2012南通市一模数学试卷及答案

江苏省南通市 2012 届高三数学模拟试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答卷纸的相．．．．． 应位置上．．．．． 1．若复数 z 满足 ( 3 ) 4i z i  （i 是虚数单位），则 z= ▲ ． 2．已知集合 A={x|6x+a>0}，若 1A，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 3．命题 p：函数 y=tanx 在 R 上单调递增，命题 q：△ABC 中，∠A>∠B 是 sinA>sinB 的充要条件，则 p∨q 是 ▲ 命题．（填“真”“假”） 4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h）， 随机选择了 n 位中学生进行调查，根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到 右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小长方形 的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列， 又第一小组的频数是 10，则 n ▲ ． 5．把一颗骰子投掷 2 次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为 a ，第二次出现的点数 为b ，则方程组 3, 2 2. ax by x y      只有一个解的概率为 ▲ ． 6．如果 2(tan ) sin 5sin cosf x x x x   ， 那么 (5)f = ▲ ． 7.已知双曲线 19 22  m yx 的一个焦点在圆 05422  xyx 上，则双曲线的渐近线方 程 为 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本 卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必 须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4． 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔． 8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则 a= ▲ ． 9．将函数 y＝sin（2x＋ 5 6  ）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象． 10. 已知直线l  平面 ，直线 m  平面  ，给出下列命题： 1 若 / /  ，则l m ； ②若  ，则 / /l m ； ③ 若 / /l m ，则  ； ④若l m ，则 / /  . 其中正确命题的序号是 ▲ ． 11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从 左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线 上数列 1，2，5，10，17，…的一个通项公式 na = ▲ ． 12. 在 ABC 中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1）， 则与角 A 的平分线共线且方向相同的单位向量 为 ▲ ． 13. 已知函数 f(x)满足 f(1)= 4 1 ，f(x)+ f(y)=4 f( 2 yx  )  f( 2 yx  )(x,y∈R)，则 f(—2011)= ▲ ． 14. 已知二次函数 2( ) ,f x x x k k Z    ，若函数 2)()(  xfxg 在 31, 2     上有两个 不同的零点，则 )( 2)]([ 2 xf xf  的最小值为 ▲ ． 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 5 7 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … … … … … … … … Y 结束 开始 0, 1T i  ( 1 )iT T a a a Z   且 输出 T200T  N1i i  二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分 14 分) 已知  ABC 的面积 S 满足 4 4 3S  ，且 AB AC   =—8． （Ⅰ）求角 A 的取值范围； （Ⅱ）若函数 2 2cos 2sin 3 3 sin cos 4 4 4 4 ( ) x x x xf x    ，求 ( )f A 的最大值． 16．(本题满分 14 分) 如图，把长、宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角． （Ⅰ）求顶点 B 和 D 之间的距离； （Ⅱ）现发现 BC 边上距点 C 的 3 1 处有一缺口 E，请过点 E 作一截面，将原三棱锥分割成 一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论． 17．(本题满分 15 分) 如图，已知：椭圆 M 的中心为 O，长轴的两个端点为 A、B，右焦点为 F，AF=5BF．若 椭圆 M 经过点 C，C 在 AB 上的射影为 F，且△ABC 的面积为 5． （Ⅰ）求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）已知圆 O： 2 2+x y =1，直线 :l mx ny =1，试证明：当点 P(m，n)在椭圆 M 上运 动时，直线 l 与圆 O 恒相交；并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围． A B C D E. A CB E. D xO FA F1 B C y 18．(本题满分 15 分) 各项均为正数的等比数列 }{ na ，a1=1， 2a 4a =16，单调增数列 }{ nb 的前 n 项和为 nS ， 4 3a b ，且 26 3 2n n nS b b   （ *Nn  ）． （Ⅰ）求数列 }{ na 、 }{ nb 的通项公式； （Ⅱ）令 n n n bc a  （ *Nn  ），求使得 1nc  的所有 n 的值，并说明理由． (Ⅲ) 证明 }{ na 中任意三项不可能构成等差数列． 19．(本题满分 16 分) 由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 ( )P t （单 位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线 ABCDE 表示，销售 价格 ( )Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物 线段GHR 表示（ H 为顶点）． （Ⅰ）请分别写出 ( )P t , ( )Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售 额最大的月份？ （Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为 M ，动点 ( , )P x y 在 M 内（包 括边界），求 5z x y  的最大值； (Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点 ( , )P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算 （如1 2 3 3x y   类比为 2 31 3x y   ），试列出 ( , )P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值． （图 1） （图 2） 20．(本题满分 16 分) 如果实数 x，y，t 满足|x—t|≤|y—t|，则称 x 比 y 接近 t． （Ⅰ）设 a 为实数，若 a|a| 比 a 更接近 1，求 a 的取值范围； （Ⅱ）f(x)=ln 1 1   x x ，证明： 2 ( ) n k f k   比 22 2 ( 1) n n n n    更接近 0（k∈Z）． 数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21．【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—1 几何证明选讲 已知 ABC 中， ACAB  , D 是 ABC 外接圆劣弧 AC 上 的点（不与点 CA, 重合），延长 BD 至 E . 求证： AD 的延长线平分 CDE . B．选修 4—2 矩阵与变换 已知矩阵     41 baA ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α1＝     1 3 ，属于特征 值 5 的一个特征向量为α2=     1 1 ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵． C．选修 4—4 参数方程与极坐标 已知圆 C 的参数方程为  为参数        sin23 ,cos21 y x ，若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点， 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点 P 的圆 C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程． D．选修 4—5 不等式证明选讲 设 cba ,, 均为正数，证明： cbaa c c b b a  222 . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 22.已知一口袋中共有 4 只白球和 2 只红球 （1）从口袋中一次任取 4 只球，取到一只白球得 1 分，取到一只红球得 2 分，设得分为 随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望； （2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求 6 次取球 后恰好被停止的概率． 23.在平面直角坐标系 xoy 中，已知焦点为 F 的抛物线 yx 42  上有两个动点 A 、 B ，且 满足 FBAF  , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ． （1） 求：  OA  OB 的值； （2） 证明： ABFM  为定值． 参考答案 一、填空题 1. —1+ 3i 2. ( , 6]  3. 真 4. 100 5. 11 12 6. 0 7. xy 3 22 8. 2 9. 3  10.①③ 11. (n—1)2+1 12. )5 52,5 5( 13. 1 4 14. 28 81 二、解答题 15. （Ⅰ）∵ AB AC  =—8，∴ | | | | cosAB AC AB AC A      =—8， ∴ | | | |AB AC   = 8 cos A  ① ∵ |1 | | | sin 2 BA ACS A    ② 将①代入②得 4tanS A  ，由 4 4 3S  ，得 3 tan 1A    ， 又 (0, )A  ，∴ 2 3,3 4A       . （Ⅱ） 2 2( ) cos 2sin 3 3sin cos4 4 4 4 A A A Af A     = 1 3 3(1 cos ) (1 cos ) sin2 2 2 2 2 A A A    = 3 3 3 1sin cos2 2 2 2 2 A A  = 3 1 13( sin cos )2 2 2 2 2 A A  = 13(sin cos cos sin )2 6 2 6 2 A A   = 13sin( )2 6 2 A   ， 当 2 6 2 A    ，即 A  3 2 时，sin( )2 6 A  取得最大值， 同时， ( )f A 取得最大值 5 2 ． 16. （Ⅰ） ACDOD ACDBO ACACDABC ABCBO 面 面 面面 面 面面             ACDABC O垂足为AC,⊥BO中作ABC 在 BO OD    由已知 BO= 5 12 ,OD= 5 193 在 Rt△BOD 中, BD= 5 337 . （Ⅱ）方案(一)过 E 作 EF//AC 交 AB 于 F,EG//CD,交 BD 于 G, EEGEF ACD面EG//同理 // //        ACDEF ACDAC ACDEF ACEF 面 面 面 ,          平面 EFG//平面 ACD 原三棱锥被分成三棱锥 B-EFG 和三棱台 EFG-CAD 两部分,此时 27 8)3 2( 3    ACDB EFGB V V . 方案(二)过 E 作 EP//BD 交 CD 于 P,EQ//AB,交 AC 于 Q,同(一)可证平面 EPQ//平 面 ABD, 原 三 棱 锥 被 分 割 成 三 棱 锥 C-EPQ 和 三 棱 台 EPQ-BDA 两 部 分 , 此 时 27 1)3 1( 3    BDAC EPQC V V , 为使截去部分体积最小,故选用方案(二). 17. （Ⅰ）由题意设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   ，半焦距为 c， 由 AF=5BF，且 AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得 2a=3c.（1）由题意 CF⊥AB， 设 点 C 坐标（c，y），C 在 M 上，代入得 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 )c a cy b a a    ∴ 2 2a cy a  ． 由 △ABC 的面积为 5，得 2 21 2 52 a ca a    ， 2 2a c =5.（2） 解（1）（2）得 a=3，c=2. ∴ 2 2 2b a c  =9—4=5．∴所求椭圆 M 的方程为： 2 2 19 5 x y  ． (Ⅱ) 圆 O 到直线 :l mx ny =1 距离 d= 2 2 1 m n ，由点 P(m,n)在椭圆 M 上，则 2 2 19 5 m n  ， 显 然 2 2m n  2 2 9 5 m n ， ∴ 2 2m n  1 ， 2 2m n >1, ∴d A B C D E. = 2 2 1 m n 1， 2c = 5 2 ＞1， 3c =2>1, 4 11 8c  >1， 5 7 8c 