2011东城区高三二模文科数学试卷及答案

北京市东城区 2010-2011 学年度综合练习（二） 高三数学 （文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5}，则 ( )U A B ð （A）{1，2，3，4} （B）{1，2，4，5} （C）{1，2，5} （D）{3} （2）若复数 2 2( 3 ) ( 5 6)im m m m    （ Rm ）是纯虚数，则 m 的值为 （A）0 （B）2 （C）0 或 3 （D）2 或 3 （3）如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数 得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计 出椭圆的面积约为 （A） 7.68 （B）8.68 （C）16.32 （D）17.32 （4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 2，那么这 个几何体的体积为 （A） 4 3 （B） 8 3 （C） 4 （D）8 （5）已知 3sin 4   ，且 在第二象限，那么 2 在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （6）已知点 (1,2)A 是抛物线 C ： 2 2y px 与直线l ： ( 1)y k x  的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是 （A） 2 2 （B） 2 （C） 22 3 （D） 22 正视图 侧视图 俯视图 （7）△ ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为1，若 0OA AB OC     ，且| | | |OA AB  ， 则CA CB  等于 （A） 3 2 （B） 3 （C）3 （D） 2 3 （8）已知函数 2 1, 0,( ) log , 0, x xf x x x     则函数 1)]([  xffy 的零点个数是 （A） 4 （B）3 （C） 2 （D）1 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）已知函数 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数，且 ( 1) 2f   ,那么 (0) (1)f f  ． （10）不等式组 0, 1 0, 3 2 6 0 x x y x y          所表示的平面区域的面积等于 . （11）在△ ABC 中，若 45 , 2B b a    ，则 C  . （12）某地为了建立调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者 三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的 总人数为 ；若从调查小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报 告，则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为 ． （13）已知某程序的框图如图，若分别输入的 x 的值为 2,1,0 ，执行该程序后，输出的 y 的 值分别为 , ,a b c ，则 a b c   ． （14）已知等差数列 na 首项为 a ，公差为b ，等比数列 nb 首项为b ，公比为 a ，其中 ,a b 都是大于1的正整数，且 1 1 2 3,a b b a  ，那么 a  ； 若 对 于 任 意 的 *Nn ， 总 存 在 *Nm ， 使 得 3n mb a  成立，则 na  ． 相关人员数 抽取人数 公务员 32 x 教师 48 y 自由职业者 64 4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 已知 π 7 2sin( )4 10A  ， π(0, )4A ． （Ⅰ）求 cos A的值； （Ⅱ）求函数 ( ) cos2 5cos cos 1f x x A x   的值域． （16）（本小题共 13 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 34  nn aS （ *nN ）． （Ⅰ）证明:数列 na 是等比数列； （Ⅱ）若数列 nb 满足 * 1 ( )n n nb a b n    N ，且 1 2b  ，求数列 nb 的通项公式． （17）（本小题共 13 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB AC ，D ，E 分别为 BC ， 1BB 的中点， 四边形 1 1B BCC 是正方形． （Ⅰ）求证： 1A B ∥平面 1AC D ； （Ⅱ）求证： CE  平面 1AC D ． (18)（本小题共 13 分） 已知函数 xaxxf ln)( 2  ( Ra )． （Ⅰ）若 2a ，求证： )(xf 在 (1, ) 上是增函数； （Ⅱ）求 )(xf 在[1, ) 上的最小值． （19）（本小题共 14 分） 已知椭圆的中心在原点 O ，离心率 3 2e  ，短轴的一个端点为 (0, 2) ，点 M 为直 线 1 2y x 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：直线 MA ， MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形． （20）(本小题共 14 分) 已知 ba, 为两个正数，且 a b ，设 ,,2 11 abbbaa  当 2n ， *nN 时， 11 11 ,2    nnn nn n babbaa ． （Ⅰ）求证：数列 na 是递减数列，数列 nb 是递增数列； （Ⅱ）求证： )(2 1 11 nnnn baba   ； （Ⅲ）是否存在常数 ,0C 使得对任意 *nN ，有 Cba nn  ，若存在，求出C 的取值 范围；若不存在，试说明理由． 北京市东城区 2010-2011 学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案 （文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）B （7）C （8）A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 2 （10） 4 （11）105 （12）9 3 5 （13） 6 （14） 2 5 3n  注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 π0 4A  ，且 π 7 2sin( )4 10A  ， 所以 π π π 4 4 2A   ， π 2cos( )4 10A  ． 因为 π πcos cos[( ) ]4 4A A   π π π πcos( )cos sin( )sin4 4 4 4A A    2 2 7 2 2 4 10 2 10 2 5      所以 4cos 5A  ． ……………………6 分 （Ⅱ）因为 ( ) cos2 5cos cos 1f x x A x   22cos 4cosx x  22(cos 1) 2x   ， xR ． 