试卷类型：B
2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位
置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时。请先 用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏
涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式 V= 1
3
Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若集合 A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合 A B=
A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝
2．函数， ( ) lg( 1)f x x 的定义域是
A．(2， ) B．(1, ) C．[1， ) D．[2， )
3．若函数 ( ) 3 3x xf x 与 ( ) 3 3x xg x 的定义域均为 R ，则
A． ( )f x 与 ( )g x 均为偶函数 B． ( )f x 为奇函数， ( )g x 为偶函数
C． ( )f x 与 ( )g x 均为奇函数 D． ( )f x 为偶函数， ( )g x 为奇函数
4．已知数列{ na }为等比数列， nS 是它的
前 n 项和，若 2·a a３ １＝2a ，且 4a 与 72a 的等差
中项为 5
4
，则 S5=
A．35 B．33 C．31 D．29
5．若向量 (1,1)a
r
， (2,5)b
r
， (3, )c x
r
满足条件 (8 ) 30a b c
r r r
，则 x =
A．6 B．5 C．4 D．3
6．若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆O 位
于 y 轴左侧，且与直线 2 0x y 相切，
则圆O 的方程是
A． 2 2( 5) 5x y B． 2 2( 5) 5x y
C． 2 2( 5) 5x y D． 2 2( 5) 5x y
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A． 4
5 B． 3
5 C． 2
5 D． 1
5
8．“ x >0”是“ 3 2x >0”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件]
C．非充分非必要条件 D．充要条件
9．如图 1， ABCV 为正三角形， ' ' '/ / / /AA BB CC ， ' ' ' '3
2CC BB CC AB 平面ABC且3AA ，
则多面体 ' ' 'ABC A B C 的正视图(也称主视图)是（（D）
10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么 d ( )a c
A．a B．b C．c D．d
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满
分 20 分．
（一）必做题(11～13 题)
11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，
对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4 位居民的
月均用水量分别为 1x ，…， 4x (单位：吨)．根据图 2 所示的程序框
图，若 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，分别为 1，1.5 ，1.5， 2 ，则输出的结
果 s 为 1.5 .
12．某市居民 2005～2009 年家庭年平均收入 x（单位：万元）与年平均支出 Y（单位：万元）
的统计资料如下表所示：
年份 2005 2006 2007 2008 2009
收入 x 11.5 12.1 13 13.3 15
支出 Y 6.8 8.8 9.8 10 12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有
正 线性相关关系.
13．已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，b= 3 ，A+C=2B，则
sinA= 0.5 .
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB，
CB⊥AB，AB=AD=a，CD=
2
a ，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，
则 EF= 0.5a .
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ， ）（ 0 2 ＜ ）
中，曲线 cos sin 1 与 sin cos 1 的交点的极坐
标为 (1,
2
) . w
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分 14 分）
设函数 3sin 6f x x
， 0＞ ， ,x ，且以
2
为最小正周期．
（1）求 0f ； （2）求 f x 的解析式；
（3）已知 9
4 12 5f
，求sin 的值．
17．（本小题满分 12 分）
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视
观众，相关的数据如下表所示：
（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在
收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽取几名？
（3）在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率。
18.(本小题满分 14 分)
如图 4，¼AEC 是半径为 a 的半 圆，AC 为直径，点 E 为 »AC
的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一
点 F 满足 FC 平面 BED ， FB = 5a .
（1）证明： EB FD ；
（2）求点 B 到平面 FED 的距离.
19.（本小题满分 12 分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，
6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单
位的蛋白质和 10 个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳
水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素C .
如果一个单 位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，
并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
20.（本小题满分 14 分）
已知函数 ( )f x 对任意实数 x 均有 ( ) ( 2)f x kf x ，其中常数 k 为负数，且 ( )f x 在区间 0,2
上有表达式 ( ) ( 2)f x x x .
（1） 求 ( 1)f ， (2.5)f
（2） 的值；
（2）写出 ( )f x 在 3,3 上的表达式，并讨论函数 ( )f x 在 3,3 上的单调性；
（3）求出 ( )f x 在 3,3 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
21.（本小题满分 14 分）已知曲线 2
nC y nx： ，点 ( , )( 0, 0)n n n n nP x y x y 是曲线 nC 上的
点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线 nC 在点 nP 处的切线 nl 的方程，并求出 nl 与 y 轴的交点 nQ 的坐标；
（2）若原点 (0,0)O 到 nl 的距离与线段 n nP Q 的长度之比取得最大值，试求试点 nP 的坐标
( ,n nx y )；
（3）设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数， nx 与 ny 是满足（2）中条件的点 nP 的坐标，
证明：
1
( 1) ( 1)2
s
n
n
n
m x k y ms ks
( 1,2, )s …
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