2011昌平区高三二模文科数学试卷及答案

昌平区 2010-2011 学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学（文科）试卷 2011.4 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 1．已知集合    3 , 1,2,3,4A x x B   ，则 A B = A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4} 2．设条件 0: 2  aap , 条件 0: aq ; 那么 qp是 的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 数列{ }na 对任意 *Nn ，满足 1 3n na a+ = + ，且 3 8a  ，则 10S 等于 A．155 B． 160 C．172 D．240 4. 若 baba 是任意实数，且、 ,则下列不等式成立的是 A． 22 ba  B． 1 a b C． 0)lg(  ba D． ba )3 1()3 1(  5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由 半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的 体积是 A．πcm3 B． 3 4 cm3 C． 3 5 cm3 D．2π cm3 6. 已知 3log,2 3 2 1  ba ,运算原理如右图所示， 则输出的值为 A. 2 2 B. 2 C. 2 12  D. 2 12  7、已知 ABC 中， ,10,4,3  BCACAB 则 ACAB  等于 A． 5 96 B. 2 15 C. 2 15 D. 2 96 8、如图 AB 是长度为定值的平面 的斜线段，点 A 为斜足，若点 P 在平面内 运动，使得 ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．） 结束 输出 b a 1输出 a b 1 否 开始 是 输入 ba、 ba  1 2 1 正视图 俯视图 1 2 1 侧视图  B P A 9. i1 2 = 10.一个正方形的内切圆半径为 2，向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率是__________ 11.《中华人民共和国道路交通安全法》 规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100mL（不 含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在 80mg/100mL （含 80）以上时，属醉酒驾车。 据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉 酒驾车共500人.如图是对这500人血液中酒精含量进行 检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人 数约为__________ 12.若不等式组 2 5 0 1 1 x y x y        表示的平面区域是一个 三角形，则此三角形的面积是_______；若 yx, 满足上述约束条件，则 z x y  的最大值是 13. 已知抛物线的方程是 xy 82  ，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为 2，则双曲 线的标准方程是 ______，其渐近线方程是______________ 14. 给出定义：若 2 1 2 1  mxm （其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 mx }{ ，在此 基础上给出下列关于函数 }{)( xxxf  的四个命题： ①函数 y = )(xf 的定义域为 R ，最大值是 2 1 ；②函数 y = )(xf 在 ]1,0[ 上是增函数； ③函数 y = )(xf 是周期函数，最小正周期为 1；④函数 y = )(xf 的图象的对称中心是（0，0）. 其中正确命题的序号是__________ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 xxxf 2cos22sin3)(  . （I） 求 )3(f ;（II）求函数 )(xf 的最小正周期和单调递增区间 16.（本小题满分 13 分） 某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2， 4.5]，… ，（5.1，5.4].经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 （3.9，4.2] 3 0.06 （4.2，4.5] 6 0.12 （4.5，4.8] 25 x （4.8，5.1] y z （5.1，5.4] 2 0.04 合计 n 1.00 （I）求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值； （II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于 20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量 （mg/100mL） 0.015 0.01 0.005 0.02 频率 组距 0.5 的概率． 17.(本小题满分 13 分) 在空间五面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是正方形， BCEAB 平面 , 090CBE . 点 F 是 BE 的中点. 求证： （I） ACFED 平面// （II） BDFAC 平面 18. (本小题满分 14 分) 设函数 Rbabaxxaxxf  、其中,4)1(3)( 2 3 （Ⅰ）若函数 )(xf 在 3x 处取得极小值是 2 1 ，求 ba 、 的值; （Ⅱ）求函数 )(xf 的单调递增区间; （Ⅲ）若函数 ( )f x 在 )1,1( 上有且只有一个极值点, 求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: )0(12 2 2 2  bab y a x 的左焦点为 F （-1，0），离心率为 2 2 ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交 于 BA、 两点. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （II）设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求 点 G 横坐标的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)已知函数 )()( 2 Rxaaxxxf  ，在定义域内有且只有一个零点，存在 21 xx0  ， 使得不等式 )x(f)x(f 21  成立. 若 *Nn ， )(nf 是数列 }{ na 的前 n 项和. （I）求数列 na 的通项公式； （II）设各项均不为零的数列 nc 中，所有满足 01  kk cc 的正整数 k 的个数称为这个数列 nc 的变号数， 令 n n ac 41 （n 为正整数），求数列 nc 的变号数； （Ⅲ）设 6 1 n  naT （ 2n 且 *nN ），使不等式 32 1)1)...(1()1(30 7 32   n TTTm n 恒成立，求 正整数 m 的最大值． 昌平区 2010-2011 学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学（文科）试卷参考答案及评分标准 2011.4 D F E C B A 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D C D C B 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．) 