因为 cos [ 1,1]x  ，所以，当 cos 1x  时， ( )f x 取最大值 6 ； 当 cos 1x   时， ( )f x 取最小值 2 ． 所以函数 ( )f x 的值域为[ 2,6] ． …………………13 分 （16）（共 13 分） （Ⅰ）证明：由 34  nn aS ， 1n  时， 34 11  aa ，解得 11 a . 因为 34  nn aS ，则 34 11   nn aS ( 2)n  ， 所以当 2n  时， 1 14 4n n n n na S S a a     ， 整理得 1 4 3n na a  . 又 1 1 0a   ， 所以 na 是首项为 1，公比为 4 3 的等比数列. ……………………6 分 （Ⅱ）解：因为 14( )3 n na  ， 由 * 1 ( )n n nb a b n    N ，得 1 1 4( )3 n n nb b     . 可得 )()()( 1231`21  nnn bbbbbbbb  ＝ 1)3 4(3 3 41 )3 4(1 2 1 1       n n ，（ 2n ）， 当 1n  时也满足， 所以数列{ }nb 的通项公式为 1)3 4(3 1  n nb . ……………………13 分 （17）（共 13 分） 证明：（Ⅰ）连结 1AC ，与 1AC 交于 O 点，连结OD ． 因为O ， D 分别为 1AC 和 BC 的中点， 所以OD ∥ 1A B ． 又OD  平面 1AC D ， 1A B  平面 1AC D ， 所以 1A B ∥平面 1AC D ． ……………………6 分 （Ⅱ）在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BB  平面 ABC ，又 AD  平面 ABC ， 所以 1BB AD ． 因为 AB AC ， D 为 BC 中点， 所以 AD BC ．又 1BC BB B ， 所以 AD  平面 1 1B BCC ． 又CE  平面 1 1B BCC ， 所以 AD  CE ． 因为四边形 1 1B BCC 为正方形， D ， E 分别为 BC ， 1BB 的中点， 所以 Rt △CBE ≌ Rt △ 1C CD ， 1CC D BCE   ． 所以 1 90BCE C DC     ． 所以 1C D  CE ． 又 1AD C D D ， 所以CE  平面 1AC D ． ……………………13 分 （18）（共 13 分） （Ⅰ）证明：当 2a 时， xxxf ln2)( 2  ， 当 ),1( x 时， 0)1(2)( 2  x xxf ， 所以 )(xf 在 ),1(  上是增函数． ……………………5 分 （Ⅱ）解： )0(2)( 2  xx axxf ， 当 0a  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 在[1, ) 上单调递增，最小值为 (1) 1f  ． 当 0a  ，当 )2,0( ax  时， )(xf 单调递减； 当 ),2(  ax 时， )(xf 单调递增． 若 12 a ，即 0 2a  时， )(xf 在 ),1[  上单调递增， 又 1)1( f ，所以 )(xf 在 ),1[  上的最小值为1． 若 12 a ，即 2a 时， )(xf 在 )2,1[ a 上单调递减； 在 ),2( a 上单调递增． 又 ( ) ln2 2 2 2 a a a af   ， 所以 )(xf 在 ),1[  上的最小值为 ln2 2 2 a a a ． 综上，当 2a  时， ( )f x 在[1, ) 上的最小值为1； 当 2a  时， ( )f x 在[1, ) 上的最大值为 ln2 2 2 a a a ．………13 分 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， 则 3 ,2 2, c a b     解得 2 2a  ． 所以椭圆方程为 2 2 18 2 x y  ． ……………………5 分 （Ⅱ）由题意 (2,1)M ，设直线l 的方程为 1 2y x m  ． 由 2 2 1 ,2 1,8 2 y x m x y       得 2 22 2 4 0x mx m    ， 设直线 MA ， MB 的斜率分别为 1 2,k k ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 1 1 1 2 yk x   ， 2 2 2 1 2 yk x   ． 由 2 22 2 4 0x mx m    ， 可得 1 2 2x x m   ， 2 1 2 2 4x x m  ， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 2 ( 2)( 2) y y y x y xk k x x x x              1 2 2 1 1 2 1 1( 1)( 2) ( 1)( 2)2 2 ( 2)( 2) x m x x m x x x           1 2 1 2 1 2 ( 2)( ) 4( 1) ( 2)( 2) x x m x x m x x        2 1 2 2 4 ( 2)( 2 ) 4( 1) ( 2)( 2) m m m m x x         2 2 1 2 2 4 2 4 4 4 ( 2)( 2) m m m m x x        0 ． 即 1 2 0k k  ． 故直线 MA ， MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形．………………14 分 （20）(共 13 分) (Ⅰ)证明：易知对任意 *nN ， 0na ， 0nb ． 由 ,ba  可知 ,2 abba  即 11 ba  ． 同理， 11 11 2 baba  ，即 22 ba  ． 可知对任意 *nN ， nn ba  ． 0221  nn n nn nn ababaaa ， 所以数列 na 是递减数列． 0)(1  nnnnnnnn babbbabb ， 所以数列 nb 是递增数列． ……………………5 分 (Ⅱ)证明： )(2 1 2211 nnnn nn nn nn nn babbbabababa   ． ……………………10 分 （Ⅲ）解：由 )(2 1 11 nnnn baba   ，可得 1)2 1()(  n nn baba ． 若存在常数 ,0C 使得对任意 *nN ，有 Cba nn  ， 则对任意 *nN ， Cba n  1)2 1()( ． 即 C ban 222  对任意 *nN 成立． 即 C ban 22log 2  对任意 *nN 成立． 设 ][x 表示不超过 x 的最大整数，则有 C ba C ba 22log1]22[log 22  ． 即当 1]22[log 2  C ban 时， C ban 22log 2  ． 与 C ban 22log 2  对任意 *nN 成立矛盾． 所以，不存在常数 ,0C 使得对任意 *nN ，有 Cba nn  ． ……14 分