2011东城区高三二模数学试题及答案(理科)

北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二） 数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 （1）若复数 2( )i i x x xz   （ xR ）为纯虚数，则 x 等于 （A）0 （B）1 （C）-1 （D）0 或 1 （2）给出下列三个命题： ① x R ， 02 x ； ② 0x  R ，使得 2 0 0x x 成立； ③对于集合 ,M N ，若 x M N  ，则 x M 且 x N . 其中真命题的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 （A） （B） （C） （D） （4）极坐标方程 02sin  （ 0 ）表示的图形是 （A）两条直线 （B）两条射线 （C）圆 （D）一条直线和一条射线 （5）已知正项数列 na 中， 11 a ， 22 a ， 2 2 2 1 12 ( 2)n n na a a n    ，则 6a 等于 （A）16 （B）8 （C） 22 （D）4 （6）已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 ,M N 两 点， O 为坐标原点.若OM ON ，则双曲线的离心率为 （A） 1 3 2   （B）1 3 2  （C） 1 5 2   （D）1 5 2  （7）△ ABC 外接圆的半径为1，圆心为 O ，且 2OA AB AC   0    ， | | | |OA AB  ，则CA CB  等于 （A） 3 2 （B） 3 （C）3 （D） 2 3 （8）已知函数 2 1, 0,( ) log , 0, x xf x x x     则函数 1)]([  xffy 的零点个数是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9） 2 51( )x x  的展开式中， 4x 的系数为 ．（用数字作答） （10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的 相关 人员中 ，抽取 若干人 组成调查 小组， 有关数 据见下 表，则 调查小 组的总 人数 为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告，则其中恰好有1 人来自公务员的概率为 ． （11）在△ ABC 中，若 π , 24B b a   ，则 C  ． （12）如图，BC 是半径为 2 的圆O 的直径，点 P 在 BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点 A 在 直径 BC 上的射影是OC 的中点，则 ABP = ； PB PC  ． 相关人员数 抽取人数 公务员 32 x 教师 48 y 自由职业者 64 4 （ 13 ） 已 知 点 (2, )P t 在 不 等 式 组 4 0, 3 0 x y x y        表 示 的 平 面 区 域 内 ， 则 点 (2, )P t 到 直 线 3 4 10 0x y   距离的最大值为____________． （14）对任意 xR ，函数 ( )f x 满足 2 1( 1) ( ) [ ( )] 2f x f x f x    ，设 )()]([ 2 nfnfan  ， 数列 }{ na 的前 15 项的和为 31 16  ，则 (15)f  ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 已知 π 7 2sin( )4 10A  ， π π( , )4 2A ． （Ⅰ）求 cos A的值； （Ⅱ）求函数 5( ) cos2 sin sin2f x x A x  的值域． （16）（本小题共 14 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 5AB AC  ， D ， E 分别为 BC ， 1BB 的中点，四 边形 1 1B BCC 是边长为 6 的正方形． （Ⅰ）求证： 1A B ∥平面 1AC D ； （Ⅱ）求证：CE  平面 1AC D ； （Ⅲ）求二面角 1C AC D  的余弦值． （17）（本小题共 13 分） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 1( )2p p  ，且各局胜负相互独立．已知第二 局比赛结束时比赛停止的概率为 5 9 ． （Ⅰ）求 p 的值； （Ⅱ）设 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 E ． (18) （本小题共 13 分） 已知函数 xaxxf ln)( 2  ( Ra )． （Ⅰ）若 2a ，求证： )(xf 在 (1, ) 上是增函数； （Ⅱ）求 )(xf 在[1，e]上的最小值． （19）（本小题共 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到定点 1(0, )4F 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 1 4 ，设动点 P 的轨迹为曲线C ，直线 : 1l y kx  交曲线C 于 ,A B 两点， M 是线段 AB 的中点，过点 M 