数阵图讲解（一）

第 16 讲 数阵图（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于 “重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种 要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从 一道典型的例题开始。 例 1 把 1～9 这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、 每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是 几。我们可以这样去想：因为 1～9 这九个数字之和是 45，正好是三个横 行数字之和，所以每一横行的数字之和等于 45÷3=15。也就是说，每一 横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于 15。 在 1～9 这九个数字中，三个不同的数相加等于 15 的有： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2， 8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式 中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角 线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有 5 符合条件，因此应 将 5 填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖 列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合 条件的有 2，4，6，8，因此应将 2，4，6，8 填在四个角的方格中，同时 应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法： 上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行 的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转 90°，180°，270°得到。又 如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图 本质上是相同的，可以看作是一种填法。 例 1 中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地， 将九个不同的数填在 3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、 每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻 方。 在例 1 中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求 两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例 1 的解中， 任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。 例 2 用 11，13，15，17，19，21，23，25，27 编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例 1，1～9 也是一个等 差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填 19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即 13，17，21，25， 而且对角两数的和相等，即 13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见 右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入 3×3（三行三列）的九 个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同， 这样填好后的图称为三阶反幻方。 例 3 将前 9 个自然数填入右图的 9 个方格中，使得任一行、任一列以及两 条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置 也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这 9 个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图 所示的三种情况： 按照从 1 到 9 和从 9 到 1 逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情 况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反 幻方。 例 4 将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条 证明：因为每行的三数之和都等于 k，共有三行，所以九个数之和等于 3k。 如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都 等于 k，四条虚线上的所有数之和等于 4k，其中只有中心方格中的数是 “重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有 九数之和+中心方格中的数×3=4k， 3k+中心方格中的数×3=4k， 注意：例 4 中对九个数及定数 k 都没有特殊要求。这个结论对求解 3×3 方格中的数阵问题很实用。 在 3×3 的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、 任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三 阶质数幻方。 例 5 求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于 267 的三阶 质数幻方。 分析与解：由例 4 知中间方格中的数为 267÷3＝89。由于在两条对角线、 中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有 89，所以每组的 其余两数之和必为 267-89＝178。两个质数之和为 178 的共有六组： 5+173＝11＋167 ＝29＋149＝41＋137 ＝47+131＝71+107。 经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。