC 的中点， ∴ 12 1 CCCM  ……………………7 分 ∴ MC ∥GH ，且 GHMC  ∴四边形 HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥ HM 又 ∵ MABHMMABGC 11 , 平面平面  ……………………8 分 ∴CG //平面 MAB1 ……………………9 分 (III) ∵ 直三棱柱 1 1 1ABC A B C 且 BCAB  依题意，如图：以 1B 为原点建立空间直角坐标系 1B xyz ，……………………10分  1(0,0,0)B , (0,2,0)B , )0,1,2(M , (0,2,2)A , 1(2,0,0)C 则 1 (0,2,2)B A  ， )0,1,2(1 MB 设平面 1B AM 的法向量 ( , , )n x y z ， 则 1 1 0 0 n B A n B M           ,即 0 0 2 2 2x y z y        ， 令 1x ，有 )2,2,1( n ……………………12分 又平面 1B AB 的法向量为 1 1 (2,0,0)B C  ，  1 1cos ,B C n   = 1 1 1 1 B C n B C n       = 3 1 ， ……………………13 分 设二面角 1M AB B  的平面角为 ，且 为锐角  1 1 1cos cos , 3B C n     ． ……………………14 分 18．（本小题共 13 分） 解：（I）依题意，函数 ( )f x 的定义域为   ,1 ， 当 1m  时， ( ) ln(1 )f x x x   ，  1( ) 11f x x    ……………………2 分 由 ( ) 0f x  得 1 1 01 x   ，即 01 x x   解得 0x  或 1x   ， 又 1x   ， 0x   ( )f x 的单调递减区间为 (0, ) ． ……………………4 分 （II） mxxf  1 1)( ， )1( x （1） 0m 时， 0)(  xf 恒成立 )(xf 在 ),1(  上单调递增，无极值. ……………………6 分 （2） 0m 时，由于 111  m 所以 )(xf 在      11,1 m 上单调递增，在       ,11 m 上单调递减， 从而 1ln)11()(  mmmfxf 极大值 ． ……………………9 分 （III）由（II）问显然可知， 当 0m 时， ( )f x 在区间 20, 1e   上为增函数， 在区间 20, 1e   不可能恰有两个零点． ……………………10 分 当 0m 时，由（II）问知 ( ) =f x 极大值 1( 1)f m  ， 又 (0) 0f  ， 0 为 ( )f x 的一个零点． ……………………11 分 若 ( )f x 在 20, 1e   恰有两个零点，只需 2 2 ( 1) 0 10 1 1 f e em        即 2 2 2 ( 1) 0 1 1 m e me       2 2 11 me    ……………………13 分 （注明：如有其它解法，酌情给分） 19．（本小题共 14 分） 解：（I）依题意可设椭圆方程为 12 2 2  y a x ，则离心率为  a ce 3 6 故 3 2 2 2  a c ，而 12 b ，解得 32 a ， ……………………4 分 故所求椭圆的方程为 1 3 2 2  yx . ……………………5 分 （II）设      P P M M N NP x y M x y N x y， 、 ， 、 ， ，P 为弦 MN 的中点， 由      13 2 2 yx mkxy 得 0)1(36)13( 222  mmk ， 直线与椭圆相交，      2 2 26 4 3 1 3 1 0mk k m        13 22  km ，① …………7 分 2 3 2 3 1 M N P x x mkx k      ，从而 23 1P P my kx m k     ， （1）当 0k 时 21 3 1 3 P AP P y m kk x mk       ( 0m 不满足题目条件) ∵ ,AM AN AP MN   ，则 kmk km 1 3 13 2  ，即 132 2  km ， ② …………………………9 分 把②代入①得 2 2m m ，解得 20  m ， …………………………10 分 由②得 03 122  mk ，解得 2 1m ．故 22 1  m ………………………11 分 （2）当 0k 时 ∵直线 my  是平行于 x 轴的一条直线， ∴ 11  m …………………………13 分 综上，求得 m 的取值范围是 21  m ． …………………………14 分 20．（本小题共 13 分） 解：（I） 2 3)1()1(2 5  nnxn …………………………2 分 13 5 3 53 3 , ( , 3 )4 4 2 4n n ny x n P n n            …………………………3 分 （II） nc 的对称轴垂直于 x 轴，且顶点为 nP .设 nc 的方程为： ,4 512)2 32( 2  nnxay …………………………5 分 把 )1,0( 2 nDn 代入上式，得 1a ， nc 的方程为： 1)32( 22  nxnxy . …………………………7 分 322  nxy 当 0x 时， 32  nkn )32 1 12 1(2 1 )32)(12( 11 1   nnnnkk nn nn kkkkkk 13221 111    )]32 1 12 1()9 1 7 1()7 1 5 1[(2 1  nn = 64 1 10 1)32 1 5 1(2 1  nn …………………………9 分 （III） }1,),32(|{  nNnnxxS ， }1,),512(|{  nNnnyyT }1,,3)16(2|{  nNnnyy ,S T T  T 中最大数 171 a . …………………………10 分 设 }{ na 公差为 d ，则 )125,265(91710  da ，由此得 ).(247,24 ),(12,129 248 * * Nnnad NmmdTad n n   又 ………………………11 分 ………………………13 分