2011昌平区高三二模数学试题及答案(理科)

昌平区 2010-2011 学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学（理科）试卷 2011.4 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项．) 1．已知集合 }0)4)(2(|{},3|{  xxxBxxA ，则 A B = A． }2|{ xx B． }43|{  xx C． }43|{  xx D． }4|{ xx 2．设向量 )1,1(  xa ， )3,1(  xb ，则 ”“ 2x 是 ba //“ ”的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知 22 1 )2 1(,2  ba ,运算原理如右图 所示，则输出的值为 A. 24 1  B. 24  C. 24 D. 4 2 4．已知一个空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成， 根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 A．πcm3 B． 3 4 cm3 C． 3 5 cm3 D．2π cm3 5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液 酒精浓度在 20~80 mg/100mL（不含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在 80mg/100mL（含 80）以上时，属醉酒驾车。 据有关报道，2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日，某地 区查处酒后驾车和醉酒驾车共 500 人，如图是对这 500 人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方 图，则属于醉酒驾车的人数约为 A．25 B．50 C．75 D．100 6. 已知等差数列{ }na 的公差为 3，若 431 ,, aaa 成等比数列，则 2a 等于 1 2 1 正视图 俯视图 1 2 1 侧视图 20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量 频率 组距 （mg/100mL） 0.015 0.01 0.005 0.02 输出 ba  结束 输出 a 否 开始 是 输入 ba、 ba  A．9 B．3 C． -3 D．-9 7．已知函数 |lg|)( xxf  ，若 ba 0 ,且 )()( bfaf  ，则 的取值范围是ba 2 A. ),22(  B. ),22[  C. ),3(  D. ),3[  . 8. 正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，点 P 是平面 ABCD 内的一个动点，且满足 PM=2， P 到直线 A1D1 的距离为 5 ，则点 P 的轨迹是 A. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．） 9. 5)2( x 的展开式中 的系数是2x ______________（结果用数值表示） 10. 一个正方形的内切圆半径为 2，向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率是__________ 11、在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程是 cos sin x y m       （ 是参数， m 是常数），曲线 C 的 对称中心是_________,若曲线 C 与 y 轴相切，则 m = 12、如图，⊙O 中的弦CD 与直径 AB 相交于 点 E ， M 为 AB 延长线上一点， MD 为⊙O 的切线， D 为切点，若 2AE  ， 4DE  ， 3CE  ， 4DM  ， 则 OB ________, MB  ． 13.已知 0 , ( , 2 0 x x y y x k x y k        满足 为常数）若 yxz 3 的 最大值为 8，则 k=_____ 14.给出定义：若 2 1 2 1  mxm （其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 mx }{ ，在此 基础上给出下列关于函数  xxxf )( 的四个命题： ①函数 y = )(xf 的定义域为 R ，值域为     2 1,0 ；②函数 y = )(xf 在     2 1,2 1 上是增函数； ③函数 y = )(xf 是周期函数，最小正周期为 1； ④函数 y = )(xf 的图象关于直线 2 kx  （ Zk  ）对称. 其中正确命题的序号是__________ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 )0(cos22sin3)( 2   xxxf 的最小正周期为 . （I） 求 的值 ；（II）求函数 )(xf 在区间 ]2,0[  的取值范围. 16. (本小题满分 13 分) M E O D C B A 一个盒子中装有 5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取 卡片. （Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇 数或偶数的概率； （Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率； （III）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取， 否则继续抽取卡片，求抽取次数 X 的分布列和期望. 