如皋中学高三考前指导压题卷及答案

江苏省如皋中学 2010 届高三考前指导最后一卷(压题卷) （参考部分名校的最后一卷） 1 ． ( 填 空 题 压 轴 题 : 考 查 分 段 函 数 的 单 调 性 , 字 母 运 算 等 ) 已 知 函 数 f(x)= 3 (2 1) 3 4, , a x a x t x x x t        ，无论 t取何值，函数 f(x)在区间(-∞，+∞)总是不单调．则 a的取值范围是___________ 答案: 1 2 a  2.(三角与向量:考查两角和与差的三角公式,解三角形,三角与向量数量积) 设 ABC 的三个内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，且满 (2 ) 0a c BC BA cCA CB         . （Ⅰ）求角 B的大小； （Ⅱ）若 2 3b  ，试求 AB CB   的最小值. 答案: 2 , 2 3 B    3. (立体几何:考查垂直与平行的判断)如图，在四棱锥 P ABCD 中， 平面 PAD 平面 ABCD， AB DC∥ ， PAD△ 是等边三角形，已知 4AD  ， 4 3BD  ， 2 8AB CD  ． （Ⅰ）设M 是 PC上的一点，证明：平面MBD 平面 PAD； （Ⅱ）当M 点位于线段 PC什么位置时， PA∥平面MBD？ 证明：（Ⅰ）在 ABD△ 中， ∵ 4AD  ， 4 3BD  ， 8AB  ，∴ 2 2 2AD BD AB  ． ∴ AD BD ． 又 ∵平面 PAD 平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD AD ， BD 平面 ABCD， ∴ BD 平面 PAD． 又 BD 平面MBD， ∴平面MBD 平面 PAD． （Ⅱ）当M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时， PA∥平面MBD． 证明如下：连接 AC，交 BD于点 N，连接 MN． ∵ AB DC∥ ，所以四边形 ABCD是梯形． ∵ 2AB CD ，∴ : 1: 2CN NA ． 又 ∵ : 1: 2CM MP  ，∴ :CN NA  :CM MP，∴ PA∥MN． ∵MN 平面MBD，∴ PA∥平面MBD . A B C M P D 4.(解几:考查椭圆的有关几何性质,直线与圆的位置关系,曲线的轨迹,存在性问题与定值问 题等)已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a b a b     和圆O： 2 2 2x y b  ，过椭圆上一点 P引圆O的 两条切线，切点分别为 ,A B． （1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 e的值； （ⅱ）若椭圆上存在点 P，使得 90APB   ，求椭圆离心率 e的取值范围； （2）设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M ， N ，问当点 P 在椭圆上运动时， 2 2 2 2 a b ON OM  是否为定值？请证明你的结论． 解：（1）（ⅰ）∵ 圆O过椭圆的焦点，圆O： 2 2 2x y b  ，∴ b c ， ∴ 2 2 2 2b a c c   ， 2 22a c ，∴ 2 2 e  ． （ⅱ）由 90APB  及圆的性质，可得 2OP b ，∴ 2 2 22 ,OP b a  ∴ 2 22a c ∴ 2 1 2 e  ， 2 1 2 e  ． （2）设 0      0 0 1 1 2 2, , , , ,P x y A x y B x y ，则 0 1 1 0 1 1 y y x x x y     , 整理得 2 2 0 0 1 1x x y y x y   2 2 2 1 1x y b  ∴ PA方程为： 2 1 1x x y y b  ， PB方程为： 2 2 2x x y y b  ． 从而直线 AB 的方程为： 2 0 0x x y y b  ．令 0x  ，得 2 0 bON y y   ，令 0y  ， 得 2 0 bOM x x   ，∴ 2 2 2 22 2 2 2 2 0 0 2 2 4 4 2 a y b xa b a b a b b bON OM      ，∴ 2 2 2 2 a b ON OM  为 定值，定值是 2 2 a b . 5.(解几备选)已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的左、右焦点分别是 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，Q是椭 圆外的动点，满足 1| | 2 .FQ a  点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满 足 2 20,| | 0PT TF TF      ． （Ⅰ）设 x为点 P 的横坐标，证明 1| | cF P a x a    ； （Ⅱ）求点 T的轨迹 C的方程； （Ⅲ）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使△F1MF2的面积 S= .2b 若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由． 