昌平区初二数学期末试卷及答案

昌平区 2013-2014 学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学试卷 （120 分，120 分钟） 2014．1 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．下面所给的图形中， 不是轴对称图形的是 2．下列运算正确的是 A． 236 xxx  B．   523 xx  C．   222 63 yxxy  D． 243 22 yxxyyx  3．点 P（2，-3）关于 y轴的对称点是 A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3） 4．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A． baba 33)(3  B． 9)6(962  xxxx C． )( yxaayax  D． 2 2 ( 2)( 2)a a a    5． 若分式 2 1   x x 的值为 0，则 x的值为 A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或 2 6. 下列各式中，正确的是 A． 2 2 x y x y     B． 2 2 2( ) x y x y x y x y      C． 1a b b ab b    D． 2 3 1 9 3 x x x     7. 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线 BD交 AC于点 D.若 BC=4cm，BD=5cm，则 点 D到 AB的距离是 A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm w . 8．如图，从边长为 a +1的正方形纸片中剪去一个边长为 a﹣1的正方形（a＞1）， 剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是 A．2 B．2a C．4a D．a2﹣1 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．二次根式 2x 中，x的取值范围是 ． 10．等腰三角形两边长分别为 6和 8，则这个等腰三角形的周长为 ． 11．已知 2a b  ，那么 2 2 4a b b  的值为 ． 12．如图，OP=1，过 P作 OPPP 1 且 11 PP ，根据勾股定理，得 21 OP ； 再过 1P 作 121 OPPP  且 21PP =1，得 32 OP ；又过 2P 作 232 OPPP  且 132 PP ，得 3OP 2；…；依此继续，得 2012OP ， nOP （n为自然数，且 n＞0）． 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13．计算： 2278 3  -  025  ． w W w . 14．分解因式：ax2–2ax + a． 15．计算： x y x y y x x         ． 16．已知：如图，C是线段 AB的中点，∠A=∠B，∠ACE =∠BCD．求证：AD=BE． 17．解方程： 2 1 2 x x x    ． 18．已知 x2=3，求（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2的值． 四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 19．如图，在 4×3的正方形网格中，阴影部分是由 4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分 别在下图方格内添涂 2个小正方形，使这 6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对 称轴． 20．如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠A = 50°，将其折叠，如图 2，使点 A与点 B重合， 折痕为 ED，点 E，D分别在 AB，AC上，求∠DBC的大小． 21．甲、乙两人分别从距目的地 6公里和 12公里的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3：4，结果 甲比乙提前 10分钟达到目的地．求甲、乙的速度． 22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点 D，∠DCB=∠B，若 AC=10，AB=26， 求 AD的长． 五、解答题（共 3 道小题，23，24 小题每题 7 分，25 小题 8 分，共 22 分） 23．如图，四边形 ABCD中，AD=2，∠A =∠D = 90°，∠B = 60°，BC=2CD． （1）在 AD上找到点 P，使 PB+PC的值最小．保留作图痕迹，不写证明； （2）求出 PB+PC的最小值． 24．如图，AD是△ABC的角平分线，点 F，E分别在边 AC，AB上，且 FD=BD． （1）求证∠B+∠AFD=180°； （2）如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段 AE，AF，FD之间满足的等量 关系，并证明． 25．已知 A (-1，0)，B (0，-3)，点 C与点 A关于坐标原点对称，经过点 C的直线与 y轴交于点 D， 与直线 AB交于点 E． （1）若点 D ( 0，1)， 过点 B作 BFCD于 F，求DBF的度数及四边形 ABFD的面积； （2）若点 G（G不与 C重合）是动直线 CD上一点，点 D在点（0，1）的上方，且 BG=BA，试 探究ABG与ECA之间的等量关系. 昌平区 2013—2014 学年第一学期初二年级质量监控 数学试卷参考答案及评分标准 2014．1 一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B D D C A B C C 二、填空题（共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 x≥-2 20 或 22 4 2013， 1n 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13．解：原式= 1-23-22  ……………………………………………… 4 分 = 4-23 ． ……………………………………… 5分 14．