海淀区高三二模数学试题及答案（理科）

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2010.5 审核：陈亮 校对：张浩 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．已知集合  0A x x  ， {0,1,2}B  ，则 A． A B B． B A C． A B B D． A B   2．函数 ( ) sin(2 )3f x x   图象的对称轴方程可以为 A． 12x  B． 5 12x  C． 3x  D． 6x  3．如图， CD 是⊙O 的直径， AE 切⊙O 于点 B ， 连接 DB ，若 20D   ，则 DBE 的大小为 A. 20 B. 40 C. 60 D. 70 4．函数 ( ) 2 lnf x x x   在定义域内零点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知不等式组 0 2, 2 0, 2 0 x x y kx y           所表示的平面区域的面积为 4，则 k 的值为 A．1 B． 3 C．1或 3 D．0 6．已知 m ， n 是不同的直线， ，  是不同的平面，则下列条件能 使 n  成立的是 A．  ， m  B． //  ， m  C．  ， //n  D． //m  ， n m 7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M 处条件为 A． 16k  B． 8k  C． 16k  D． 8k  8．已知动圆 C 经过点 F (0，1),并且与直线 1y   相切，若直线 3 4 20 0x y   与圆 C 有公共点，则圆 C 的面积 A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 4 D．有最小值为 4 开始 S=0 M S=S+k 2k k  结束 输出 S 是 否 k=1 A EB C O D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．在极坐标系中，若点 0( , )3A  ( 0 0  )是曲线 2cos  上的一点，则 0  . 10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙 两班各随机抽取了 5 名学生的学分，用茎叶图表示（如 右图）. 1s ， 2s 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的 标准差，则 1s 2s .（填“  ”、“  ”或“＝”） 11．已知向量 a= )0,1( ，b= )1,(x ，若 a b 2 ，则 x  ； a b  . 12. 已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 2n n na a   （ nN * ），则 9 10a a 的值为 . 13．在 ABC 中，角 A , B ,C 所对应的边分别为 a , b , c ，若 sina c A ，则 a b c  的最大值为 . 14．给定集合 {1,2,3,..., }nA n ，映射 : n nf A A 满足： ①当 , ,ni j A i j  时， ( ) ( )f i f j ； ②任取 ,nm A 若 2m  ，则有 m { (1), (2),.., ( )}f f f m . .则称映射 f ： n nA A 是一个“优映射”.例如：用表 1 表示的映射 f ： 3 3A A 是一个“优映射”. 表 1 表 2 （1）已知表 2 表示的映射 f ： 4 4A A 是一个优映射，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条 件的映射）； （2）若映射 f ： 10 10A A 是“优映射”，且方程 ( )f i i 的解恰有 6 个，则这样的“优映射”的个 数是_____. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分 13 分） 记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 2 4 46, 10a a S   . （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）令 2n n nb a  *( N )n ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT . i 1 2 3 ( )f i 2 3 1 i 1 2 3 4 ( )f i 3 16．（本小题满分 14 分） 已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA ABCD 底面 ，其中 2 2 6BC AB PA   ，M N, 为侧棱 PC 上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证： //AN MBD平面 ； （Ⅱ）求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角 M BD C  的余弦值. 17．（本小题满分 13 分） 为保护水资源，宣传节约用水，某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每 名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求 4 人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为 X ，试求 X 的分布列及期望． 