崇文高三一模及答案数学文

北京市崇文区 2009—2010 学年度第二学期统一练习（一） 数 学 试 题（文） 2010.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知全集U  R ，集合  | 1 2A x x   ，  2| 6 8 0B x x x    ，则集合  U A B ð （ ） A． | 1 4x x   B． | 2 3x x  C．  | 2 3x x  D． | 1 4x x   2．已知幂函数 ( )y f x 的图象过（4，2）点，则 1( )2f  （ ） A． 2 B． 1 2 C． 1 4 D． 2 2 3．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位： cm ）， 该几何体的表面积和体积为 （ ） A． 2 324πcm ,12πcm B． 2 315πcm ,12πcm C． 2 324πcm ,36πcm D．以上都不正确 4．若直线 y x b  与圆 2 2 2x y  相切，则b 的值为 （ ） A． 4 B． 2 C． 2 D． 2 2 5．将函数 xy 2sin2 的图象向右平移 6  个单位后，其图象的一条对称轴方程为（ ） A． 3 x B． 6 x B． 12 5x D． 12 7x 6．已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的为 （ ） A．若 , ,     则  B．若 , ,m m   则  C．若 ,m n   ，则 m n D．若 , ,m n   则 m n 7．若 0 1a  ，函数   logaf x x ，  1 1( ), ( ), 34 2m f n f p f   ，则 （ ） A． m n p  B． m p n  C． n m p  D． p m n  8．如果对于任意实数 x ， x 表示不超过 x 的最大整数. 例如 3.27 3 ， 0.6 0 . 那么“   x y ”是“ 1x y  ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．若 ),2(,5 3)2cos(   ，则 tan = . 10．如果复数  2 i 1 im m  （其中i 是虚数单位）是实数，则实数 m  ___________. 11．从 52 张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是 J 或 Q 或 K 的概率为 _______． 12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出 ,M N 的值分别为 ． 13．若数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 1 1 , ( 1), , ( 2)n n n S na S S n     ．若数列{ }nb 的前 n 项积为 nT ，类比上述结果，则 nb =_________；此时，若 2 ( )nT n n   N ，则 nb =___________． 14．关于平面向量有下列四个命题： ①若   a b a c ，则 b c ； ②已知 ( ,3) , ( 2,6)k  a b ．若 a b ，则 1k   ； ③非零向量 a 和 b ，满足 | || a |=| b | a - b ，则 a 与 a + b 的夹角为 30 ； ④ ( ) ( ) 0| | | | | | | |    a b a b a b a b ． 其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 12 分） 在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，满足 5sin 2 5 A  ，且 ABC 的 面积为 2 ． （Ⅰ）求bc 的值； （Ⅱ）若 6 cb ，求 a 的值． 16．（本小题共 13 分） 为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 m 位工人某天生产该 产品的数量，产品数量的分组区间为 10,15 ， 15,20 ， 20,25 , 25,30 ，[30,35] , 频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在 20,25 之间的工人有 6 位． （Ⅰ）求 m ； （Ⅱ）工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机的选取 2 位工人进行培训，则这 2 位工人不在同一组的概率是多少？ 17．（本小题共 14 分） 三棱柱 111 CBAABC  中，侧棱与底面垂直， 90ABC ， 1 2AB BC BB   ， ,M N 分别是 AB ， 1AC 的中点． （Ⅰ）求证： ||MN 平面 11BBCC ； （Ⅱ）求证： MN 平面 CBA 11 ； （Ⅲ）求三棱锥 M CBA 11 的体积． 18．（本小题共 14 分） 已知函数 3 2 2( ) 6 9f x x ax a x   （ aR ）． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当 0a  时，若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，求实数 a 的取值范围． 19．（本小题共 14 分） 已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     短轴的一个端点  0, 3D ，离心率 1 2e  ．过 D 作直线l 与椭圆交于另一点 M ，与 x 轴交于点 A （不同于原点 O ），点 M 关于 x 轴的 对称点为 N ，直线 DN 交 x 轴于点 B ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 OA OB  的值． 20．(本小题共 13 分) 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 21 11 2 2nS n n  . 数列 nb 满足 2 12 0n n nb b b    ( n N )，且 3 11b  ， 1 2 9 153b b b    . （Ⅰ）求数列 na ， nb 的通项公式； （Ⅱ）设 3 (2 11)(2 1)n n n c a b    ，数列 nc 的前n 项和为 nT ，求使不等式 57n kT  对 一切 n N 都成立的最大正整数 k 的值； （Ⅲ）设 , ( 2 1, ),( ) , ( 2 , ), n n a n l lf n b n l l          N N 是否存在 m N ，使得 ( 15) 5 ( )f m f m  成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1—4 CDAB 5—8 CDBA 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 3 4  10． 1 11． 3 13 12．13，21 13． 1 1 ( 1) ( 2)n n n T n b T nT      ；   2 2 1 ( 1) ( 2) 1 n n b n n n      14．