江西师大附中2012届高三5月模拟考试数学（文）试题

江西师大附中 2012 年高三 5 月模拟考试 文科数学试卷 命题人：欧阳晔 赵子兵 审题人：赵子兵 欧阳晔 2012.5 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合    22 , 0 , 1 (2 ) ,xM y y x N x y g x x M N      则 为( ) A. (1,2) B. ),1(  C. ),2[  D. ),1[  2.设 5log 4a  ， 2 5(log 3)b  ， 4log 5c  ，则( ) A. a c b  B.b c a  C. a b c  D.b a c  3.曲线 3 11y x  在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.15 4.下列函数中，周期为π，且在[0, ]2  上为减函数的是( ) A.y＝sin 2x＋π 2 B.y＝cos 2x＋π 2 C.y＝sin x＋π 2 D.y＝cos x＋π 2 5.设 ,m n 是平面 内的两条不同直线， 1 2,l l 是平面  内的两条相交直线，则 //  的一个充分而不必要条件是 ( ) A. //m  且 1 //l  B. 1//m l 且 2//n l C. // //m n 且 D. 2// //m n l且 6.已知函数 |ln | 1( ) | |xf x e x x    ，则函数 ( 1)y f x  的大致图象为( ) 7.若数列   为常数满足 dNndaaa nn n ,11 1    ,则称数列 na 为“调和数列”.已知正项数列       nb 1 为“调和 数列”,且 90921  bbb ,则 64 bb  的最大值是( ) A.10 B.100 C.200 D.400 8.已知圆 2 2: 4O x y  与 x 轴的正半轴相交于 A 点, C D、 两点在圆 O 上, C 在第一象限, D 在第二象 限,C D、 的横坐标分别为10 8 13 5 、 ，则 cos COD =( ) A. 16 65  B. 16 65 C. 56 65  D. 56 65 9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( ) A. 8 3  B. 4 3 C.16 3  D. 2 3 10.过双曲线 2 2 2 2 1( 0)x y b aa b     的左焦点 ( ,0)( 0)F c c  作圆 2 2 2x y a  的 切线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线的右支于点 P ,若 1 ( )2OE OF OP    ,则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x C 之间的关系,随 机统计了某 4 天的用电量与 当天气温,并制作了对照表: 由表中数据得线性回归方程 60y bx  中,预测当气温为 4 C  时,用电 量的度数 约为_______. 12.阅读如右图所示的程序框图，输出的结果 S 的值为_______. 13. 定 义 区 间 ],[ 21 xx )( 21 xx  的 长 度 为 12 xx  , 已 知 函 数 |log| 2 1 xy  的定义域为 ],[ ba ,值域为 ]2,0[ ,则区间 ],[ ba 长度的最大 值 为 _______. 14. 在 ABC 中 , 6, 8AB AC  , O 为 ABC 的 外 心 , 则 AO BC   ________. 15.已知实数 ,x y 满足 0 2 0 2 0 x y x x y          ，复数 z x yi  ( i 是虚数单位),则 1 2z i  的最大值与最小值的乘积为___________. 三、解答题：本大题共 6 小题；共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12 分)某培训班共有 n 名学生,现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图,如图所示.其中落 在[80,90) 内的频数为 36. (1)请根据图中所给数据，求出 a 及 n 的值； (2)从如图 5 组中按分层抽样的方法选取 40 名学生的成绩作 为一个样 本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生 的成绩? (3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生 的成绩,求 所取两名学生的平均分不低于 70 分的概率. 17.(12 分) ABC 中，角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，满足 2 22 ( )AB AC a b c     . (1)求角 A 的大小; (2)求 2 42 3cos sin( )2 3 C B  的最大值，并求取得最大值时角 B、C 的大小. 18.(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA  平面 ,ABCD 四 边 形 ABCD 为 正方形, 4, 3,AB PA A  点在 PD 上的射影为G 点. (1)求证: AG  平面 ;PDC 气温( C ) 18 13 10 1 用电量(度) 24 34 38 64 (2)在棱 AB 上是否存在一点 E ,使得 //AG 平面 PEC .若存在,求出 AE 的长;若不存在,请说明理由. 19.(12 分)已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}  {－10，－6，－2,0,1,3,4,16}． (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在等差数列{bn}，使得 a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n+1－n－2 对一切 n∈N*都成立？若存在，求 出 bn；若不存在，说明理由． 20.(13 分)设椭圆 C: 2 2 2 1( 0)2 x y aa    的左、右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆 C 上的一点, 2 1 2 0AF F F   ,坐标 原点 O 到直线 AF1 的距离为 1 1 3 OF . