高三数学总复习专题突破训练：数列07

2010 届高三数学总复习专题突破训练：数列 一、选择题 1、（2009 潮州）等比数列 }{ na 的首项与公比分别是复数 2 (i i 是虚数单位 ) 的实部与虚部， 则数列 }{ na 的前10项的和为（ ）A A 20 B 1210  C 20 D i2 2、（2009 揭阳）已知 na 是等差数列， 154 a ， 555 S ，则过点 3 4(3, (4,), )P a Q a 的直 线的斜率（ ）A A．4 B． 4 1 C．－4 D．－14 3、（ 2009 广东五校）在等差数列  na 中， 1 2008a   ，其前 n 项的和为 nS ．若 2007 2005 2 2007 2005 S S   ，则 2008S （ ）B （A） 2007 （B） 2008 （C） 2007 （D） 2008 4、（2009 番禺）首项为 30 的等差数列,从第7 项开始为正,则公差 d 的取值范围是 （ ） C A. 5 6d  B. 6d  C. 5 6d  D. 5d  5、（2009 北江中学）一个等差数列共 n 项，其和为 90，这个数列的前 10 项的和为 25，后 10 项的和为 75，则项数 n 为 （ ）C A.14 B.16 C.18 D.20 6、（2009 珠海）等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS , 9 1318, 52S S    ,等比数列 }{ nb 中, ,, 7755 abab  则 15b 的值为（ B ） 学科网 A．64 B．-64 C．128 D．-128 网 7、（2009澄海）．已知等比数列的公比为 2，且前四项之和等于 1，那么前八项之和等于( )D A.15 B.21 C.19 D.17 8、（2009 澄海）记等差数列 }{ na 的前 n项和为 nS ，若 |||| 113 aa  ，且公差 0d ，则当 nS 取 最大值时， n （ ）C A．4 或 5 B．5 或 6 C．6 或 7 D．7 或 8 9、（2009 韶关）已知等差数列{ }na 满足 1 2 3 101 0a a a a     ，则有（ ） C A． 1 101 0a a  B． 1 101 0a a  C． 1 101 0a a  D． 51 51a  10、（2009 ）已知在等差数列｛ na ｝中, ,4,1201  da 若 )2(  naS nn ，则 n的最小值为（ ）B A．60 B．62 C．70 D．72 二、解答题 1、（2009 广雅期中）已知数列 na 满足 1 1 3 a  ， 2 7 9 a  ， 2 1 4 1 3 3n n na a a   *( )nN . (1) 求数列 na 的通项公式； (2) 求数列 nna 的前 n项和 nS ； (3) 已知不等式 ln(1 ) 1 xx x    对 0x  成立，求证： 1 1 2 1 1 1 ln 3 2 2 2 2 n na a a          . 2、（09 广东四校理期末）已知数列 na 满足 4 1 1 a ，   ),2( 21 1 1 Nnn a a a n n n n      ． （1）试判断数列          n na 11 是否为等比数列，并说明理由； （2）设 2 1 n n a b  ，求数列 nb 的前 n项和 nS ； （3）设 2 )12(sin   nac nn ，数列 nc 的前 n项和为 nT ．求证：对任意的  Nn ， 3 2 nT ． 3、（09 广东四校文期末）已知函数 f (x) = a x 2 + bx － 2 3 的图象关于直线 x=－3 2 对称, 且过 定点(1,0)；对于正数列{an},若其前 n项和 Sn满足 Sn = f (an) （n  N*） （Ⅰ）求 a , b 的值； （Ⅱ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅲ）设 bn= an 2n （n  N*），若数列{bn} 的前 n 项和为 Tn，试比较 Tn与 5 的大小，并证 明. 4、（09 北江中学期末）若数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 2a  且 1 4 2( 1,2,3 ).n nS a n     （I）求 2 3,a a ； （II）求证：数列 }2{ 1 nn aa 是常数列； （III）求证： 1 2 2 3 1 11 1 ... 1 1 1 2 n n aa a n a a a           . 5、（2009 广东揭阳）已知数列 na 满足 * 1 2 2 11, 3, 3 2 ( ).n n na a a a a n N      （I）证明：数列 1n na a  是等比数列；（II）求数列 na 的通项公式； （II）若数列 nb 满足 1 2 11 1 *4 4 ...4 ( 1) ( ),n nb bb b na n N     证明 nb 是等差数列。 6、（2009 广州海珠）数列 nb   Nn 是递增的等比数列，且 4,5 3131  bbbb . (Ⅰ)求数列 nb 的通项公式; (Ⅱ)若 3log 2  nn ba ,求证数列 na 是等差数列; (Ⅲ)若  32 2 1 aaa …… 46aam  ,求m的最大值. 