17.(本小题满分 13 分) 如 图 所 示 ， 正 方 形 DDAA 11 与 矩 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， 22  ADAB ,点 E 为 AB 的中点。 （Ⅰ）求证： DEABD 11 //平面 (Ⅱ) 求证： DAED 11  （III）在线段 AB 上是否存在点 M ，使二面角 DMCD 1 的大小为 6  ？ 若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。 18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  ba b y a x ，左焦点 )0,3(F ，且离心率 2 3e (Ⅰ）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)若直线 )0(:  kmkxyl 与椭圆 C 交于不同的两点 NM , （ NM , 不是左、右顶点），且以 MN 为 直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标. 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 32ln)(  axxaxf （ 0a ）. （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间; (Ⅱ）函数 )(xfy  的图像在 2x 处的切线的斜率为 ,2 3 若函数 ])([3 1)( '23 mxfxxxg  ，在区间（1，3） 上不是单调函数，求 m 的取值范围。 20. (本小题满分 13 分) 已知数列 na 满足 1 2 5a  ，且对任意 n N ，都有 1 1 4 2 2 n n n n a a a a    ． (Ⅰ）求证：数列 1 na       为等差数列；(Ⅱ）试问数列 na 中  1k ka a k    N 是否仍是 na 中的项？如 果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令 2 1( 5),3n n b a   证明：对任意 2*, 2 nb nn N b 都有不等式 成立 . 昌平区 2010-2011 学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 2011.4 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．) D 1 E B D C A A 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C D B A 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．) 9. 80 10. 4  11. （ m ,0） ; 1 （第一空 2 分，第二空 3 分） 12． 4, 424  （第一空 2 分，第二空 3 分）13 - 6 14. ①③④ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分) 15.（本小题满分 13 分） 解：（I）依题意 )(xf 2 12cos22sin3  xx  …….2 分 ＝ 12cos2sin3  xx  ……3 分 ＝ 1)62sin(2  x  5 分    2 2T ……..6 分 1  7 分 (2) 20  x 6 7 626   x  9 分 1)62sin(2 1  x ……..10 分 3)62sin(20  x ………12 分  函数的取值范围是[0,3] ……13 分 16. (本小题满分 13 分) 解：（Ⅰ）因为 1,3,5 是奇数，2、4 是偶数，设事件 A 为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶 数” ……2 分 5 2)( 2 5 2 2 2 3  C CCAP  4 分 （Ⅱ）设 B 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇 数”， ……5 分 由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为 3 5 ， ……6 分 则 125 54)5 31()5 3()( 22 34  CBP . ……8 分 （Ⅱ）依题意， X 的可能取值为1,2,3. 3( 1) 5P X   ， 2 3 3( 2) 5 4 10P X    ， 2 1 3 1( 3) 5 4 3 10P X      ， …………………11 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 3 3 1 3( ) 1 2 35 10 10 2E X        . …………………13 分 17.解： （Ⅰ） 的中点是为正方形，四边形 111 ADOAADD , 点 E 为 AB 的中点,连接OE 。  