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) (2 )e axf x ax x  ，其中 a 为常数，且 0a  . （Ⅰ）若 1a  ，求函数 ( )f x 的极值点； （Ⅱ）若函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上单调递减，求实数 a 的取值范围. 19．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 1C 和抛物线 2C 有公共焦点 F(1,0), 1C 的中心和 2C 的顶点都在坐标原点，过点 M（4，0）的 直线 l 与抛物线 2C 分别相交于 A,B 两点. （Ⅰ）写出抛物线 2C 的标准方程； （Ⅱ）若 1 2AM MB  ，求直线 l 的方程； （Ⅲ）若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 2C 上，直线l 与椭圆 1C 有公共点，求椭圆 1C 的长 轴长的最小值. P A B C D M N 20．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( )f x 的图象在[ , ]a b 上连续不断，定义： 1( ) min{ ( ) | }f x f t a t x   ( [ , ])x a b ， 2 ( ) max{ ( ) | }f x f t a t x   ( [ , ])x a b ． 其中，min{ ( ) | }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最小值，max{ ( ) | }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最 大值．若存在最小正整数 k ，使得 2 1( ) ( ) ( )f x f x k x a   对任意的 [ , ]x a b 成立，则称函数 ( )f x 为[ , ]a b 上 的“ k 阶收缩函数”． （Ⅰ）若 ( ) cosf x x ， [0, ]x  ，试写出 1( )f x ， 2 ( )f x 的表达式； （Ⅱ）已知函数 2( )f x x ， [ 1,4]x  ，试判断 ( )f x 是否为[ 1,4] 上的“ k 阶收缩函数”，如果是，求出 对应的 k ；如果不是，请说明理由； （Ⅲ）已知 0b  ，函数 3 2( ) 3f x x x   是[0, ]b 上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 2010．5 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、 填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 9．1 10．  11．2 ； 10 12．48 13． 2 14． ；84. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d，由 2 4 46, 10a a S   ， 可得 1 1 2 4 6 4 34 102 a d a d     ， ………………………2 分 即 1 1 2 3 2 3 5 a d a d      ， 解得 1 1 1 a d    ， ………………………4 分 ∴  1 1 1 ( 1)na a n d n n       ， 故所求等差数列 na 的通项公式为 na n . ………………………5 分 （Ⅱ）依题意， 2 2n n n nb a n    ， ∴ 1 2n nT b b b    2 3 11 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n nn n            ， ………………………7 分 又 2 nT  2 3 4 11 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n nn n            ， …………………9 分 两式相减得 2 3 1 1(2 2 2 2 2 ) 2n n n nT n          ………………………11 分   12 1 2 21 2 n nn     1(1 ) 2 2nn     ， ………………………12 分 ∴ 1( 1) 2 2n nT n     . ………………………13 分 16．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OM ， ABCD底面 为矩形 ， O AC 为 中点， ………… 1 分 M N PC 、 为侧棱 的三等分点， CM MN  ， //OM AN ， ………… 3 分 ,OM MBD AN MBD  平面 平面 ， / /AN MBD 平面 . ………… 4 分 （Ⅱ）如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A xyz ， 则 (0,0,0)A ， (3,0,0)B ， (3,6,0)C ， (0,6,0)D ， (0,0,3)P ， (2,4,1)M ， (1,2,2)N , (1,2,2), (0,6, 3)AN PD     , ………………………5 分 0 12 6 2 5cos , 153 3 5 AN PDAN PD AN PD              , ………………………7 分 异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值为 2 5 15 . ………………………8 分 （Ⅲ）侧棱 PA ABCD 底面 , (0,0,3)BCD AP 平面 的一个法向量为 , ………………………9 分 设 MBD平面 的法向量为 ( , , )x y zm , ( 3,6,0), ( 1,4,1)BD BM      ，并且 ,BD BM   m m , 3 6 0 4 0 x y x y z       ，令 1y  得 2x  ， 2z   ,  MBD平面 的一个法向量为 (2,1, 2) m . ………………………11 分 P A B C D M N z y x P A B C D M N O 2cos , 3 APAP AP       mm m , ………………………13 分 由图可知二面角 M BD C  的大小是锐角, 二面角 M BD C  大小的余弦值为 2 3 . .