7、（2009 广东湛江）已知数列  na n N  是等比数列,且 1 30, 2, 8.na a a   (1)求数列 na 的通项公式; (2)求证: 1 2 3 1 1 1 1 1; na a a a     L (3)设 22 og 1n nb l a  ,求数列 nb 的前 100 项和. 8、（2009 广东中山期末）已知数列 { }na 是首项为 1 1 4 a  ，公比 1 4 q  的等比数列，设 *)(log32 4 1 Nnab nn  ，数列 nnnn bacc 满足}{ . （1）求数列 }{ nb 的通项公式；（2）求数列 }{ nc 的前 n 项和 Sn. 9、（2009 潮南）在数列  )0,(2)2(,2 1 11     Nnaa，aa nn nnn 中 （1） 求数列 na 的通项公式； （2） 求数列 na 的前 n 项和 nS ； （3） 证明存在 。Nn a a a a Nk k k n n 均成立对任意使得   11, 10、（2009 广东六校一）已知数列 na 的首项 1 1 2 a  ，前 n项和  2 1n nS n a n  ． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 1 0b  ，  1 2n n n Sb n S   ， nT 为数列 nb 的前 n项和，求证： 2 1n nT n   ． 11、（2009番禺）已知点 * 1 1 2 2(1, ), (2, ), , ( , ) ( )n nB y B y B n y n N 在直线 1 1 2 y x  上 ， 点 1 1 2 2( ,0), ( ,0),A x A x 3 3( ,0),A x … … ， ( ,0)n nA x 顺 次 为 x 轴 上 的 点 , 其 中 1 (0 1)x a a   ，对于任意 *n N ，点 1, ,n n nA B A  构成以 nB 为顶角的等腰三角形, 设 1n n nA B A  的面积为 nS ． (1) 证明：数列 ny 是等差数列； (2) 求 2 1nS  ；（用 a和n的代数式表示） (3) 设数列 2 1 2 1 n nS S       前 n项和为 nT ，判断 nT 与 8 3 4 n n  ( *n N )的大小，并证明 你的结论； O ．． ． B1 B2 Bn x y 祥细答案： 1、(1) 解法一：由 2 1 4 1 3 3n n na a a   ，得 2 1 1 1 1 3 3n n n na a a a     ， ∴数列 1 1 3n na a      是常数列， 1 2 1 1 1 7 1 1 2 3 3 9 3 3 3n na a a a        ， 即 1 1 2 3 3n na a   ，得 1 11 ( 1) 3n na a    . ∴数列 1na  是首项为 1 21 3 a    ，公比为 1 3 的等比数列， ∴ 12 11 ( ) ( ) 3 3 n na     ，故数列 na 的通项公式为 21 3n na   . …………5分 解法二：由 2 1 4 1 3 3n n na a a   ，得 2 1 1 1 ( ) 3n n n na a a a     ， ∴数列 1n na a  是首项为 2 1 7 1 4 9 3 9 a a    ，公比为 1 3 的等比数列， ∴ 1 1 4 1( ) 9 3 n n na a      . ∴ 2 1 2 1 3 2 1 1 4 4 1 4 1( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 9 3 9 3 n n n na a a a a a a a                  1 1 4 1(1 )1 1 2 1 29 3 (1 ) 1 ( 2)13 3 3 3 31 3 n n n n             （*） 当 1n  时， 1 1 3 a  也适合（*），故数列 na 的通项公式为 21 3n na   . ………5分 解法三：由 2 1 4 1 3 3n n na a a   ，得 2 1 1 1 1 3 3n n n na a a a     ， 2 1 1 1 ( ) 3n n n na a a a     . ∴ 1 1 3n na a      是常数列， 1n na a  是首项为 2 1 7 1 4 9 3 9 a a    ，公比为 1 3 的等比 数列. ∴ 1 2 1 1 1 7 1 1 2 3 3 9 3 3 3n na a a a        ，且 1 1 4 1( ) 9 3 n n na a      . 由上式联立消去 1na  ，解得： 21 3n na   为数列 na 的通项公式. …………5 分 解法四：由已知，有 1 1 3 a  ， 2 7 9 a  ， 3 2 1 4 1 25 3 3 27 a a a   ，从而猜想： 3 2 3 n n na   . 下用第二数学归纳法证明： ① 当 1,2n  时，结论显然成立. ② 假设当 n k 和 1n k  时结论成立，即 3 2 3 k k ka   ， 1 1 1 3 2 3 k k ka      ， 则当 2n k  时， 1 2 2 1 1 2 4 1 4 3 2 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 k k k k k k k k ka a a                 ，即当 2n k  时结论也成立. 综上，数列 na 的通项公式为 3 2 3 n n na   . …………5 分 (2) 解： 2(1 ) 2 3 3n n n nna n n     . 设 2 3 1 2 3 3 3 3 3n n nT      ， ① 1 3 nT  2 3 1 1 2 1 3 3 3 3n n n n      . ② ①②得： 2 3 1 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3n n n nT       1 1 1 1(1 ) 1 2 33 3 1 3 2 2 31 3 n n n n n          ， ∴ 3 2 3 4 4 3n n nT     . 