崇文一模数学理有答案

北京市崇文区 2009—2010 学年度第二学期统一练习（一） 数 学 试 题（理） 2010．4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知全集U  R ，集合  | 1 2A x x   ，  2| 6 8 0B x x x    ，则集合  U A B ð （ ） A． | 1 4x x   B． | 1 4x x   C． | 2 3x x  D．  | 2 3x x  2．一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人. 为了 调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为 25 的样本，应 抽取不超过 45 岁的职工人数为 （ ） A．5 B．10 C．15 D．50 3．已知 PA 是  O 的切线，切点为 A ， 2PA  ， AC 是  O 的直径， PC 交  O 于点 B ， 30PAB   ，则  O 的 半径为 （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 2 3 4．已知等比数列 na 为递增数列，且 3 7 3a a  ， 2 8 2a a  ，则 11 7 a a  （ ） A． 2 B． 4 3 C． 3 2 D． 4 5 5．已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的为 （ ） A．若 , ,     则  B．若 , ,m n   则 m n C．若 ,m n   ，则 m n D．若 , ,m m   则  6．设 3 3 , ( 3) , 32 x y xyx yM N P   （其中 0 x y  ），则 , ,M N P 大小关系为（ ） A． M N P  B． N P M  C． P M N  D． P N M  7．2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排．若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位 女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48 D． 60 8．设定义在 R 上的函数 1 , ( 1),1( ) 1, ( 1) xxf x x       ． 若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0f x bf x c   有 3 个不同的实数解 1x ， 2x ， 3x ，则 1 2 3x x x  等于 （ ） A． 3 B． 2 C． 1b  D． c 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．如果复数  2 i 1 im m  （其中i 是虚数单位）是实数，则实数 m  ___________． 10．若 123( )ax x  的展开式中的常数项为 220 ，则实数 a  ___________． 11．将参数方程 1 2cos , 2sin , x y       （ 为参数）化成普通方程为 ． 12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出 ,M N 的值分别为 ． 13．若数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 1 1 , ( 1), , ( 2)n n n S na S S n     ． 若数列{ }nb 的前 n 项积为 nT ，类比上述结果，则 nb =_________； 此时，若 2 ( )nT n n   N ，则 nb =___________． 14 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 1(0) 0 , ( ) (1 ) 1, ( ) ( )5 2 xf f x f x f f x     ， 且 当 1 20 1x x   时， 1 2( ) ( )f x f x ，则 1( )2010f  _________________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 12 分） 在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，满足 5sin 2 5 A  ，且 ABC 的面 积为 2 ． （Ⅰ）求bc 的值； （Ⅱ）若 6 cb ，求 a 的值． 16．（本小题共 13 分） 为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 m 位工人某天生产该 产品的数量，产品数量的分组区间为 10,15 ， 15,20 ， 20,25 , 25,30 ，[30,35] , 频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在 20,25 之间的工人有 6 位． （Ⅰ）求 m ； （Ⅱ）工厂规定从各组中任选 1 人进行再培训，则选取 5 人的概率是多少？ 17．（本小题共 14 分） 三棱柱 111 CBAABC  中，侧棱与底面垂直， 90ABC ， 1 2AB BC BB   ， ,M N 分别是 AB ， 1AC 的中点． （Ⅰ）求证： MN  平面 11BBCC ； （Ⅱ）求证： MN 平面 CBA 11 ； （Ⅲ）求二面角 11 ACBM  的余弦值． 18．(本小题共 14 分） 已知 3 2 2( ) 6 9f x x ax a x   （ aR ）． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当 0a  时，若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，求实数 a 的取值范围． 19．（本小题共 14 分） 已知抛物线 2 4y x ，点 (1,0)M 关于 y 轴的对称点为 N ，直线l 过点 M 交抛物 线于 ,A B 两点． （Ⅰ）证明：直线 ,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求 ANB 面积的最小值； （Ⅲ）当点 M 的坐标为 ( ,0)( 0m m  ，且 1)m  ．