还原问题讲解

第 22 讲 还原问题（一） 有一位老人说：“把我的年龄加上 12，再用 4 除，再减去 15 后乘以 10，恰好是 100 岁。”这位老人有多少岁呢？解这个题目要从所叙述的最 后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人 的年龄是 （100÷10＋15）×4—12＝88（岁）。 从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找 解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最 后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的 用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫 做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。 例 1 有一个数，把它乘以 4 以后减去 46，再把所得的差除以 3，然后减去 10，最后得 4。问：这个数是几？ 分析：这个问题是由 （□×4—46）÷3—10＝4， 求出□。我们倒着看，如果除以 3 以后不减去 10，那么商应该是 4 ＋10＝14；如果在减去 46 以后不除以 3，那么差该是 14×3＝42；可知这 个数乘以 4 后的积为 42＋46＝88，因此这个数是 88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。 答：这个数是 22。 例 2 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的 5 看成了 9，把十位上的 8 看成了 3，结果得到的“和”是 123。问：正确的结果应是多少？ 分析：利用还原法。因为把个位上的 5 看成 9，所以多加了 4；又因 为把十位上的 8 看成 3，所以少加了 50。在用还原法做题时，多加了的 4 应减去，多减了的 50 应加上。 解：123-4＋50＝169。 答：正确的结果应是 169。 例 3 学校运来 36 棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树 苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了 10 棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢 回来 6 棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的 2 倍。问：最初乐乐拿了多少棵树 苗？ 分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗 36 棵， 乐乐拿的树苗数是欢欢的 2 倍，所以欢欢现在拿了 36÷（2＋1）=12（棵） 树苗，而乐乐现在拿了 12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了 6 棵后是 24 棵，如果不抢，那么乐乐有树苗 24-6＝18（棵），欢欢看乐乐 拿得太多，去抢了 10 棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 18＋10＝28（棵）。 解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。 答：乐乐最初拿了 28 棵树苗。 例 4 甲、乙、丙三组共有图书 90 本，乙组向甲组借 3 本后，又送给丙组 5 本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有 多少本图书？ 分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数 90 本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书 90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有 30＋3＝33（本）， 乙组有 30—3＋5＝32（本）， 丙组有 30—5＝25（本）。 店时，我还有 4 元钱。问：进 A 商店时我身上有多少钱？ =18（元） 答：进 A 商店时我身上有 18 元。 例 6 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米，这捆电线原有多少米？ 分析：由逆推法知，第二次用完还剩下 15＋7=22（米），第一次用 完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。 解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。 答：这捆电线原有 54 米。