故 2( 1) 3 2 3 ( 3) 3 2 3(1 2 3 ) 2 2 2 2 3 2 3 n n n n n n n n n n nS n T                     . …9 分 (3) 证： 1 3 3 2 n n na   . ∵不等式 ln(1 ) 1 xx x    对 0x  成立，令 2 n x a  ，得 2 2ln 121 n n n a a a        ，即 1 12 2 2 3 3 2ln 1 ln 1 ln ln(3 2) ln(3 2) 2 3 2 3 2 n n n n n n n na a                             . 于是 2 1 3 2 1 2 2 2 2 [ln(3 2) ln(3 2)] [ln(3 2) ln(3 2)] 2 2 2na a a                  1 1[ln(3 2) ln(3 2)] ln(3 2)n n n       . ∴ 1 1 1 2 1 1 1 1 ln(3 2) ln 3 2 2 2 2 2 n n na a a             . …………14分 2、解：（1） 1 2)1(1   n n n aa  ， ])1(1)[2()1(1 1 1    n n n n aa ， 又 3)1(1 1  a  ，∴数列          n na 11 是首项为3，公比为 2 的等比数列． （2）依（Ⅰ）的结论有 1)2(3)1(1  nn na ，即 11 )1()2(31   nn na . 12649)123( 1121   nnn nb ． 92643 21 )21(16 41 )41(19        nnS nn nn n ． （3） 1)1( 2 )12(sin   nn  ，又由(Ⅱ)有 123 )1( 1 1      n n na 123 1 1   nnc ． 则 123 1 123 1 123 1 13 1 12         nnT   1 3 ( 12 2 1 2 1 2 11  n ) = 1 3 2 11 2 11   n = 2 3 ( 1－ n2 1 )< 2 3 ∴ 对任意的  Nn ， 3 2 nT ． 3、 的最大值为  3 ， 此时 x=0，∴ 点 P的坐标为（0，± 3 ）. 14分 21. (Ⅰ)∵函数 f (x) 的图象关于关于直线 x=－3 2 对称, ∴a≠0,－ b 2a =－3 2 ,∴ b=3a① ∵其图象过点(1,0)，则 a+b－2 3 =0② 由①②得 a= 1 6 , b= 1 2 . 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 21 1 2( ) 6 2 3 f x x x   ，∴ ( )n nS f a = 21 1 2 6 2 3n na a  当 n≥2 时， 1nS  = 2 1 1 1 1 2 6 2 3n na a   . 两式相减得 2 2 1 1 1 1 1( ) 6 2 2n n n n na a a a a     ∴ 2 2 1 1 1 1( ) ( ) 0 6 2n n n na a a a     ，∴ 1 1( )( 3) 0n n n na a a a     0,na   1 3n na a   ，∴{ }na 是公差为 3 的等差数列，且 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 6 2 3 a s a a a a        ∴a1 = 4 (a1 =－1 舍去）∴an =3n+1 9 分 （Ⅲ） 2 n n n ab  = 3 1 2n n  ， 2 4 7 3 1 2 2 2n n nT      ① 1 2 2 3 1 4 7 3 1 2 2 2n n nT       ② ①--② 得 2 3 1 1 1 1 1 3 12 3( ) 2 2 2 2 2n n n nT         1 1 1 1(1 ) 3 14 22 3 1 21 2 n n n         1 3 3 1 3 74 3 7 2 2 2n n n n n nT           13 7 2 (3 7)5 2 2 2 n n n n n nT        ， (1) 当 n=1、2 时，Tn －523+1ln2－3=23×2×ln2－3=8ln22－3=8ln4－3>8－3>0， 则 h(x)在(3, +)上单调递增，∴ 当 n≥4 时，2n+1－(3n+7)>0 ∴Tn －5>0,∴ Tn >5 综上：当 n≤2, Tn5. 14分 5、解：（I）证明： 2 13 2 ,n n na a a   2 1 1 *2 1 1 2 1 2( ), 1, 3, 2( ). n n n n n n n n a a a a a aa a n N a a                    1n na a  是以 2 1a a 2 为首项，2 为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 * 1 2 ( ),n n na a n N    1 1 2 2 1 1( ) ( ) ... ( )n n n n na a a a a a a a           1 2 *2 2 ... 