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 ( 1,0)F  ,交 y 轴于点 M,若| | 2 | |MQ QF  ,求直线 l 的 斜率. 21.(14 分)已知函数 2( ) ln a af x x x x    ( a R ). (1)若 1a  ,求函数 ( )f x 的极值; (2)若 ( )f x 在[1, ) 内为单调增函数，求实数 a 的取值范围; (3)对于 n N  ,求证: 2 1 ln( 1)( 1) n i i ni   . 高三数学（文）参考答案 1~10. ADCAB ABBCC 11. 68 12. －1 13. 15 4 14. 14 15. 5 2 2 16.(1)第四组的频率为:1 0.05 0.225 0.35 0.075 0.3     0.3 0.0310a   , 36 1200.3n   (2)第一组应抽: 0.05 40 2  个 第五组应抽: 0.075 40 3  个 (3) 设 第 一 组 抽 取 的 2 个 分 数 记 作 1 2,A A , 第 五 组 的 3 个 记 作 1 2 3, ,B B B , 那 么 从 这 两 组 中 抽 取 2 个 有: 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 10 种,其中平均分不低于 70 分有 9 种, 所以概率为: 9 10P  17.解：(1)由已知 2 2 22 cos 2bc A a b c bc    ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   得 4 cos 2bc A bc  ，∴ 1cos 2A   ， ∵ 0 A   ，∴ 2 3A  (2)∵ 2 3A  ，∴ 3B C  ， 0 3C   . 2 4 1 cos2 3cos sin( ) 2 3 sin( )2 3 2 3 C CB B       3 2sin( )3C    ∵ 0 3C   ，∴ 2 3 3 3C     ， ∴当 3 2C    ， 2 42 3cos sin( )2 3 C B  取最大值 3 2 ，解得 6B C   ． 18.(1) ,PA ABCD CD ABCD  平面 平面 PA CD  又 CD AD CD PAD  平面 AG PAD 平面 CD AG  又 ,AG PD PD CD D  AG PDC  平面 (2)假设棱 AB 存在一点 E ,使 //AG PEC平面 . 过 G 作 //GM PC CD M交 于 ,连 AM ,则 //GM PEC平面 , AG GM G  //AGM PEC平面 平面 它们都与平面 ABCD 相交, //AM EC //AE CM AECM四边形 为平行四边形 AE CM  设 AE x ,则 , 4CM x DM x   在 Rt PAD 中,可求 9 16,5 5PG GD  // DM DGGM PC CM PG   即 4 16 9 x x   , 36 25x  因此存在点 E 满足题意, 36 25AE  . 19.(1)因为{an}是递增的等比数列，所以数列{an}的公比是正数， 又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}，所以 a1＝1，a3＝4，a5＝16， 从而 q2＝a3 a1 ＝4，q＝2，an＝a1qn－1＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1， (2)假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d.则当 n＝1 时，a1b1＝1， 又∵a1＝1，∴b1＝1； 当 n＝2 时，a1b2＋a2b1＝4，b2＋2b1＝4，b2 ＝2. 则 d＝b2－b1＝1，∴bn＝b1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n. 以下证明当 bn＝n 时，a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切 n∈N*都成立． 设 Sn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1， 即 Sn＝1×n＋2×(n－1)＋22×(n－2)＋23×(n－3)＋…＋2n－2×2＋2n－1×1，① 2Sn＝2×n＋22×(n－1)＋23×(n－2)＋…＋2n－1×2＋2n×1， ② ②－①得 Sn＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋2(1－2n) 1－2 ＝2n＋1－n－2， 所以存在等差数列{bn}，bn＝n，使得 a1bn＋a2bn－1＋…＋an－1b2＋anb1＝2n＋1－n－2 对一切 n∈N*都成立. 20．(1)由于 2 1 2 0AF F F    ，则有 2 1 2AF F F  ,过 O 作 1OG AF 于 G 2 1 1 1 3 OG AF OF AF    1 23AF AF  1 2 3 ,2 2 a aAF AF   2 2 2 1 2 1 2AF AF F F  2 2 23 4( 2)2 2 a a a             2a  故所求椭圆 C 的方程为 2 2 14 2 x y  (2) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 ( 1)y k x  ， 则有 M（0,k）， 设 1 1( , )Q x y ，由于 Q， F，M 三点共线，且| | 2 | |MQ QF  ， 根据题意，得 1 1 1 1( , ) 2( 1, )x y k x y    ， 解得 1 1 1 1 2 ,2, 3 3 xx y k ky          或 又点 Q 在椭圆上， 所以 2 2 2 2 2( ) ( )( 2) ( ) 3 31 14 2 4 2 k k     或 解得 0, 4k k   .综上，直线 l 的斜率为 0, 4k k   . 21. ( )f x 2 2 3 3 1 2 2 ( 0)a a x ax a xx x x x       (1)若 1a  , ( )f x 2 3 2x x x   ,令 ( )f x =0,得 1 2x x  或 (负值舍去) 令 ( )f x >0 1x  , ( )f x