解：原式=a(x2-2x+1) ………………………………………… 2 分 =a(x -1)2 ． ………………………………………………… 5分 15．解：原式= yx x xy y xy x         22 ……………………………………… 2分 = yx x xy yx    22 ……………………………………… 3分 = yx x xy yxyx    ))(( …………………………………………… 4分 = y yx  ． …………………………………… 5分 16．证明：∵ C是线段 AB的中点， ∴ AC=BC． ……………………… 2 分 ∵ ∠ACE =∠BCD， ∴ ∠ACD=∠BCE． ……………………………………… 3分 ∵ ∠A=∠B， ∴ △ADC≌△BEC． ……………………… 4分 ∴ AD = BE． ……………………………………………………………… 5分 17．解： 2(x+2)+x(x+2)=x2 ………………………………………………………… 2分 2x+4+x2+2x=x2 4x=-4． …………………………………………………………… 3分 x=-1． ……………………………………………………… 4分 经检验 x=-1是原方程的解． ………………………………………… 5分 ∴ 原方程的解为 x =-1．w W w . 18．解：原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4 ……………………… 3分 =x2-5． ……………………………………… 4分 当 x2=3时，原式=3-5=-2． ………………………………… 5分 四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 19．解：画出一种方法，给 2分，画出两种方法给 5分． 20．解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A = 50°， ∴ ∠ABC =∠C=6 5°. ……………… 2分 由折叠可知：∠ABD =∠A=50°. ……………… 4分 ∴ ∠DBC=6 5°-50°=15°. ……………… 5分 21．解：设甲、乙两人的速度分别为每小时 3x千米和每小时 4x千米． ………………………… 1 分 根据题意，得 6 1 12 3 6 4x x   ． ……………………………… 3 分 解这个方程，得 x=6． ……………………………… 4 分 经检验：x=6是所列方程的根，且符合题意． ∴ 3x=18，4x=24． 答：甲、乙两人的速度分别为每小时 18千米和每小时 24千米． ……………… 5分 22．解：如图，延长 CD交 AB于点 E. ……………… 1分 ∵ AD平分∠BAC，CD⊥AD于点 D， ∴ ∠EAD= ∠CAD，∠ADE=∠ADC =90°. ∴ ∠AED=∠ACD. ……………… 2分 ∴ AE=AC. ∵ AC=10，AB=26， ∴ AE=10，BE=16. ……………… 3分 ∵ ∠DCB=∠B， ∴ EB= EC=16. ∵ AE= AC ，CD⊥AD， ∴ ED= CD=8. ……………………………………………… 4分 在 Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∴ 2 2AD AC CD  = 2 210 8 =6． ……………………………………… 5分 五、解答题（共 3 道小题，23，24 小题每题 7 分，25 小题 8 分，共 22 分） 23．解：（1）如图，延长 CD到点 E使 DE=CD，连接 BE交 AD于点 P． ……………… 2 分 PB+PC的最小值即为 BE 的长． （2）过点 E作 EH⊥AB，交 BA的延长线于点 H． ∵ ∠A =∠ADC = 90°， ∴ CD∥AB． ∵ AD=2， ∴ EH=AD=2． ……………… 4分 ∵ CD∥AB， ∴ ∠1=∠3． ∵ BC=2CD,CE=2CD， ∴ BC= CE． ∴ ∠1=∠2． ∴ ∠3=∠2． ∵ ∠ABC = 60°， ∴ ∠3=30°． ……………… 6分 在 Rt△EHB中，∠H=90°， ∴ BE=2HE=4． ………………………………………………… 7分 即 PB+PC的最小值为 4． 24．解：（1）在 AB上截取 AG=AF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD=∠DAG． 又∵AD=AD， ∴△AFD≌△AGD． ∴∠AFD=∠AGD，FD=GD． ∵FD=BD， ∴BD=GD， ∴∠DGB=∠B， ∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°． ………………………………………………… 4分 （2）AE= AF+FD． ………………………………………………… 5分 过点 E作∠DEH=∠DEA，点 H在 BC上． ∵∠B+2∠DEA=180°， ∴∠HEB=∠B． ∵∠B+∠AFD=180°， ∴∠AFD=∠AGD=∠GEH， ∴GD∥EH． ∴∠GDE=∠DEH=∠DEG． ∴GD=GE． 又∵AF=AG， ∴AE=AG+GE=AF+FD． ………………………………………………… 7分 25．解：（1）如图 1，依题意，C（1，0），OC＝1. 由 D（0，1）,得 OD＝1. 在△DOC中，∠DOC＝90°，OD＝OC＝1. 可得 ∠CDO＝45°. …………………1分 ∵ BF⊥CD于 F， ∴ ∠BFD＝90°. ∴ ∠DBF＝90°-∠CDO =45°. …………………2分 ∴ FD=FB。 由 D（0，1）, B（0，-3）,得 BD＝4. 在 Rt△DFB中，∠DFB=90°，根据勾股定理，得 ∴ FD=FB=2 2 ． ∴ 1 1 2 2 2 2 4 2 2BFDS BF FD       . 而 1 1 4 1 2 2 2ABDS BD AO       , 四边形 ABFD的面积=4+2=6. …………………5分 （2）如图 2，连接 BC. ∵ AO=OC，BO⊥AC， ∴ BA=BC. ∴ ∠ABO=∠CBO. 设 ∠CBO=，则∠ABO=，∠ACB=90-. ∵ BG=BA， ∴ BG=BC. ∵ BF⊥CD， ∴ ∠CBF=∠GBF. 设∠CBF=，则∠GBF=，∠BCG＝90-. ∵ ∠ABG= 2 2 2( ),      ∠ECA=180 (90 ) (90 ) .           ∴ ∠ABG=2∠ECA. ……………………8分