1ABDEO 为 的中位线 EO // 1BD ……2 分 又 DEAOEDEABD 111 , 平面平面   DEABD 11 //平面 ……4 分 （II） 正方形 11 AADD 中, 11 ADDA  由已知可得： 11A ADDAB 平面 ， 111 AADDDA 平面 …….6 分 DAAB 1 , AADAB  1 …….7 分 EADEDDE,A 1111 平面平面  DA EDDA 11  …….8 分 （Ⅲ）由题意可得： ABCDDD 平面1 ,以点 D 为原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立如图所示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 )1,0,0(),1,0,1(),0,2,0(),0,0,0( 11 DACD ， ………9 分 设 )20)(0,,1( 00  yyM )1,2,0(),0,2,1( 10  CDyMC ……10 分 设平面 MCD1 的法向量为 ),,(1 zyxn  则      0 0 11 1 CDn MCn 得      02 0)2( 0 zy yyx ……11 分 取 )2,1,2(,1 01 yny  则 是 平 面 MCD1 的 一 个 法 向 量 ， 而 平 面 MCD 的 一 个 法 向 量 为 )1,0,0(2 n ……12 分 要使二面角 DMCD 1 的大小为 6  而 2 3 21)2( 2 |||| |||,cos|6cos 222 021 21 21     ynn nnnn 解得： )20(3 32 00  yy 当 AM = 3 32  时，二面角 DMCD 1 的大小为 6   13 分 18（本小题满分 14 分） 解：（I） )0()21()('  xx xaxf ……2 分 当 时，0a 0)(' xf 即 2 10  x 2 10)(  xxf 即‘ f(x)的单调递增区间为（0， 2 1 ）,单调递减区间为（ 2 1 , ) ………4 分 当 时，0a 2 10)(  xxf 即‘ ， 0)(' xf 即 2 10  x f(x)的单调递增区间为（ 2 1 , ) ,单调递减区间为（0， 2 1 ） ……6 分 （II） 2 3 2 3)2('  af 得 1a ……8 分 xxxf 2ln)(  +3 23 )21(3 1)( xmxxxg  ……9 分 1)24()( 2'  xmxxg ………10 分 1)0(31)( ' gxg ）上不是单调函数，且，在区间（ ……11 分      0)3( 0)1( ' ' g g ……12 分      0620 024 m m 即： 23 10  m ……14 分 19.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意可知：           222 2 3 3 cba a ce c ……1 分 解得 1,2  ba ………2 分 所以椭圆的方程为： 14 2 2  yx ……3 分 （II）证明：由方程组      mkxy yx 14 2 2 0448)k41 222  mkmxx得（ ….4 分 0)44)(41(4)8( 222  mkkm 整理得 014 22  mk ………..5 分 设 ),(),,( 2221 yxNxxM 则 2 2 21221 41 44, 41 8 k mxx k kmxx     …….6 分 由已知， ANAM  且椭圆的右顶点为 )0,2(A ………7 分 0)2)(2( 2121  yyxx ……… 8 分 2 2121 2 2121 )())(( mmmkxmkxyy  即 04))(2()1( 2 2121 2  mm 也即 04 41 8)2( 41 44))1( 2 22 2 2      m k kmkm k mk …… 10 分 整理得： 012165 22  kmkm ……11 分 解得 5 62 kmkm  或 均满足 014 22  mk ……12 分 当 km 2 时，直线的l 方程为 kkxy 2 ，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13 分 当 5 6km  时，直线的l 方程为 )5 6(  xky ,过定点 )0,5 6( 故直线l 过定点，且定点的坐标为 )0,5 6( …….14 分 20.（本小题满分 13 分） 解: （Ⅰ） 1 1 12 4 2n n n n n na a a a a a     ，即 1 12 2 3n n n na a a a   ， ……1 分 所以 1 1 1 3 2n na a   ， ……. 2 分 所以数列 1 na       是以 5 2 为首项，公差为 3 2 的等差数列． ……3 分 （II）由（Ⅰ）可得数列 1 na       的通项公式为 1 3 2 2n n a  ，所以 2 3 2na n   ．…… 4 分  1 2 2 2 4 3 2 3 1 2 9 21 10k ka a k k k k        …….5 分 2 2 9 21 6 22 k k     2 2 3 7 23 22 k k     ． …… 7 分 因为  2 2 13 7 2 3 12 2 k kk k k k       ， …… 8 分 当 k N 时，  1 2 k k  一定是正整数，所以 23 7 2 2 k k  是正整数． (也可以从 k 的奇偶性来分析) 所以 1k ka a  是数列 na 中的项，是第 23 7 2 2 k k  项． …… 9 分 (Ⅲ)证明：由（2）知： 2 3 2na n   ， 2 1 2 3 2( 5) ( 5) 43 3 2n n nb na       …..10 分 下面用数学归纳法证明： 4 22 ( 4)n n   对任意 *n N 都成立 。 (1)当 n=1时，显然 5 22 5 ，不等式成立. …..11 分 (2)假设当 4 2( *) 2 ( 4) ,kn k k N k   时，有 当 1n k  时， 2222244)1( )5(76)5(32162)4(2222   kkkkkkkkk ….12 分 即有： 1 2 12 nb nb  也成立。 综合(i)(ii)知：对任意 2*, 2 nb nn N b 都有不等式 成立 ……13 分