………………………14 分 17． （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设“4 人恰好选择了同一家公园”为事件 A. ………………1 分 每名志愿者都有 3 种选择，4 名志愿者的选择共有 43 种等可能的情况. …………………2 分 事件 A 所包含的等可能事件的个数为 3， …………………3 分 所以，   4 3 1 3 27P A   . 即：4 人恰好选择了同一家公园的概率为 1 27 . ………………5 分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件 C，则   1 3P C  . .………………………6 分 4 人中选择甲公园的人数 X 可看作 4 次独立重复试验中事件 C 发生的次数，因此，随机变量 X 服从二 项分布. X 可取的值为 0，1，2，3，4. .………………………8 分   4 4 1 2( ) ( )3 3 i i iP X i C   ， 0,1,2,3,4i  . .………………………10 分 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 .………………………12 分 X 的期望为   1 44 3 3E X    ． .………………………13 分 18.（本小题满分 13 分） 解法一：（Ⅰ）依题意得 2( ) (2 )e xf x x x  ，所以 2( ) (2 )e xf x x   ， .………………………1 分 令 ( ) 0f x  ，得 2x   ， .………………………2 分 ( )f x ， ( )f x 随 x 的变化情况入下表： x ( , 2)  2 ( 2, 2) 2 ( 2, ) ( )f x － 0 + 0 － ( )f x  极小值  极大值  ………………………4 分 由上表可知， 2x   是函数 ( )f x 的极小值点， 2x  是函数 ( )f x 的极大值点. ………………………5 分 （Ⅱ） 2 2( ) [ (2 2) 2 ]e axf x ax a x a      , .………………………6 分 由函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上单调递减可知： ( ) 0f x  对任意 ( 2,2)x 恒成立， .………………………7 分 当 0a  时， ( ) 2f x x   ，显然 ( ) 0f x  对任意 ( 2,2)x 恒成立； .…………………8 分 当 0a  时， ( ) 0f x  等价于 2 2(2 2) 2 0ax a x a    ， 因为 ( 2,2)x ，不等式 2 2(2 2) 2 0ax a x a    等价于 22 2 2ax x a   , .………………………9 分 令 2( ) , [ 2,2]g x x xx    ， 则 2 2( ) 1g x x    ，在[ 2,2] 上显然有 ( ) 0g x  恒成立，所以函数 ( )g x 在[ 2,2] 单调递增， 所以 ( )g x 在[ 2,2] 上的最小值为 ( 2) 0g  ， .………………………11 分 由于 ( ) 0f x  对任意 ( 2,2)x 恒成立等价于 22 2 2ax x a   对任意 ( 2,2)x 恒成立， 需且只需 2 min 2 2( ) ag x a  ，即 22 20 a a  ，解得 1 1a   ，因为 0a  ，所以 0 1a  . 综合上述，若函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 0 1a  . .………………………13 分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ） 2 2( ) [ (2 2) 2 ]e axf x ax a x a      , .………………………6 分 由函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上单调递减可知： ( ) 0f x  对任意 ( 2,2)x 恒成立， 即 2 2(2 2) 2 0ax a x a    对任意 ( 2,2)x 恒成立， …………………7 分 当 0a  时， ( ) 2f x x   ，显然 ( ) 0f x  对任意 ( 2,2)x 恒成立； …………………8 分 当 0a  时，令 2 2( ) (2 2) 2h x ax a x a    ，则函数 ( )h x 图象的对称轴为 2 1ax a  ， .………………………9 分 若 2 1 0a a   ，即 0 1a  时，函数 ( )h x 在 (0, ) 单调递增，要使 ( ) 0h x  对任意 ( 2,2)x 恒成 立，需且只需 ( 2) 0h  ，解得 1 1a   ，所以 0 1a  ; ..………………………11 分 若 2 1 0a a   ，即 1a  时，由于函数 ( )h x 的图象是连续不间断的，假如 ( ) 0h x  对任意 ( 2,2)x 恒成立，则有 ( 2) 0h  ，解得 1 1a   ，与 1a  矛盾，所以 ( ) 0h x  不能对任意 ( 2,2)x 恒成立. 