加法原理例题讲解（一）

第 20 讲 加法原理（一） 例 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中 火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。问：一天中乘坐这些交通工具从 甲地到乙地，共有多少种不同走法？ 分析与解：一天中乘坐火车有 4 种走法，乘坐汽车有 3 种走法，乘坐轮船 有 2 种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。 例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一 面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面 信号旗，有红、黄、蓝 3 种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄 蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6 种。所以一共可以表示出不同的信号 3＋6=9（种）。 以上两例利用的数学思想就是加法原理。 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同 方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法 ……在第 n 类方法中有 mn 种不 同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要 注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所 以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件 事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任 务的不同方法数等于各类方法数之和。 例 3 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？ 分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者 两数都是偶数。 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有 3×3=9（种）情况； 同理，两数都是偶数的也有 9 种情况。根据加法原理，两次出现的数字之 和为偶数的情况有 9＋9＝18（种）。 例 4 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区 域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 分析与解：本题与上一讲的例 4 表面上十分相似，但解法上却不相同。因 为上一讲例 4 中，区域 A 与其它区域都相邻，所以区域 A 与其它区域的 颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域 A 开始讨论，那么就要分区域 A 与区域 E 的颜色相同与不同两种情况。 当区域 A 与区域 E 颜色相同时，A 有 5 种颜色可选；B 有 4 种颜色 可选；C 有 3 种颜色可选；D 也有 3 种颜色可选。根据乘法原理，此时不 同的染色方法有 5×4×3×3＝180（种）。 当区域 A 与区域 E 颜色不同时，A 有 5 种颜色可选；E 有 4 种颜色 可选；B 有 3 种颜色可选；C 有 2 种颜色可选；D 有 2 种颜色可选。根据 乘法原理，此时不同的染色方法有 5×4×3×2×2＝240（种）。 再根据加法原理，不同的染色方法共有 180＋240=420（种）。 例 5 用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续 三位是 1 的五位数有多少个？ 分析与解：将至少有连续三位数是 1 的五位数分成三类：连续五位是 1、 恰有连续四位是 1、恰有连续三位是 1。 连续五位是 1，只有 11111 一种； 中任一个，所以有 3＋3＝6（种）； 3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。 由加法原理，这样的五位数共有 1＋6＋33＝40（种）。 在例 5 中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若 干种情况，其中使用的都是加法原理。 例 6 右图中每个小方格的边长都是 1。一只小虫从直线 AB 上的 O 点出发， 沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到 AB 上（不 一定回到 O 点）。如果小虫爬行的总长是 3，那么小虫有多少条不同的爬 行路线？ 分析与解：如果小虫爬行的总长是 2，那么小虫从 AB 上出发，回到 AB 上，其不同路线有 6 条（见左下图）；小虫从与 AB 相邻的直线上出发， 回到 AB 上，其不同路线有 4 条（见右下图）。 实际上，小虫爬行的总长是 3。小虫爬行的第一步有四种情况： 向左，此时小虫还在 AB 上，由上面的分析，后两步有 6 条路线； 同理，向右也有 6 条路线； 向上，此时小虫在与 AB 相邻的直线上，由上面的分析，后两步有 4 条路线； 同理，向下也有 4 条路线。 根据加法原理，共有不同的爬行路线 6＋6＋4＋4＝20（条）