2 1 2 1( ).n n n n N         （III）证明： 1 2 11 14 4 ...4 ( 1) ,n nb bb b na     1 2( ... )4 2 ,n nb b b nb    1 22[( ... ) ] ,n nb b b n nb      ① 1 2 1 12[( ... ) ( 1)] ( 1) .n n nb b b b n n b         ② ②－①，得 1 12( 1) ( 1) ,n n nb n b nb     ……10 分 即 1( 1) 2 0.n nn b nb    ③ 2 1( 1) 2 0.n nnb n b     ④ ④－③，得 2 12 0,n n nnb nb nb    即 2 12 0,n n nb b b    * 2 1 1 ( ),n n n nb b b b n N        nb 是等差数列. 6、解:(Ⅰ)由      5 4 31 31 bb bb 知 31 ,bb 是方程 0452  xx 的两根,注意到 nn bb 1 得 4,1 31  bb .……2分  431 2 2  bbb 得 22 b . 4,2,1 321  bbb 等比数列. nb 的公比为 2 1 2  b b , 11 1 2   nn n qbb ……4 分 (Ⅱ) .23132log3log 1 22   nnba n nn ……5分 ∵      12211  nnaa nn ……7 分 数列 na 是首相为 3,公差为 1 的等差数列. ……8 分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列 na 是首相为 3,公差为 1 的等差数列,有  32 2 1 aaa …… ma =  321 2 1 aaaa …… 1aam  =   2 3631 2 133 2 2 mmmmmm     ……10 分 4846 a  48 2 36 2    mmm ,整理得 08452  mm ,解得 712  m . ……11 分 m 的最大值是 7. ……12 分 7、.解：(1)设等比数列 na 的公比为 q . 则由等比数列的通项公式 1 1 n na a q  得 3 1 3 1a a q  , 2 8 4, 2 q   又  0, 2 2na q   LL 分 数列 na 的通项公式是  12 2 2 3n n na    分LL .   1 2 3 2 3 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2 n n n a a a a              L L  11 , 2n   6分LL  11, 1 1 7 , 2n n     分Q LL   1 2 3 1 1 1 1 1 8 . na a a a       分L LL             2 1 3 2log 2 1 2 1 9 , 2 1 2 1 1 2 , , n n n n n b n b b n n b                由 分 又 常数 数列 是首项为3,公差为2的等差数列 11分 LL Q LL 数列 nb 的前 100 项和是  100 100 99100 3 2 10200 12 2 S       分LL 9、解：（1） 解法一：由 1 * 1 (2 )2 , ( , 0)n n n na a n N           ，可得 11 1 2 2( ) ( ) 1n nn n n n a a           ………………………………2分 所以 2{ ( ) }nn n a    是首项为 0，公差为 1 的等差数列. 所以 2( ) 1nn n a n      即 *( 1) 2 , ( )n n na n n N    ……………………4 分 解法二：因 1 2a  且 1 1 (2 )2n n n na a        得 2 2 2 2 2 (2 )2 2a          ， 2 2 3 2 3 3 3 ( 2 ) (2 )2 2 2a            ， 3 3 4 3 4 4 4 (2 2 ) (2 )2 3 2a            ， ………………………………………………………… 由此可猜想数列{ }na 的通项公式为： *( 1) 2 , ( )n n na n n N    …………2分 以下用数学归纳法证明： ①当 n=1 时， 1 2a  ，等式成立； ②假设当 n=k 时，有 ( 1) 2k k ka k    成立，那么当 n=k+1 时， 1 1 (2 )2k k k ka a        1[( 1) 2 ] (2 )2k k n kk         1 1( 1 1) 2k kk       成立 所以，对于任意 *n N ，都有 ( 1) 2n n na n    成立……………………4分 （2）解：设 2 3 12 ( 2) ( 1)n n nT n n          ……① 3 4 12 ( 2) ( 1)n n nT n n            ……② 当 1  时，①②得 2 3 4 1(1 ) ( 1)n n nT n              2 1 1(1 ) ( 1) 1 n nn          2 1 1 2 1 2 2 2 ( 1) ( 1) (1 ) 1 (1 ) n n n n n n n nT                        …………6 分 10、解：（Ⅰ）由 1 1 2 a  ， 2 n nS n a ， ① ∴ 2 1 1( 1)n nS n a   ， ② ①－②得： 2 2 1 1( 1)n n n n na S S n a n a      ，即   1 1 2 1 n n a n n a n     ， 4 分 ∵ 1 3 2 1 1 2 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 1 4 3 ( 1) n n n n n n          ， ∴ 1 ( 1)na n n   。 