作 x 轴 的垂线交曲线C 于点 N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）证明：曲线C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求 k 的取值范围． （20）（本小题共 14 分） 在单调递增数列 }{ na 中， 21 a ，不等式 nan )1(  nna2 对任意 *nN 都成立. （Ⅰ）求 2a 的取值范围； （Ⅱ）判断数列 }{ na 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设 1 1(1 1)(1 ) (1 )2 2n nb     ， ) 2 11(6 nnc  ， 求证：对任意的 *nN ， 012   n nn a cb . 北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二） 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）C （8）A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）10 （10）9 5 3 （11） 7π 12 （12）30 12 （13） 4 （14） 3 4 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 π π 4 2A  ，且 π 7 2sin( )4 10A  ， 所以 π π 3π 2 4 4A   ， π 2cos( )4 10A   ． 因为 π π π π π πcos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin4 4 4 4 4 4A A A A       2 2 7 2 2 3 10 2 10 2 5       ． 所以 3cos 5A  ． ……………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 4sin 5A  ． 所以 5( ) cos2 sin sin2f x x A x  21 2sin 2sinx x   21 32(sin )2 2x    ， xR ． 因为sin [ 1,1]x  ，所以，当 1sin 2x  时， ( )f x 取最大值 3 2 ； 当sin 1x   时， ( )f x 取最小值 3 ． 所以函数 ( )f x 的值域为 3[ 3, ]2  ． ……………………13 分 （16）（共 14 分） （Ⅰ）证明：连结 1AC ，与 1AC 交于O 点，连结OD ． 因为O ， D 分别为 1AC 和 BC 的中点， 所以OD ∥ 1A B ． 又OD  平面 1AC D ， 1A B  平面 1AC D ， 所以 1A B ∥平面 1AC D ． ……………………4 分 （Ⅱ）证明：在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BB  平面 ABC ，又 AD  平面 ABC ， 所以 1BB AD ． 因为 AB AC ， D 为 BC 中点， 所以 AD BC ．又 1BC BB B ， 所以 AD  平面 1 1B BCC ． 又CE  平面 1 1B BCC ， 所以 AD  CE ． 因为四边形 1 1B BCC 为正方形， D ， E 分别为 BC ， 1BB 的中点， 所以 Rt △CBE ≌ Rt △ 1C CD ， 1CC D BCE   ． 所以 1 90BCE C DC     ． 所以 1C D  CE ． 又 1AD C D D ， 所以CE  平面 1AC D ． ……………………9 分 （Ⅲ）解：如图，以 1 1B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则 1(0,6,4), (3,3,0), ( 3,6,0), ( 3,0,0)A E C C  ． 由（Ⅱ）知CE  平面 1AC D ，所以 (6, 3,0)CE   为平面 1AC D 的一个法向量． 设 ( , , )x y zn 为平面 1ACC 的一个法向量， ( 3,0, 4)AC    ， 1 (0, 6,0)CC   ． 由 1 0, 0. AC CC        n n 可得 3 4 0, 6 0. x z y      令 1x  ，则 30, 4y z   ． 所以 3(1,0, )4  n ． 从而 8cos 525| | | | CECE, CE       nn n ． 因为二面角 1C AC D  为锐角， 所以二面角 1C AC D  的余弦值为 8 5 25 ．……………………14 分 （17）（共 13 分） 解：（Ⅰ）当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛停止， 故 2 2 5(1 ) 9p p   ， 解得 1 3p  或 2 3p  ． 又 1 2p  ，所以 2 3p  ． …………………6 分 （Ⅱ）依题意知 的所有可能取值为 2，4，6． 5( 2) 9P    ， 5 5 20( 4) (1 )9 9 81P       ， 5 20 16( 6) 1 9 81 81P       ， 所以随机变量 的分布列为：  2 4 6 P 5 9 20 81 16 81 所以 的数学期望 5 20 16 2662 4 69 81 81 81E        ．