丰台区高三一模数学理有答案

北京市丰台区 2010 年高三年级第二学期统一练习（一） 数 学 试 题（理） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1．如果 ai aiz   1 1 为纯虚数，则实数 a 等于 （ ） A．0 B．-1 C．1 D．-1 或 1 2．设集合    }1,0,log|{},,0,)2 1(|{ 2  xxyyNxyyM x ，则集合 NM  是 （ ） A．   ,1)0,(  B． ,0 C．  1, D． )1,0()0,(  3．若 ,)21( 2 210 n n n xaxaxaax   则 2a 的值是 （ ） A．84 B．-84 C．280 D．-280 4．奇函数 )0,()( 在xf 上单调递增，若 ,0)1( f 则不等式 0)( xf 的解集是（ ） A． )1,0()1,(  B． ),1()1,(  C． )1,0()0,1(  D． ),1()0,1(  5．从 0，2，4 中取一个数字，从 1，3，5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所 有不同的三位数的个数是 （ ） A．36 B．48 C．52 D．54 6．在 ABC ， |"|||""" BCACBCBAACAB  是 的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设 ,24,0,0  abbaba 则 （ ） A．a+b 有最大值 8 B．a+b 有最小值 8 C．ab 有最大值 8 D．ab 有最小值 8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1）， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第 60 个数对是 （ ） A．（10，1） B．（2，10） C．（5，7） D．（7，5） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AB 的中点，DE 与 AC 交于点 F，若 AEF 的面积 是 1cm2，则 CDF 的面积是 cm2. 10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3. 11．样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值 为 ，样本数据落在 14,6 内的频数为 . 12．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为      1 1 ty x （参数 Rt  ），圆 C 的参数 方程为        sin 1cos y x （参数   2,0 ），则圆心到直线l 的距离是 . 13．在右边的程序框图中，若输出 i 的值是 4， 则输入 x 的取值范围是 . 14．函数 )10(12  xxy 图象上点 P 处的切线与直线 1,0,0  xxy 围成的梯形面积等于 S，则 S 的最大 值等于 ，此时点 P 的坐标是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程. 15．（12 分） 已知函数 xbxaxf cossin)(  的图象经过点 ).1,3(),0,6(  （I）求实数 a、b 的值； （II）若 ]2,0[ x ，求函数 )(xf 的最大值及此时 x 的值. 16．（13 分） 如图，在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥面 ABCD，BD 交 AC 于点 E， F 是 PC 中点，G 为 AC 上一点. （I）求证：BD⊥FG； （II）确定点 G 在线段 AC 上的位置，使 FG//平面 PBD，并说明理由. （III）当二面角 B—PC—D 的大小为 3 2 时，求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 17．（14 分） 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件 2 个，是否加工出精品均互不影响.已知师 父加工一个零件是精品的概率为 3 2 ，师徒二人各加工 2 个零件都是精品的概率为 .9 1 （I）求徒弟加工 2 个零件都是精品的概率； （II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率； （III）设师徒二人加工出的 4 个零件中精品个数为 ，求 的分布列与均值 E . 18．（13 分） 已知函数 .ln)( x axxf  （I）当 a0）, )20)(0,,(),2,2 1,2 1(),0,2 1,2 1(  mmmGaFE （I） ),2,2 1,2 1(),0,1,1( ammFGBD  002 1 2 1  mmFGBD FGBD  …………5 分 （II）要使 FG//平面 PBD，只需 FG//EP， 而 ),2 1,2 1( aEP  ， 由 EPFG  可得          aa m 2 2 1 2 1 ，解得 ,1 ,4 3m …………7 分 ,4 3),0,4 3,4 3( ACAGG  故当 ACAG 4 3 时，FG//平面 PBD …………9 分 设平面 PBC 的一个法向量为 ),,,( zyxu  则      0 0 BCu PCu ，而 )0,1,0(),,1,1(  BCaPC      0 0 y azyx ，取 z=1，得 )1,0,(au  ， 同理可得平面 PBC 的一个法向量 )1,,0( av  设 vu, 所成的角为 0， 则 ,2 1|3 2cos||cos|   即 ,2 1 11 1,2 1 |||| || 22    aavu vu 1a …………12 分 ∵PA⊥面 ABCD，∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角， 2 2 2 1tan  AC PAPCA …………14 分 17．