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问 题（不必说明理由）： ①直线 ,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ② ANB 面积的最小值是多少？ 20．(本小题共 13 分) 已知数列 na 中， 1 1a  ， 2 1( 0a a a   且 1)a  ，其前 n 项和为 nS ，且当 2n  时， 1 1 1 1 n n nS a a    ． （Ⅰ）求证：数列 nS 是等比数列； （Ⅱ）求数列 na 的通项公式； （Ⅲ）若 4a  ，令 1 9 ( 3)( 3) n n n n ab a a     ，记数列 nb 的前 n 项和为 nT ．设  是整数， 问是否存在正整数 n ，使等式 1 3 7 5 8n n T a     成立？若存在，求出 n 和相应的  值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1—4 DCCA 5—8 BDCA 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 1 10． 1 11． 2 21 4x y   12．13,21 13． 1 1 ( 1) ( 2)n n n T n b T nT      ；   2 2 1 ( 1) ( 2) 1 n n b n n n      14． 1 32 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 12 分） 解：（Ⅰ）∵ ,5 5 2sin A  A0 ∴ 2 5cos 2 5 A  . ∴ 4sin 2sin cos2 2 5 A AA   . ∵ 2sin2 1  AbcS ABC ， ∴ 5bc . --------------------6 分 （Ⅱ）∵ ,5 5 2sin A ∴ 5 3 2sin21cos 2  AA . ∵ 5bc ， 6 cb ， ∴ Abccba cos2222  )cos1(2)( 2 Abccb  20 ∴ 52a . -----------12 分 16．（共 13 分） 解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在 20,25 内的人数为 5 0.06 6m   ，则 20m  （位）． ---------------- 6 分 （Ⅱ）根据直方图可知产品件数在 10,15 ， 15,20 ， 20,25 , 25,30 ，[30,35] , 组内的人数分别为 2，4，6, 5，3． 设选取这 5 人不在同组为 B 事件，则 5 20 2 4 6 5 3 15( ) 323P B C      ． 答：选取这 5 人不在同组的概率为 15 323 ． ---------------- 13 分 17．（共 14 分） （Ⅰ）证明： 连结 1BC ， 1AC ． 在 1ABC 中，  ,M N 是 AB , CA1 的中点，  ||MN 1BC ． 又 MN  平面 11BBCC ，  ||MN 平面 11BBCC ． --------------------4 分 （Ⅱ）如图，以 1B 为原点建立空间直角坐标系 xyzB 1 ． 则 )0,0,0(1B ， (0,2,2)C ， 1( 2,0,0)A  ， ( 1,0,2)M  ， ( 1,1,1)N   1B C  (0,2,2) ， )0,0,2(11 BA ， (0, 1,1)NM   ． 设平面 CBA 11 的法向量为 ( , , )x y zn ． 1 1 1 0 0 0 B C x y zA B             n n 令 1z ，则 0, 1x y   ， (0, 1,1) n ． NM  n = ．  MN 平面 CBA 11 ． --------------------9 分 （Ⅲ）设平面 CMB1 的法向量为 0 0 0( , , )x y zm 1 ( 1,0,2)B M   ． 0 01 0 01 20 0 x zB C y zB M             m m 令 0 1z  ，则 0 02, 1x y    (2, 1,1) m ．  2 3cos , | | | | 32 6      n mn m n m ． 所求二面角 11 ACBM  的余弦值为 3 3 ． --------------------14 分 18．（共 14 分） 解：（Ⅰ） 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a       （1）当 3a a ，即 0a  时， 2'( ) 3 0f x x  ，不成立． （2）当 3a a ，即 0a  时，单调减区间为 (3 , )a a ． （3）当 3a a ，即 0a  时，单调减区间为 ( ,3 )a a ．-------------------5 分 （Ⅱ） 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a      ， ( )f x 在 (0, )a 上递增，在 ( ,3 )a a 上递减，在 (3 , )a  上递增． （1）当 3a  时，函数 ( )f x 在[0,3]上递增， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 (3)f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 (3) 4, 3, f a    解得 a ． （2）当1 3a  时，有 3 3a a  ，此时函数 ( )f x 在[0, ]a 上递增，在[ ,3]a 上递减， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 ( )f a ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 ( ) 4, 1 3, f a a     解得 1a  ． （3）当 1a  时，有3 3a ，此时函数 ( )f x 在[ ,3 ]a a 上递减，在[3 ,3]a 上递增， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 ( )f a 或者是 (3)f ． 