朝阳区一模数学文有答案

北京市朝阳区 2009—2010 学年度高三年级第二学期统一考试（一） 数学试题（文史类） 2010.4 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上. 考试结束时，将 试题卷和答题卡一并交回. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．复数 2 2 (1 )i i  等于 （ ） A．2 B．-2 C． 2i D． 2i 2．命题 : 0, sin 1p x x   都有 ，则 （ ） A． : 0, sin 1p x x    使得 B． 1sin,0:  xxp 使得 C． : 0, sin 1p x x    使得 D． 1sin,0:  xxp 使得 3．满足 2 2 2 1( ) log 42 x x  成立的 的取值范围是 （ ） A．{ | 1}x x   B． }3|{ xx C． }3|{ xx D． }1|{ xx 4．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 3 x 对称的是 （ ） A． )32sin(  xy B． )62sin(  xy C． )62sin(  xy D． )32sin(  xxy 5．一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行. 若蜜蜂在飞行过程中与正方 体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全； 若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂 在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ） A． 8 1 B． 16 1 C． 27 1 D． 8 3 6．右图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m 为数字 0—9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均 数分别为 21,aa ，则一定有 （ ） A． 21 aa  B． 21 aa  C． 21 aa  D． 21,aa 的大小与 m 的值有关 7．设 |,|min qp 表示 ,p q 两者中的较小者，若函数 }log,3min{)( 2 xxxf  ，则 2 1)( xf 的解集为 （ ） A． ),2 5()2,0(  B．（0，+∞） C． ),2 5()2,0(  D． ),2(  8．如图，设平面   CDABEF ,, ，垂足分别为 B，D，且 CDAB  ，如果 增加一个条件就能推出 EFBD  ，给出四个条件：① AC ；② EFAC  ；③AC 与 BD 在  内的正投影在同一条直线上；④AC 与 BD 在平面  内的正投影所在直线交 于一点. 那么这个条件不可能．．．是 （ ） A．①② B．②③ C．③ D．④ 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上. 9．函数 xxy cossin 的最大值是 . 10．在抛物线 )0(22  ppxy 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为 . 11．左下程程序图的程序执行后输出的结果是 . 12．如右上图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为 1 的正方形，俯视图是一个 直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为 . 13．圆 0323422  yxyx 被直线 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 . 14．一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 x ，以后每次生成的结果可将上一 次生成的每一个数 x 生成两个数，一个是 x，另一个是 3x ，设第 )( *Nnn  次生成 的数的个数为 na ，则数列 }{ na 的前 n 项和 nS ；若 1x ，前 n 次生成所有数．．．中 不同的数的个数为 4, TTn 则 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A、B，C 所对的边分别为 cba ,, ，且 .5 5sin,4 3  AC  （1）求 BA sin,cos 的值； （2）若 baab ,,22 求 的值. 16．（本小题满分 13 分） 袋子中装有编号为 ba, 的 2 个黑球和编号为 edc ,, 的 3 个红球，从中任意摸出 2 个球。 （1）写出所有不同的结果； （2）求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率； （3）求至少摸出 1 个黑球的概率. 17．（本小题满分 13 分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，每个侧面均为正方形，D、E 分别为侧棱 AB、CC1 的中点，AB1 与 A1B 的交点为 O. （1）求证：CD//平面 A1EB； （2）求证： 1AB 平面 A1EB. 18．（本小题满分 14 分） 已知函数 .,33)( 23 Rmxxmxxf  （1）若函数 1)( xxf 在 处取得极值，试求 m 的值，并求 )(xf 在点 ))1(,1( fM 处的 切线方程； （2）设 0m ，若函数 )(xf 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求 m 的取值范围. 19．（本小题满分 13 分） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 2 1 ，且经过点 )2 3,1(M ，过点 P （2，1）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B. （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存直线l ，满足 2 PMPBPA  ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请 说明理由. 20．（本小题满分 14 分） 若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列。已知 数 列 }{ na 是 调 和 数 列 ， 对 于 各 项 都 是 正 数 的 数 列 }{ nx ， 满 足 )( * 21 21 Nnxxx nAA n n n n n n    （1）求证：数列 }{ nx 是等比数列； （2）把数列 }{ nx 中所有项按如图所示的规律排成一个三 角形数表，当 128,8 23  xx 时，求第 m 行各数的和； （ 3 ） 对 于 （ 2 ） 中 的 数 列 }{ nx ， 若 数 列 }{ nb 满 足 )(4444 *1111 321 Nnx nn b n bbbb    ，求证：数列 }{ nb 为等差数列. 