②③④ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 12 分） 解：（Ⅰ）∵ ,5 5 2sin A  A0 ∴ 2 5cos 2 5 A  . ∴ 4sin 2sin cos2 2 5 A AA   . ∵ 2sin2 1  AbcS ABC ， ∴ 5bc . --------------------6 分 （Ⅱ）∵ ,5 5 2sin A ∴ 5 3 2sin21cos 2  AA . ∵ 5bc ， 6 cb ， ∴ Abccba cos2222  )cos1(2)( 2 Abccb  20 . ∴ 52a . -----------12 分 16．（共 13 分） 解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在 20,25 内的人数为 5 0.06 6m   ，则 20m  （位）． ---------------- 6 分 （Ⅱ）根据直方图可知产品件数在  10,15 ， 15,20 ，组内的人数分别为 2，4. 设这 2 位工人不在同一组为 A 事件，则 8( ) 15P A  ． 答：选取这 2 人不在同组的概率为 8 15 ． ---------------- 13 分 17．（共 14 分） （Ⅰ）证明： 连结 1BC ， 1AC ，  ,M N 是 AB ， CA1 的中点  ||MN 1BC ． 又 MN  平面 11BBCC ，  ||MN 平面 11BBCC ． --------------------4 分 （Ⅱ）三棱柱 111 CBAABC  中，侧棱与底面垂直， 四边形 11BBCC 是正方形． 1 1BC B C  ． 1MN B C  ． 连结 1 ,A M CM ， 1AMA AMC  ． 1A M CM  ，又 N 中 1AC 的中点， 1MN AC  ． 1B C 与 1AC 相交于点C ，  MN 平面 CBA 11 ． --------------------9 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 MN 是三棱锥 M CBA 11 的高． 在直角 MNC 中， 15 , 2 3MC AC  ， 2MN  ． 又 1 1 2 2A B CS  ． 1 1 1 1 1 4 3 3M A B C A B CV MN S    ． --------------------14 分 18．（共 14 分） 解：（Ⅰ） 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a       （1）当 3a a ，即 0a  时， 2'( ) 3 0f x x  ，不成立． （2）当 3a a ，即 0a  时，单调减区间为 (3 , )a a ． （3）当 3a a ，即 0a  时，单调减区间为 ( ,3 )a a ．--------------------5 分 （Ⅱ） 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a      ， ( )f x 在 (0, )a 上递增，在 ( ,3 )a a 上递减，在 (3 , )a  上递增． （1）当 3a  时，函数 ( )f x 在[0,3]上递增， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 (3)f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 (3) 4, 3, f a    解得 a ． （2）当1 3a  时，有 3 3a a  ，此时函数 ( )f x 在[0, ]a 上递增，在[ ,3]a 上递减， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 ( )f a ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 ( ) 4, 1 3, f a a     解得 1a  ． （3）当 1a  时，有3 3a ，此时函数 ( )f x 在[ ,3 ]a a 上递减，在[3 ,3]a 上递增， 所以函数 ( )f x 在[0,3]上的最大值是 ( )f a 或者是 (3)f ． 由 2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a    ， ① 30 4a  时， ( ) (3)f a f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 (3) 4, 30 ,4 f a    解得 2 3 3[1 , ]9 4a  ． ② 3 14 a  时， ( ) (3)f a f ， 若对  0,3x  有 ( ) 4f x  恒成立，需要有 ( ) 4, 3 1,4 f a a    解得 3( ,1)4a ． 综上所述， 2 3[1 ,1]9a  ． -------------14 分 19．（共 14 分） 解：（Ⅰ）由已知， 2, 3a b  ． 所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ． -------------5 分 （Ⅱ）设直线l 方程为 3y kx  ．令 0y  ，得 3 ,0A k      ． 由方程组 2 2 3 3 4 12 y kx x y      可得  223 4 3 12x kx   ，即  2 23 4 8 3 0k x kx   ． 所以 2 8 3 3 4M kx k    ， 所以 2 2 2 8 3 8 3, 33 4 3 4 k kM k k         ， 2 2 2 8 3 8 3, 33 4 3 4 k kN k k        ． 所以 2 2 2 8 32 3 33 4 48 3 3 4 DN k kk kk k     ． 直线 DN 的方程为 3 34y xk   ． 令 0y  ，得 4 3 ,03 kB      ． 所以 OA OB  = 4 3 3 43 k k     ． ---------------- 14 分 20．（共 13 分） 解：（Ⅰ）当 1n  时, 1 1 6a S  当 2n  时, 2 2 1 1 11 1 11( ) [ ( 1) ( 1)] 52 2 2 2n n na S S n n n n n          . 而当 1n  时, 5 6n   ∴ 5na n  又 2 12 0n n nb b b    即 2 1 1n n n nb b b b     ， ∴ nb 是等差数列，又 3 11b  ， 1 2 9 153b b b    ，解得 1 5, 3b d  ． ∴ 3 2nb n  ． ---------------- 4 分 （Ⅱ） 3 (2 11)(2 1)n n n c a b    1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n       ∴ 1 2nT c c   … nc 1 1 1 1[(1 ) ( )2 3 3 5      … 1 1( )]2 1 2 1n n    2 1 n n   ∵ 1 1 1 02 3 2 1 (2 3)(2 1)n n n nT T n n n n         ∴ nT 单调递增，故 min 1 1( ) 3nT T  ． 令 1 3 57 k ，得 19k  ，所以 max 18k  . ---------------- 9 分 （Ⅲ） , ( 2 1, ),( ) , ( 2 , ), n n a n l lf n b n l l          N N （1）当 m 为奇数时， 15m  为偶数， ∴3 47 5 25m m   ， 11m  ． （2）当 m 为偶数时， 15m  为奇数， ∴ 20 15 10m m   ， 5 7m   N （舍去）． 综上，存在唯一正整数 11m  ，使得 ( 15) 5 ( )f m f m  成立． ----------1 3 分