解 （ Ⅰ ） 设 点 P 的 坐 标 为 （ x,y ） , 由 P （ x,y ） 在 椭 圆 上 ， 得 2 2 2 2 2 2 1 2| | ( ) ( ) bF P x c y x c b x a         2( ) .ca x a   又由 ,x a  知 0ca x c a a      ， 所以 1| | .cF P a x a    （Ⅱ） 当 0|| PT 时，点（ a，0）和点（－ a，0）在轨迹上． 当 | | 0PT   且 2| | 0TF   时，由 2| | | | 0PT TF    ，得 2PT TF   ． 又 2| | | |PQ PF   ，所以 T为线段 F2Q的中点． 在△QF1F2中， 1 1| | | | 2 OT FQ a    ，所以有 2 2 2.x y a  综上所述，点 T的轨迹 C的方程是 2 2 2.x y a  （Ⅲ） C上存在点M（ 00 , yx ）使 S= 2b 的充要条件是 2 2 2 0 0 2 0 , 1 2 | | . 2 x y a c y b        ③ ④ 由③得 ay || 0 ，由④得 .|| 2 0 c by  所以，当 c ba 2  时，存在点M，使 S= 2b ；当 c ba 2  时，不存在满足条件的点M． 当 c ba 2  时， 1 0 0 2 0 0( , ), ( , )MF c x y MF c x y         ， 由 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0MF MF x c y a c b         ， 1 2 1 2 1 2| | | | cosMF MF MF MF FMF        ， 2 1 2 1 2 1 | | | | sin 2 S MF MF FMF b      ，得 .2tan 21  MFF 6.(应用题)已知某种稀有矿石的价值 y （单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正 比，且3克该种矿石的价值为54000元。 ⑴写出 y（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率； ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。 （注：价值损失的百分率 100%   原有价值 现有价值 原有价值 ；在切割过程中的重量损耗忽略 不计） 解⑴依题意设 2 ( 0)y k   ，又当 3  时， 54000y  ，∴ 6000k  ， 故 26000 ( 0)y    。 ⑵设这块矿石的重量为 a克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值 为 2 21 36000( ) 6000( ) 4 4 a a ，价值损失为 2 2 21 36000 (6000( ) 6000( ) ) 4 4 a a a  ， 价值损失的百分率为 2 2 2 2 1 36000 [6000( ) 6000( ) ] 4 4 100% 37.5% 6000 a a a a     。 ⑶解法 1：若把一块该种矿石按重量比为 :m n切割成两块，价值损失的百分率应为 2 2 2 21 [( ) ( ) ] ( ) m n mn m n m n m n       ，又 2 2 2 2 ( )2 12 ( ) ( ) 2 m n mn m n m n       ，当且仅当m n 时 取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。 解法 2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为 :1x ，则价值损失的百分率为 2 2 2 1 21 [( ) ( ) ] 1 1 2 1 x x x x x x        ，又 0x  ，∴ 2 1 2x x  ， 故 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x x x x x      ，等号当且仅当 1x  时成立。 答：⑴函数关系式 26000 ( 0)y    ； ⑵价值损失的百分率为37.5%； ⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。 7.(数列压轴题)已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为 10，公差为－2的等差数 列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对 任意的 n∈N*，均有 an＋2m＝an成立． （1）当 m＝12时，求 a2010； （2）若 a52＝ 1 128 ，试求 m的值； （3）判断是否存在 m（m≥3，m∈N*），使得 S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出 m的值； 若不存在，请说明理由． 