………………13 分 （18）（共 13 分） （Ⅰ）证明：当 2a 时， xxxf ln2)( 2  ， 当 ),1( x 时， 0)1(2)( 2  x xxf ， 所以 )(xf 在 ),1(  上是增函数． ………………5 分 （Ⅱ）解： )0(2)( 2  xx axxf ，当 [1,e]x ， 2 22 [2 ,2e ]x a a a    ． 若 2a ，则当 x [1,e] 时， 0)(  xf ， 所以 )(xf 在[1,e] 上是增函数， 又 1)1( f ，故函数 )(xf 在[1,e]上的最小值为1． 若 22ea  ，则当 x ],1[ e 时， 0)(  xf ， 所以 )(xf 在[1,e] 上是减函数， 又 (e)f  2e a ，所以 )(xf 在[1,e] 上的最小值为 2e a ． 若 22 2ea  ，则当 21 ax  时， 0)(  xf ，此时 )(xf 是减函数； 当 e2 a x  时， 0)(  xf ，此时 )(xf 是增函数． 又 ( ) ln2 2 2 2 a a a af   ， 所以 )(xf 在[1,e] 上的最小值为 ln2 2 2 a a a ． 综上可知，当 2a 时， )(xf 在[1,e] 上的最小值为 1； 当 22 2ea  时， )(xf 在[1,e]上的最小值为 ln2 2 2 a a a ； 当 22ea  时， )(xf 在[1,e]上的最小值为 2e a ．………………13 分 （19）（共 13 分） （Ⅰ）解：由已知，动点 P 到定点 1(0, )4F 的距离与动点 P 到直线 1 4y   的距离相等． 由抛物线定义可知，动点 P 的轨迹为以 1(0, )4 为焦点，直线 1 4y   为准线的抛物 线． 所以曲线 C 的方程为 2y x ． ………………3 分 （Ⅱ）证明：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ． 由 2 , 1, y x y kx      得 2 1 0x kx   ． 所以 1 2x x k  ， 1 2 1x x   ． 设 0 0( , )M x y ，则 0 2 kx  ． 因为 MN x 轴， 所以 N 点的横坐标为 2 k ． 由 2y x ，可得 ' 2y x 所以当 2 kx  时， 'y k ． 所以曲线C 在点 N 处的切线斜率为 k ，与直线 AB 平行．………………8 分 （Ⅲ）解：由已知， 0k  ． 设直线l 的垂线为 'l ： 1y x bk    ． 代入 2y x ，可得 2 1 0x x bk    （*） 若存在两点 3 3 4 4( , ), ( , )D x y E x y 关于直线l 对称， 则 3 4 1 2 2 x x k    ， 3 4 2 1 2 2 y y bk    又 3 4 3 4( , )2 2 x x y y  在l 上， 所以 2 1 1( ) 12 2b kk k     ， 2 1 1 2 2b k   ． 由方程（*）有两个不等实根 所以 21( ) 4 0bk     ，即 2 2 1 22 0k k    所以 2 1 2k  ，解得 2 2k   或 2 2k  ． ………………13 分 （20）（共 14 分） （Ⅰ）解：因为 }{ na 是单调递增数列， 所以 12 aa  ， 22 a . 令 1n ， 12a 2a ， 42 a ， 所以  4,22 a . ………………4 分 （Ⅱ）证明：数列 }{ na 不能为等比数列. 用反证法证明： 假设数列 }{ na 是公比为 q 的等比数列， 021 a ， 12  n n qa . 因为 }{ na 单调递增，所以 1q . 因为 *nN ， nan )1(  nna2 都成立. 所以 *nN ， n 11 nq ① 因为 1q ，所以 0n *N ，使得当 0nn  时， 2nq . 因为 211  n *( )nN . 所以 0n *N ，当 0nn  时， nq n 11 ，与①矛盾，故假设不成立. ………………9 分 （Ⅲ）证明：观察： 1 1 3b c  ， 4 15 2 b 2 9 2  c ， 32 135 3 b 4 21 3  c ，…，猜想： nn cb  . 用数学归纳法证明： （1）当 1n  时， 31 b 31  c 成立； （2）假设当 n k 时， kk cb  成立； 当时， ) 2 11( 11   kkk bb ) 2 11( 1 kkc ) 2 11(6 k ) 2 11( 1 k ) 2 1 2 1 2 11(6 121   kkk ) 2 1 2 11(6 121   kk ) 2 11(6 1 k 所以 11   kk cb . 根据（1）（2）可知，对任意 *nN ，都有 nn cb  ，即 0 nn cb . 由已知得， nn ana )11(2  . 所以 112 2 1(1 )2n nna a     11 )11)(2 11() 2 11( an    . 所以当 2n 时， 12 2  nn ba 12  nc ) 2 11(12 1 n 12 . 因为 1242  aa . 所以对任意 n *N ， 122 na . 对任意 n *N ，存在 m *N ，使得 mn 2 ， 因为数列{ na }单调递增， 所以 122  mn aa ， 012 na . 因为 0 nn cb ， 所以 012   n nn a cb . ………………14 分