高中数学易错知识点梳理

高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合 A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x｜,y},且 A=B,则 x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合 M={y｜y=x2 ,x∈ R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求 M∩N；与集合 M={（x,y）｜y=x2 ,x∈R},N={(x,y)｜y=x2+1,x ∈R}求 M∩N 的区别。 3． 集合 A、B，  BA 时，你是否注意到“极端”情况： A 或 B ；求集合的 子集 BA  时是否忘记  . 例如：     01222 2  xaxa 对一切 Rx  恒成 立，求 a 的取植范围，你讨论了 a＝2 的情况了吗？ 4． 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为 ，n2 ，12 n ，12 n .22 n 如满足条件 }4,3,2,1{}1{  M 的集合 M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞 中的一项,其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个 唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。 },14{},,12{ ZkkxxNZkkxxM  7． (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)； BBA  AB  ； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且 q P 或 q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ 10、你对映射的概念了解了吗？映射 f：A→B 中，A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素 的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数  xfy  对于一切 Rx  ，都有    xafxaf  或 f（2a-x）=f（x）， 那么函数  xfy  的图象关于直线 ax  对称. ②函数  xfy  与函数  xfy  的图象关于直线 0x 对称； 函数  xfy  与函数  xfy  的图象关于直线 0y 对称； 函数  xfy  与函数  xfy  的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数  xfy  在区间  ,0 上是递增函数，则  xfy  在区间  0, 上也是 递增函数． ④若偶函数  xfy  在区间  ,0 上是递增函数，则  xfy  在区间  0, 上是递 减函数． ⑤函数  axfy  )0( a 的图象是把函数  xfy  的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位 得到的；函数  axfy  ( )0( a 的图象是把函数  xfy  的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的； 函数  xfy  +a )0( a 的图象是把函数  xfy  助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得 到的;函数  xfy  +a )0( a 的图象是把函数  xfy  助图象沿 y 轴向下平移 a 个 单位得到的. 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数 y= 2)3lg( )4(   x xx 的定义域是 ； 复合函数的定义域弄清了吗？函数 )(xf 的定义域是[0,1],求 )(log 5.0 xf 的定义域. 函数 )(xf 的定义域是[ ba, ], ,0 ab 求函数 )()()( xfxfxF  的定义域 14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数 y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值 为 m, 求 m 的表达 15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 C,则 ①若 a∈A,则 a=f-1 [f(a)]; 若 b∈C,则 b=f[f-1 (b)]; ②若 p∈C,求 f-1 (p)就是令 p=f(x),求 x.(x∈A) 即     .bf1 abaf  互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称, 16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数  xfy  在区间 aa, 上单调递增， 则一定存在反函数，且反函数  xfy 1 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不 一定单调． 17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分 条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一 个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导 数也是判定函数单调性的一种重要方法。 19、你知道函数  0 ax axy 的单调区间吗？（该函数在  a , 和  ,a 上单 调递增；在  0,a 和  a,0 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零 且不等于 1）字母底数还需讨论呀. 21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（ bba bb a n a c c a n loglog,log loglog  ） 22、你还记得对数恒等式吗？（ ba ba log ） 23、 “实系数一元二次方程 02  cbxax 有实数解”转化为“ 042  acb ”，你 是否注意到必须 0a ；当 a=0 时，“方程有解”不能转化为 042  acb ．若原 题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情 形？ 二、三角、不等式 24、 三 角 公 式 记 住 了 吗 ？ 两 角 和 与 差 的 公 式 ________________ ； 二 倍 角 公 式 :_________________ 万 能 公 式 ______________ 正 切 半 角 公 式 ____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特 征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定 义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 26、 在三角中，你知道 1 等于什么吗？（ xxxx 2222 tanseccossin1   0cos2sin4tancottan xx 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种 代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试： 奇变偶不变，符号看象限） 27、 在 三 角 的 恒 等 变 形 中 ， 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 ． （ 如 ,)(   ,)(               222 等） 28、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函 数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 29、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特 殊 角 . 异 角 化 同 角 ， 异 名 化 同 名 ， 高 次 化 低 次 ） ； 你 还 记 得 降 幂 公 式 吗 ？ cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （ 4 1518sin,4 2615cos75sin,4 2675cos15sin  ） 31、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( lrSrl 2 1,  扇形 ) 32、 辅助角公式：   xbaxbxa sincossin 22 (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 a btan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、 对称轴，取最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 kZ） 三角函数性质要记牢。函数 y=  )sin(  xA k 的图象及性质： 振幅|A|，周期 T=  2 , 若 x=x0 为此函数的对称轴，则 x0 是使 y 取到最值的点，反之亦然， 使 y 取到最值的 x 的集合为——————————， 当 0,0  A 时函数的增区间为 ————— ，减区间为—————；当 0 时要利用诱导公式将 变为大于零后再用 上面的结论。 五点作图法：令  x 依次为  2,2 3,,20 求出 x 与 y，依点  yx, 作图 34、三角函数图像变换还记得吗？ 平移公式 （1）如果点 P（x，y）按向量  kha ,  平移至 P′（x′，y′），则      . , ' ' kyy hxx （2） 曲线 f（x，y）=0 沿向量  kha ,  平移后的方程为 f（x-h，y-k）=0 35、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 36、 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它 们各自的取值范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是 ],0[],2,0[,2,0      . ②直线的倾斜角、 1l 到 2l 的角、 1l 与 2l 的夹角的取值范围依次是 ]2,0(),,0[),,0[  ． ③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是 )2,2(],,0[],2,2[   ． 37、 同向不等式能相减，相除吗？ 38、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 39、 分式不等式      0 aaxg xf 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解 因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大 于零.） 41、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 42、 利用重要不等式 abba 2 以及变式 2 2       baab 等求函数的最值时，你是 否注意到 a，b  R （或 a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积 ab 或和 a＋b 其 中之一应是定值？(一正二定三相等) 43、 ) Rb , (a , ba 2ab 22 22  abbaba (当且仅当 cba  时，取等号）； a、b、cR， cabcabcba  222 （当且仅当 cba  时，取等号）； 44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底 10  a 或 1a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关 键．” 46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列 47、 等差数列中的重要性质：（1）若 qpnm  ，则 qpnm aaaa  ；（2） 仍成等差数列数列 }{ka },{a },{ n2n12 ba n  ； 仍成等差数列n23nn2nn SS , SS , S  （3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a- d2 3 、a- d2 1 、a+ d2 1 、 a+ d2 3 ； （4）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正 (负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当 a1 >0,d