解（1）m＝12时，数列的周期为 24． ∵2010＝24×83＋18，而 a18是等比数列中的项， ∴a2010＝a18＝a12＋6＝ 61 1( ) 2 64  ． （2）设 am＋k是第一个周期中等比数列中的第 k项，则 am＋k＝ 1( ) 2 k ． ∵ 71 1( ) 128 2  ，∴等比数列中至少有 7项，即 m≥7，则一个周期中至少有 14项． ∴a52最多是第三个周期中的项． 若 a52是第一个周期中的项，则 a52＝am＋7＝ 1 128 ． ∴m＝52－7＝45； 若 a52是第二个周期中的项，则 a52＝a3m＋7＝ 1 128 ．∴3m＝45，m＝15； 若 a52是第三个周期中的项，则 a52＝a5m＋7＝ 1 128 ．∴5m＝45，m＝9； 综上，m＝45，或 15，或 9． （3）2m是此数列的周期， ∴S128m＋3表示 64个周期及等差数列的前 3项之和． ∴S2m最大时，S128m＋3最大． ∵S2m＝ 2 2 1 1[1 ( ) ]( 1) 1 11 125 12 210 ( 2) 11 1 ( ) 12 2 2 4 21 2 m m m mmm m m m               ， 当 m＝6时，S2m＝31－ 1 64 ＝ 6330 64 ； 当 m≤5时，S2m＜ 6330 64 ； 当 m≤7时，S2m＜ 211 125(7 ) 2 4    ＝29＜ 6330 64 ． ∴当 m＝6时，S2m取得最大值，则 S128m＋3取得最大值为 64× 6330 64 ＋24＝2007． 由此可知，不存在 m（m≥3，m∈N*），使得 S128m＋3≥2010成立． 8.(数列压轴题备选)已知数列 }{ na 的通项公式是 12  n na ，数列 }{ nb 是等差数列，令 集合 },,,,{ 21  naaaA  ， },,,,{ 21  nbbbB  ， *Nn ．将集合 BA 中的元素按 从小到大的顺序排列构成的数列记为 }{ nc ． （1）若 ncn  ， *Nn ，求数列 }{ nb 的通项公式； （2）若 BA ，数列 }{ nc 的前 5项成等比数列，且 11 c ， 89 c ，求满足 4 51  n n c c 的正整数 n的个数． 答案: (1) nb n 或 1n  或 2n  (2)分类讨论:数列 1 2 3 4 5 9{ } , , , , , ,nc c c c c c c 若 2 2c  ; 3 2c  ; 4 2c  ; 5 2c  . 只有 3 2c  满足,数列{ }nc 为 1, 2,2,2 2,4,4 2, , 2nb n . 满足 4 51  n n c c 的 n的值为 1,2,3,4,6共 5个. 9.(函数压轴题:)已知函数    | | 2 0, 1x xf x a a a a     ， （1）若 1a  ，且关于 x的方程  f x m 有两个不同的正数解，求实数m的取值范围； （2）记函数      , 2,g x f x x     ，若  g x 的最值与 a无关，求 a的取值范围． 解：(1)令 xa t ， 0x  ，因为 1a  ，所以 1t  ，所以关于 x的方程  f x m 有两个不同 的正数解等价于关于 t的方程 2t m t   有相异的且均大于 1 的两根，即 关于 t的方程 2 2 0t mt   有相异的且均大于 1的两根， 所以 2 2 8 0, 1, 2 1 2 0 m m m             ， 解得 2 2 3m  ，故实数m的取值范围为区间 (2 2,3) . (2) | |( ) 2 , [ 2, )x xg x a a x     ①当 1a  时， a) 0x  时， 1xa  ， ( ) 3 xg x a ，所以 ( ) [3, )g x   ， b) 2 0x   时， 2 1 1xa a   ( ) 2x xg x a a  ，所以  22 1 '( ) ln 2 ln ln x x x x a g x a a a a a a       ⅰ当 2 1 1 2a  即 41 2a  时，对 ( 2,0)x   ， '( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在[ 2,0) 上递增， 所以 2 2 2( ) [ ,3)g x a a   ，综合 a) b) ( )g x 有最小值为 2 2 2a a  与 a有关，不符合 ⅱ当 2 1 1 2a  即 4 2a  时，由 '( ) 0g x  得 1 log 2 2 ax   ，且当 12 log 2 2 ax    时， '( ) 0g x  ，当 1 log 2 0 2 a x   时， '( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 1[ 2, log 2] 2 a  上递减，在 1[ log 2,0] 2 a 上递增，所以 min 1( ) log 2 2 ag x g        2 2，综合 a) b) ( )g x 有最小值为 2 2与 a无关，符合要求． ②当 0 1a  时， a) 0x  时， 0 1xa  ， ( ) 3 xg x a ，所以 ( ) (0,3]g x  b) 2 0x   时， 2 11 xa a   ， ( ) 2x xg x a a  ， 所以  22 1 '( ) ln 2 ln ln x x x x a g x a a a a a a       0 ， ( )g x 在[ 2,0) 上递减， 所以 2 2 2( ) (3, ]g x a a   ，综合 a) b) ( )g x 有最大值为 2 2 2a a  与 a有关，不符合 综上所述，实数 a的取值范围是 4 2a  ． 