9． 1+i 10. 4  11. 75 12. 1, 2 第一空 3 分，第二空 2 分 13． 13 2 2  yx , xy 3 第一空 3 分，第二空 2 分 14. ① ③ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分) 15.（本小题满分 13 分） 解：（I）依题意 )(xf 2 12cos22sin3  xx ………2 分 ＝ 12cos2sin3  xx …….3 分 ＝ 1)62sin(2  x  5 分 )3(f = 21)63 2sin(2   ……7 分 （II）设函数 )(xf 的最小正周期为 T＝  9 分 当 )(226222 Zkkxk   时，函数单调递增 故解得 )(63 Zkkxk    函数的单调递增区间为[ )](6,3 Zkkk    13 分 16.（本小题满分 13 分） 解：（I）由表可知，样本容量为 n ，由 04.02  n ，得 50n 由 5.025  nx ；……3 分 142256350 y ， 28.050 14  n yz 6 分 （II）设样本视力在（3.9，4.2]的 3 人为 , ,a b c ， 样本视力在（5.1，5.4]的 2 人为 ,d e ． ….….7 分 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为： {( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) }a d a e b d b e c d c e a b a c b c d e  ，….9 分 ∴ 10n  ，且各个基本事件是等可能发生的． 设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5”，则事件 A 包含的基本事件有： ( , ),( , ),( , ),( , )a b a c b c d e ，∴ 4m  ∴ 2( ) 5 mP A n   ， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 2 5 ． 13 分 17.(本小题满分 13 分) 证明：（I）点 F 是 AB 的中点 oBDAC ， ， BEDFO 为 的中位线 OF // DE 又 ACFOFACFED 平面平面  ,  ACFDE 平面// ……6 分 （II） BCEBFBCEAB 平面，平面  BFAB  090CBE BCBF  BDAC  BBC AB , ABCDBF 平面 , ABCDAC 平面 ACBF  又 BDACABCD 是正方形四边形 , BBFBD  BDFAC 平面 ……13 分 18. (本小题满分 14 分) 解：（I） axaxxf 4)1(2)( 2'  .......3 分 04)1(69)3('  aaf 得 2 3a ......4 分 2 1)3( f 解得： 4b ………5 分 （II） )2)(2(4)1(2)( 2'  xaxaxaxxf O D F E C B A 令 22,0)('  xaxxf 或即 …..7 分 当 2,21  xaxa 时， ，即 )(xf 的单调递增区间为 ),2)2,(  a和（ ….8 分 当 0)2()(1 2'  xxfa 时， ，即 )(xf 的单调递增区间为 ),(  ….9 分 当 2,21  xaxa 时， ，即 )(xf 的单调递增区间为 ),2)2,(  和（a …..10 分 （Ⅲ）由题意可得：      0)1()1( 1 '' ff a ……12 分 0)12)(12(  aa 2 1 2 1  a a 的取值范围 )2 1,2 1( ……14 分 19（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意可知： 1c ， 222 cba  ， 2 2 a ce ……2 分 解得： 1,2  ba ……3 分 故椭圆的方程为： 12 2 2  yx ……4 分 （II）设直线 AB 的方程为 )0)(1(  kxky ， ……5 分 联立，得      12 )1( 2 2 yx xky ,整理得 0224)21( 2222  kxkxk 。。。。。。7 分  直线 AB 过椭圆的左焦点 F 方程有两个不等实根. ….…8 分 记 ),(),,(),,( 002211 yxNAByxByxA 的中点 则 2 2 21 21 4 k kxx   …..9 分 2,2 21 0 21 0 yyyxxx  …..10 分 垂直平分线 NG 的方程为 )(1 00 yy  ， …..11 分 令 24 1 2 1 121212 2,0 22 2 2 2 2 2 00  kk k k k k kkyxxy G得 …..12 分 02 1,0  Gxk …… 13 分 ），横坐标的取值范围为（点 02 1 G ….14 分 20.(本小题满份 13 分) 解：（I）∵ )(xf函数 在定义域内有且只有一个零点 40042  aaaa 或得 ……1 分 当 a =0 时，函数 2)( xxf  在 ),0(  上递增 故不存在 210 xx  ， 使得不等式 )()( 21 xfxf  成立 …… 2 分 综上，得 44)(,4 2  xxxfa …….3 分 442  nnSn       2,52 1,1 1 nn nSSa nnn …………4 分 （II）解法一：由题设       2n,5n2 41 1n,3 c n 3n  时， 0)3n2)(5n2( 8 3n2 4 5n2 4cc n1n  3n  时，数列 nc 递增 03 1c 4  由 5052 41  nn 得 可知 0aa 54  即 3n  时，有且只有 1 个变号数； 又 3c,5c,3c 321  即 0cc,0cc 3221  ∴此处变号数有 2 个 综上得数列 nc 共有 3 个变号数，即变号数为 3 ……9 分 解法二：由题设       2n5n2 41 1n3 cn 当 2n  时，令 032 72 52 9201     n n n ncc nn 得 42 2 9 2 7 2 5 2 3   nn nn 或解得 或即 又 5c,3c 21  1n  时也有 0cc 21  综上得数列 nc 共有 3 个变号数，即变号数为 3 …………9 分 （Ⅲ） 2n 且 *nN 时， 12 1  nTn 32 1)12 11)...(7 11)(5 11(30 7   nn m 可转化为 32 1 12 22 12 2...9 10 7 8 5 6 30 7    nn n n nm ． 设 )(ng 32 1 12 22 12 2...9 10 7 8 5 6    nn n n n ， 则当 2n 且 *nN ， 32 1 12 22...9 10 7 8 5 6 52 1 32 42 12 22...9 10 7 8 5 6 )( )1(         nn n nn n n n ng ng 2 4 2 3 2 4 2 3 2 5 (2 3)(2 5) n n n n n n n         2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 12 44 16 15 4 16 16 (2 4) n n n n nn n n n n             . 所以 )()1( ngng  ，即当 n 增大时， )(ng 也增大． 要使不等式 32 1)1)...(1)(1(30 7 32   n TTTm n 对于任意的 *nN 恒成立，只需 min)(30 7 ngm  即可．因为 35 76 7 7 5 6 7 1)2()( min  gng ， 所以 35 76 30 7 m . 即 7 1535 180 m 所以，正整数 m 的最大值为 5． ……………13 分