参考答案 一、选择题： 1—5CABBC 6—8BAD 二、填空题： 9． 2 1 10．2 11．55 12．  2 3 13． 3  14． 12 n 10 三、解答题： 15．（本小题满分 13 分） 解：（1）因为 5 5sin,4 3  AC  所以 5 52sin1cos 2  AA 由已知得 AB  4  所以 AAAB sin4coscos4sin)4sin(sin   10 10 5 5 2 2 5 52 2 2  7 分 （2）由（1）知 10 10sin B ， 根据正弦定理 A a B b sinsin  得 .2ba  又因为 2,2,22  baba 所以 13 分 16．（本小题满分 13 分） 解：（1） .,,,,,,,,, dececdbcbdbcaeadacab 3 分 （2）记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A， 则事件 A 饮食的基本事件为 ,,,,, bebcaeadac ，共 6 个基本事件，所以 6.010 6)( AP 8 分 答：恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 6.0 （3）记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B， 则事件 B 包含的基本事件为 bebdbcaeadacab ,,,,,, ，共 7 个基本事件， 所以 7.010 7)( BP 答：至少摸出 1 个黑球的概率为 7.0 13 分 17．（本小题满分 13 分） 证明：（1）连接 OD， 因为 O 为 AB1 的中点，D 为 AB 的中点， 所以 OD//BB1，且 12 1 BBOD  又 E 是 CC1 中点， 则 EC//BB1 且 12 1 BBEC  ， 即 EC//OD 且 EC=OD。 则四边形 ECDO 为平行四边形，所以 EO//CD。 又 CD 平面 A1BE， EO 平面 A1BE， 则 CD//平面 A1BE 7 分 （2）因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以 BCBBABBB  11 , ， 所以 BB1  平面 ABC 因为 CD 平面 ABC，所以 BB1  CD 由已知得 AB=BC=AC， 所以 CD  AB 所以 CD  平面 A1ABB1。 由（1）可知 EO//CD， 所以 EO  平面 A1ABB1， 所以 EO  AB1 因为侧面是正方形，所以 AB1  A1B 又  EOOBAEO ,1 平面 A1EB， BA1 平面 A1EB 所以 AB1  平面 A1BE。 13 分 18．（本小题满分 14 分） （1）解： .363)( 2  xmxxf 因为函数 1)( xxf 在 处取得极值， 所以 .3,0)1(  mf 解得 于是函数 .369)(,3)1(,333)( 223  xxxffxxxxf 函数 )(xf 在点 M（1，3）处的切线的斜率 .12)1(  fk 则 )(xf 在点 M 处的切线方程为 0912  yx 6 分 （2）当 0m 时， 363)( 2  xxxf 是开口向下的抛物线， 要使 )(xf  在（2，+∞）上存在子区间 使 0)(  xf ，应满足            .0)1( ,21 ,0 mf m m 蔌          0)2( ,21 ,0 f m m 解得 2 1 4 3,02 1  mm 或 ， 所以 m 的取值范围是 )0,4 3( 14 分 19．（本小题满分 13 分） （1）设椭圆 C 的方程为 )0(12 2 2 2  ba b y a x ， 由题意得            222 22 2 1 1 4 91 cba a c ba 解得 3,4 22  ba ， 故椭圆 C 的方程为 134 22  yx 5 分 （2）若存在直线 l 满足条件，设直线l 的方程为 1)2(  xky 由      1)2( ,134 22 xky yx 得 081616)12(8)43( 222  kkxkkxk 因为直线l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B， 设 A，B 两点的坐标分别为    2211 ,,, yxyx 所以 .0)81616()43(4)]12(8[ 222  kkkkk 整理，得 0)36(32 k 解得 .2 1k 又 2 2 21221 43 81616, 43 )12(8 k kkxx k kkxx     且 2 PMPBPA  即 4 5)1)(1()2)(2( 2121  yyxx 所以 22 21 ||)1)(2)(2( PMkxx  4 5 即 .4 5)1](4)(2[ 2 2121  kxxxx 所以 4 5 43 44)1](4 43 )12(82 43 81616[ 2 2 2 22 2        k kk k kk k kk 解得 2 1k 所以 2 1k ， 于是，存在直线l 满足条件，其方程为 xy 2 1 13 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（1）证明：因为 2 2 1 1      nnn a n a n a n xxx ， 且数列 || nx 中各项都是正数， 所以 ,lglglg 2211   nnnnnn xaxaxa 设 pxaxaxa nnnnnn   2211 lglglg ① 因为数列 }{ na 是调和数列， 故 21 112,0   nnn n aaaa 所以 21 2   nnn a p a p a p ② 由①得 2 2 1 3 lg,lg,lg      n n n n n n xa pxa pxa p ， 代入②式得， 所以 21 lglglg2   nnn xxx 即 )lg(lg 2 2 1   nnn xxx 故 2 2 1   nnn xxx ， 所以数列 || nx 是等比数列. 5 分 （2）设 || nx 的公比为 q ， 则 2 4 3 xqx  即 0.1288 4  nxq 由于 故 .2q 于是 nnn n qxx 228 33 3   注意到第 ),3,2,1( nn 行共有 n 个数， 所以三角形数表中第 1 行至第 1m 行共含有 2 )1()1(321  mmm 个数 因此第 m 行第 1 个数是数列 || nx 中的第 2 212 )1( 2  mmmm 项. 故第 m 行第 1 个数是 2 2 2 2 2 2 2    nn nnx 所以第 m 行各数的和为 )12(212 2 2 2)12( 2 2 2 2   m mn nn m n S 10 分 （3）由 nn b n bbbb x  1111 4444 321  得 nn bnnbbbb )2(4 )( 321   即 nn xbbbbb 22 4][2 321   所以 nn nbnbbb  ])[(2 21  ① 1121 )1()]1()[(2   nnn bnnbbbb  ② ②-①得 nnn nbbnb   11 )1(22 即 .02)1( 1   nn nbbn ③ .02)1( 12   nn bnnb ④ ④-③得 02 12   nnn nbnbab 即 12 2   nnn bbb 所以 }{ nb 为等差数列 14 分