附加题 22,23 10. 22(空间向量) 11.已知斜三棱柱 1 1 1, 90 ,ABC ABC BCA AC BC    ，， 1A在底面 ABC上的射影恰为 AC 的 中点 D，又知 1 1BA AC 。 （I）求证： 1AC 平面 1A BC； （II）求求二面角 1A A B C  余弦值的大小 【解】（I）如图，取 AB的中点 E，则 //DE BC，因为BC AC ， 所以DE AC ，又 1AD  平面 ABC， 以 1, ,DE DC DA 为 , ,x y z轴建立空间坐标系， 则  0, 1,0A  ，  0,1,0C ，  2,1,0B ，  1 0,0,A t ，  1 0,2,C t ，  1 0,3,AC t  ，  1 2, 1,BA t    ，  2,0,0CB   ，由 1 0AC CB    ，知 1AC CB ， 又 1 1BA AC ，从而 1AC  平面 1A BC； （II）由 1AC   2 1 3 0BA t     ，得 3t  。 设平面 1A AB的法向量为  , ,n x y z  ，  1 0,1, 3AA   ，  2,2,0AB   ，所以 1 3 0 2 2 0 n AA y z n AB x y               ，设 1z  ，则  3, 3,1n    所以点 1C 到平面 1A AB的距离 1| | 2 21 7| | AC nd n      。 （III）再设平面 1A BC的法向量为  , ,m x y z  ，  1 0, 1, 3CA    ，  2,0,0CB   ， 所以 1 3 0 2 0 m CA y z m CB x               ，设 1z  ，则  0, 3,1m   ， 故 7cos , 7| | m nm n m n           ，根据法向量的方向， 可知二面角 1A A B C  的余弦值大小为 7 7 11.（考查:排列组合,数学归纳法,概率等）用 , , ,a b c d 四个不同字母组成一个含 1n *)( Nn 个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个 字母不同. 例如 1n 时，排出的字符串是 , ,ab ac ad； 2n 时排出的字符串是 , , , , , , , ,aba abc abd aca acb acd ada adb adc，……， 如图 所示.记这含 1n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的 字母仍是 a的字符串的种数为 na . （1）试用数学归纳法证明： *3 3( 1) ( , 1) 4 N n n na n n     ； （2）现从 , , ,a b c d 四个字母组成的含 *1( , 2)Nn n n   个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一 个的字母恰好是 a的概率为 P，求证： 2 1 9 3 P  . a b c d n=1 a b c d n=2 a c d a b d a b c 解（1）：证明： （ⅰ）当 1n  时，因为 1 0a  ， 3 3( 1) 0 4    ，所以等式正确. （ⅱ）假设 n k 时，等式正确，即 *3 3( 1) ( , 1) 4 N k k ka k k     ， 那么， 1n k  时，因为 1 1 1 3 3( 1) 4 3 3 3( 1) 3 3( 1)3 3 4 4 4 k k k k k k k k k k ka a                  ， 这说明 1n k  时等式仍正确. 据（ⅰ），（ⅱ）可知， *3 3( 1) ( , 1) 4 N n n na n n     正确. （2）易知 1 3 3( 1) 1 3( 1)[1 ] 4 3 4 3 n n n n nP        ， ①当 n为奇数（ 3n  ）时， 1 3(1 ) 4 3n P   ，因为3 27n  ，所以 1 3 2(1 ) 4 27 9 P    ，又 1 3 1(1 ) 4 3 4nP    ，所以 2 1 9 4 P  ； ②当 n为偶数（ 2n  ）时， 1 3(1 ) 4 3n P   ，因为 3 9n  ，所以 1 3 1(1 ) 4 9 3 P    ，又 1 3 1(1 ) 4 3 4nP    ，所以 1 1 4 3 P  .综上所述， 2 1 9 3 P  .