（14 分） 解：（I）设徒弟加工 1 个零件是精品的概率为 p1， 则 ,4 1 9 1 3 2 3 2 2 1 2 1  pp 得 所以徒弟加工 2 个零件都是精品的概率是 4 1 …………3 分 （II）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为 p， 由（I）知， 2 1 1 p 师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：  0 1 2 P 9 1 9 4 9 4 徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：  0 1 2 P 4 1 4 2 4 1 所以 36 7 4 1 9 1 4 1 9 4 4 2 9 1 2 p …………9 分 （III） 的分布列为  0 1 2 3 4 P 36 1 36 6 36 13 36 12 36 4 …………13 分  的期望为 3 7 36 4436 12336 13236 6136 10  …………14 分 18．（13 分） 解：函数 x axxf  ln)( 的定义域为 ),0(  …………1 分 22 1)(' x ax x a xxf  …………3 分 （1） .0)(',0  xfa 故函数在其定义域 ),0(  上是单调递增的. …………5 分 （II）在[1，e]上，发如下情况讨论： ①当 ae 时，显然函数 ],1[)( exf 在 上单调递减， 其最小值为 ,21)(  e aef 仍与最小值是 2 3 相矛盾； …………12 分 综上所述，a 的值为 .e …………13 分 19．（13 分） 解：（1） )0,3(),0,3(到点M 的距离之和是 4， M 的轨迹 C 是长轴为 4，焦点在 x 轴上焦中为 32 的椭圆， 其方程为 .14 2 2  yx …………3 分 （2）将 bkxy  ，代入曲线 C 的方程， 整理得 0428)41( 22  k …………5 分 因为直线l 与曲线 C 交于不同的两点 P 和 Q， 所以 .0)14(16)44)(41(464 222222  bkbkbk ① 设 ),,(),,( 2211 yxQyxP ，则 221221 41 4, 41 28 k xx k kxx     ② …………7 分 且 .)()())(( 2 2121 2 2121 bbbkxbkxyy  ③ 显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点 A（-2，0）， 所以 ),,2(),,2( 2211 yxAQyxAP  由 .0)2)(2(,0 2121  yyxxAQAP 得 将②、③代入上式，整理得 .051612 22  bkbk …………10 分 所以 ,0)56()2(  bkbk 即 ,5 62 kbkb  或 经检验，都符合条件① 当 b=2k 时，直线l 的方程为 .2kkxy  显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点 A，与题意不符. 当 kb 5 6 时，直线l 的方程为 ).6 5(5 6  xkkkxy 显然，此时直线l 经过定点 )0,5 6( 点，且不过点 A. 综上，k 与 b 的关系是： ,5 6 kb  且直线l 经过定点 )0,5 6( 点 …………13 分 20．（14 分） 解：（I）对于数列 }{ na ， 取 ,22 2 31 aaa  显然不满足集合 W 的条件，① 故 }{ na 不是集合 W 中的元素， …………2 分 对于数列 }{ nb ，当 }5,4,3,2,1{n 时， 不仅有 ,42,32 3 42 2 31 bbbbbb  ,32 4 33 bbb  而且有 5nb ， 显然满足集合 W 的条件①②， 故 }{ nb 是集合 W 中的元素. …………4 分 （II） }{ nc 是各项为正数的等比数列， nS 是其前 n 项和， ,4 7,4 1 33  Sc 设其公比为 q>0， ,4 7 3 3 2 3  cq c q c 整理得 016 2  qq 11 2 1,1,2 1  nnccq 12 12  nnS …………7 分 对于 , 2 12 2 1 2 122, 22 2*    nnnn nn n SSSN 有 且 ,2nS 故 WSn }{ ，且   ,2M …………9 分 （III）证明：（反证）若数列 }{ nd 非单调递增，则一定存在正整数 k， 使 1 kk dd ，易证于任意的 kn  ，都有 1 kk dd ，证明如下： 假设 1,)(  kk ddkmmn 时 当 n=m+1 时，由 ,22 121 2 mmmm mm dddddd    得 而 0)2( 11121   mmmmmmm ddddddd 所以 ,21   mm dd 所以，对于任意的 ,, 1 mm ddkn 都有 显然 kddd ,,, 21  这 k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为 0nd ； 所以 .),( 0 * 00 MdNndd nnn  从而 与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证. …………14 分