8 分 （Ⅱ）∵ 1n nS n   ，∴  1 2 11 2n n n Sb n S n     ， 10 分 ∴ 1 2n nT b b b    2 2 2 1 1 1 1 2 n n             1 1 1 1 2 2 3 1 n n n               211 1 1 nn n n         ． 故 2 1n nT n   ． 14 分 12、解：（1）由于点 * 1 1 2 2(1, ), (2, ), , ( , ) ( )n nB y B y B n y n N 在直线 1 1 2 y x  上， 则 1 1 2ny n  ， ……1分 因此 1 1 2n ny y   ，所以数列 ny 是等差数列 ……2分 （2）由已知有 1 , 2 n nx x n  ，那么 1 2 ,n nx x n  ……3分 同理 1 2 2( 1),n nx x n    以上两式相减，得 2 2n nx x   ， ……4分 ∴ 1 3 5 2 1, , ,..., ,...nx x x x  成等差数列； 2 4 6 2, , ,..., ,...nx x x x 也成等差数列， ∴ 2 1 1 ( 1) 2 2 2nx x n n a        ， ……5分 2 2 ( 1) 2 (2 ) ( 1) 2 2nx x n a n n a           ……6分 点 2 1 2(2 2,0), (2 ,0)n nA n a A n a    ，则 2 1 2 2(1 )n nA A a   ， 2 2 1 2n nA A a  ， 而 1 1, 2ny n  ∴ 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 1 2 12(1 ) (1 ) (1 ) 2 2n n nn A B A n n nS S a y a y a                 ……8分 （3）由(1)得: 2 2 2 12 2 2 1 2 ( 1) 2n n nn A B A n nS S a y ay a n        ， ……9分 则 2 2 2 1 (1 )( 1)(2 1) 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 2 8n n a a n n a a n n n nS S                  而 2 2 1 0n nS S   ，则 1 8 ( 1)(2 1) n n k T k k    ， ……11分 即 1 1 16 1 116 (2 2)(2 1) 2 1 2 2 n n n k k T k k k k             ∴ 1 1 1 1 1 116 ( ) ( ) ( ) 3 4 5 6 2 1 2 2nT n n             ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 116 ( ) ( ) ( ) 2( ) 3 4 5 6 2 1 2 2 4 6 2 2nT n n n                   ∴ 1 1 1 116 2 3 2 2 2nT n n n            ……12分 由于 1 1 12 2 2 2 ( 2)(2 2)n n n n       ， 而 2 2 2 3 4( 2)(2 2) 2 2 n n nn n         , 则 1 2 ( 2)(2 2) 3 4n n n     , 从而 1 1 4 2 2 2 3 4n n n      , ……13分 同理: 1 1 4 3 2 1 3 4n n n      …… 1 1 4 2 2 2 3 4n n n      以上 1n  个不等式相加得： 1 1 1 4( 1)2( ) 2 3 2 2 3 4 n n n n n           即 1 1 1 2( 1) 2 3 2 2 3 4 n n n n n           ， 从而 2( 1) 1 816 3 4 2 3 4n n nT n n        ……14分 说明：（1）也可由数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 2 1 2 2 2(3 4) n n n n            ； （2）本题也可以求出 nx 的通项公式，由 1 2 ,n nx x n  两边同时除以 1( 1)n ， 11 1 2 ( 1) , ( 1) ( 1) nn n n n x x n        令 ( 1) n n n xb   ，则 1 1 2 ( 1) ,n n nb b n      1 2 1 3 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n nb b b b b b b b b b           ( 2)n  2 3 42[( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1)]n nb a n                ( 2)n  利用错位相减法可求出： 2 2 3 4 ( 1) 1 ( 1) (2 1) 12[( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1)] ( 1) ( 1) 2 2 n n n n nn n                         则 ( 1) (2 1) 1 2 2 n n n ab      ， 则 2 1 ( 1) (1 2 )( 1) 2 n n n n n ax b        ， 1n  时，也符合上式， 则 2 1 ( 1) (1 2 )( 1) 2 n n n n n ax b        对任意正整数 n都成立． 下同上述解法