综合上述，若函数 ( )f x 在区间 ( 2,2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 0 1a  . .………………………13 分 19．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由题意，抛物线 2C 的方程为： 2 4y x ， …………2 分 （Ⅱ）设直线 AB 的方程为： ( 4), ( 0)y k x k k  存在且 . 联立 2 ( 4) 4 y k x y x     ，消去 x ，得 2 4 16 0ky y k   ， ………………3 分 显然 216 64 0k    ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 4y y k   ① 1 2 16y y   ② …………………4 分 又 1 2AM MB  ，所以 1 2 1 2y y  ③ …………………5 分 由①② ③消去 1 2,y y ，得 2 2k  ， 故直线 l 的方程为 2 4 2,y x  或 2 4 2y x   . …………………6 分 （Ⅲ）设 ( , )P m n ，则 OP 中点为 ( , )2 2 m n ， 因为 O P、 两点关于直线 ( 4)y k x  对称， 所以 ( 4)2 2 1 n mk n km        ，即 8 0 km n k m nk      ，解之得 2 2 2 8 1 8 1 km k kn k        ， …………………8 分 将其代入抛物线方程，得： 2 2 2 2 8 8( ) 41 1 k k k k     ，所以， 2 1k  . ………………………9 分 联立 2 2 2 2 ( 4) 1 y k x x y a b     ，消去 y ，得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 8 16 0b a k x k a x a k a b     . ………………………10 分 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 8 ) 4( )(16 ) 0k a b a k a k a b       ，得 2 4 2 2 2 2 216 ( )(16 ) 0a k b a k k b    ，即 2 2 2 216a k b k  ， …………………12 分 将 2 1k  ， 2 2 1b a  代入上式并化简，得 B M A F P y xO 22 17a  ，所以 34 2a  ，即 2 34a  ， 因此，椭圆 1C 长轴长的最小值为 34 . ………………………13 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意可得: 1( ) cos , [0, ]f x x x   , ………………………1 分 2 ( ) 1, [0, ]f x x   . ………………………2 分 （Ⅱ） 2 1 , [ 1,0)( ) 0, [0,4] x xf x x      , ………………………3 分 2 2 1, [ 1,1)( ) , [1,4] xf x x x     , ………………………4 分 2 2 1 2 1 , [ 1,0) ( ) ( ) 1, [0,1) , [1,4] x x f x f x x x x          , ………………………5 分 当 [ 1,0]x  时， 21 ( 1)x k x   1k x   , 2k  ; 当 (0,1)x 时，1 ( 1)k x  1 1k x    1k  ; 当 [1,4]x 时， 2 ( 1)x k x  2 1 xk x    16 5k  . 综上所述， 16 5k  ………………………6 分 即存在 4k  ，使得 ( )f x 是[ 1,4] 上的 4 阶收缩函数. ………………………7 分 （Ⅲ）  2( ) 3 6 3 2f x x x x x       ,令 '( ) 0f x  得 0x  或 2x  . 函数  f x 的变化情况如下： 令 ( ) 0f x  ，解得 0x  或 3. ………………………8 分 ⅰ） 2b  时， ( )f x 在[0, ]b 上单调递增，因此，   3 2 2 ( ) 3f x f x x x    ，  1( ) 0 0f x f  . 因为 3 2( ) 3f x x x   是[0, ]b 上的 2 阶收缩函数， 所以，①    2 1( ) 2 0f x f x x   对 [0, ]x b 恒成立； ②存在  0,x b ，使得    2 1( ) 0f x f x x   成立. ………………………9 分 ①即： 3 23 2x x x   对 [0, ]x b 恒成立， 由 3 23 2x x x   ，解得： 0 1x  或 2x  ， 要使 3 23 2x x x   对 [0, ]x b 恒成立，需且只需 0 1b  . .………………………10 分 ②即：存在 [0, ]x b ，使得  2 3 1 0x x x   成立. 由  2 3 1 0x x x   得： 0x  或 3 5 3 5 2 2x   ， 所以，需且只需 3 5 2b  . 综合①②可得： 3 5 12 b   . .………………………11 分 ⅱ）当 2b  时，显然有 3 [0, ]2 b ，由于 ( )f x 在[0,2] 上单调递增，根据定义可得： 2 3 27( )2 8f  ， 1 3( ) 02f  ， 可得 2 1 3 3 27 3( ) 2 32 2 8 2f f         ， 此时，    2 1( ) 2 0f x f x x   不成立. .………………………13 分 综合ⅰ）ⅱ）可得： 3 5 12 b   . 注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用 3 2 只是因为简单而已.