由 2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a    ， ① 30 4a  时， ( ) (3)f a f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 (3) 4, 30 ,4 f a    解得 2 3 3[1 , ]9 4a  ． ② 3 14 a  时， ( ) (3)f a f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 ( ) 4, 3 1,4 f a a    解得 3( ,1)4a ． 综上所述， 2 3[1 ,1]9a  ． -------------14 分 19．（共 14 分） 解：（Ⅰ）设直线l 的方程为  1 ( 0)y k x k   ． 由   2 1 , 4 , y k x y x     可得  2 2 2 22 4 0k x k x k    ． 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x xk    ． 1 2 4y y    1,0N  1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 4 4 1 1 4 4NA NB y y y yk k x x y y                   2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 4( 4 4 4 4 ) 0 4 4 4 4 y y y y y y y y y y y y                ． 又当l 垂直于 x 轴时，点 ,A B 关于 x 轴，显然 0,NA NB NA NBk k k k    ． 综上， 0,NA NB NA NBk k k k    ． ---------------- 5 分 （Ⅱ）    2 1 2 1 2 1 2 1 24 4 8NABS y y y y y y x x         = 2 14 1 4k   ． 当l 垂直于 x 轴时， 4NABS  ． ∴ ANB 面积的最小值等于 4 ． ----------------10 分 （Ⅲ）推测：① NA NBk k  ； ② ANB 面积的最小值为 4m m ． ---------------- 14 分 20．（共 13 分） 解：（Ⅰ）当 2n  时， 1 1 +1 1 1 1 1 1 n n n n n n nS a a S S S S       ， 化简得 2 1 1 ( 2)n n nS S S n   ， 又由 1 21 0, 0S S a    ，可推知对一切正整数 n 均有 0nS  ， ∴数列 nS 是等比数列． ---------------- 4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列 nS 的首项为 1，公比为 a ， ∴ 1n nS a  ． 当 2n  时， 2 1 ( 1) n n n na S S a a      ， 又 1 1 1a S  ， ∴ 2 1, ( 1), ( 1) , ( 2).n n n a a a n     ----------8 分 （Ⅲ）当 4, 2a n  时， 23 4n na   ，此时 2 2 1 1 9 9 3 4 ( 3)( 3) (3 4 3)(3 4 3) n n n n n n n ab a a             2 2 1 2 1 3 4 1 1 (4 1)(4 1) 4 1 4 1 n n n n n            ， 又 1 1 1 2 9 3 ( 3)( 3) 8 ab a a    ， ∴ 2 1 3, ( 1)8 1 1 , ( 2)4 1 4 1 n n n n b n          1 1 3 8T b  ， 当 2n  时， 1 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 1 1( ) ( )8 4 1 4 1 4 1 4 1n n n nT b b b                  1 7 1 8 4 1n   ． 若 1n  ，则等式 1 3 7 5 8n n T a     为 3 7 8 5 8   ， 5 2   不是整数，不符合题意． 若 2n  ，则等式 1 3 7 5 8n n T a     为 1 1 7 1 7 8 4 1 5 4 8n n       ， 1 55 4 1n     是整数，∴ 14 1n  是 5 的因数． ,514,2 1  nn 时 ∴当且仅当 2n  时， 1 5 4 1n  是整数， ∴ 4  综上所述，当且仅当 4  时，存在正整数 2n  ，使等式 1 3 7 5 8n n T a     成立． …………13 分 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1—4 DCCA 5—8 BDCA 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 1 10． 1 11． 2 21 4x y   12．13,21 13． 1 1 ( 1) ( 2)n n n T n b T nT      ；   2 2 1 ( 1) ( 2) 1 n n b n n n      14． 1 32 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 12 分） 解：（Ⅰ）∵ ,5 5 2sin A  A0 ∴ 2 5cos 2 5 A  . ∴ 4sin 2sin cos2 2 5 A AA   . ∵ 2sin2 1  AbcS ABC ， ∴ 5bc . --------------------6 分 （Ⅱ）∵ ,5 5 2sin A ∴ 5 3 2sin21cos 2  AA . ∵ 5bc ， 6 cb ， ∴ Abccba cos2222  )cos1(2)( 2 Abccb  20 ∴ 52a . -----------12 分 16．（共 13 分） 解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在 20,25 内的人数为 5 0.06 6m   ，则 20m  （位）． ---------------- 6 分