石景山区高三一模数学文有答案

北京市石景山区 2010 年 高 三 统 一 测 试 数学试题（文科） 考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．复数 2 1 i 等于 （ ） A． 2i B． 2i C．1 i D．1 i 2．已知命题 : , 2p x R x   ，那么命题 p 为 （ ） A． , 2x R x   B． , 2x R x   C． 2,  xRx D． 2,  xRx 3．已知平面向量 )2,1(a ， mbamb 则且 ,//),,2( 的值为 （ ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝ 2）为 （ ） A．80 B．60 C．40 D．20 5．经过点 P（2，-3）作圆 25)1( 22  yx 的弦 AB，使点 P 为弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线方程为 （ ） A． 05  yx B． 05  yx C． 05  yx D． 05  yx 6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能 是 （ ） A．求数列 }1{n 的前 10 项和 )( *Nn  B．求数列 }2 1{ n 的前 10 项和 )( *Nn  C．求数列 }1{n 的前 11 项和 )( *Nn  D．求数列 }2 1{ n 的前 11 项和 )( *Nn  7．已知函数 )(xf 的导函数 )(xf  的图象如图所示， 那么函数 )(xf 的图象最有可能的是 （ ） 8．已知函数 xxf x 2log)3 1()(  ，正实数 cba ,, 是公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(  cfbfaf 。若实数 d 是方程 0)( xf 的一个解，那么下列四个判断： ① ad  ;② ;bd  ③ ;cd  ④ cd  中有可能成立的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9．函数 )2lg(1 xxy  的定义域是 。 10．若 yx, 满足约束条件       30 03 0 x yx yx ，则 yxz  2 的最大值为 。 11．函数 xxy 2cos2sin 的最小正周期是 ，最大值是 。 12．等差数列 }{ na 中， 1,5 63  aa ，此数列的通项公式为 ，设 nS 是数列 }{ na 的前 n 项和，则 8S 等于 。 13．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，并统计了他们的历史成绩（成绩 均为整数且满分为 100 分），把其中不低于 50 分的成绩分成五段     ]100,90[70,60,60,50  后，画出部分 频率分布直方图（如图），那么历史成绩在  80,70 的学生人数为 。 14．在数列 }{ na 中，若 ),,2(, *2 1 2 为常数pNnnpaa nn   ，则称 }{ na 为“等方差数 列”，下列是对“等方差数列”的判断； ①若 }{ na 是等方差数列，则 }{ 2 na 是等差数列； ② })1{( n 是等方差数列； ③若 }{ na 是等方差数列，则 ),}({ * 为常数kNkakn  也是等方差数列； ④若 }{ na 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。 其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分虽为 cba ,, ，且 。Cca 4 3cos,2,1  （1）求 )sin( BA  的值； （2）求 Asin 的值； （3）求 CACB  的值。 16．（本题满分 13 分） 为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有 6 家企业参与竞标，其中 A 企业来 自辽宁省，B、C 两家企业来自福建省，D、E、F 三家企业来自河南省，此项工程需要 两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同。 （1）企业 E 中标的概率是多少？ （2）在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？ 17．（本题满分 14 分） 如图，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1， 4,2,90 1  AABCACACB 。E、F 分 别是棱 CC1、AB 中点。 （1）求证： 1BBCF  ； （2）求四棱锥 A—ECBB1 的体积； （3）判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系，并加 以证明。 18．（本题满分 13 分） 在数列 }{ na 中， ),2(22,3 * 11 Nnnnaaa nn   且 （1）求 32 ,aa 的值； （2）证明：数列 }{ nan  是等比数列，并求 }{ na 的通项公式； （3）求数列 nn Sna 项和的前}{ 。 19．（本题满分 14 分） 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 3 6 ，长轴长为 32 ，直线 mkxyl : 交椭圆于不同的两点 A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求 kOBOAm 求且 ,0,1  的值（O 点为坐标原点）； （3）若坐标原点 O 到直线l 的距离为 2 3 ，求 AOB 面积的最大值。 20．（本题满分 13 分） 已知函数 ),(3)( 23 Rbaxbxaxxf  ，在点 ))1(,1( f 处的切线方程为 .02 y （1）求函数 )(xf 的解析式； （2）若对于区间 ]2,2[ 上任意两个自变量的值 21, xx ，都有 cxfxf  |)()(| 21 ，求实 数 c 的最小值。 （3）若过点 )2)(,2( mmM ，可作曲线 )(xfy  的三条切线，求实数 m 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1—5CBDAA 6—8BAC 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9． 21， 10．9 11． 2 1 2 ， 12． 112  nan ，-16 13．18 14．①②③④ 注：一题两空的第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13 分） 解：（1） ABC在 中， CBA   CCBA sin)sin()sin(   又 4 3cos C ， 20  C ， .4 7cos1sin 2  CC .4 7)sin(  BA 3 分 （2）由正弦定得得 .sinsin C c A a  .8 14 2 4 71sinsin    c CaA 8 分 （2）由余弦定理得 Cabbac cos2222  4 3121)2( 222  bb ， 则 0232 2  bb 解得 2 12  bb 或 （舍） 11 分 .2 3 4 321cos||||  CCACBCACB 13 分 16．（本题满分 13 分） 解：（1）从这 6 家企业中选出 2 家的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A， F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D， F），（E，F），共有 15 种 4 分 其中企业 E 中标的选法有（A，E），（B，E），（C，E），（D，E），（E，F）共 5 种 7 分 则企业 E 中标的概率为 3 1 15 5  8 分 （2）解法一：在中标的企业中，至少有一家来自河南省选法有 （A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）， （D，E），（D，F），（E，F），共 12 种 12 分 则“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为 5 4 15 12  13 分 解法二：在中标的企业中，没有来自河南省选法有：（A，B），（A，C），（B，C）共 3 种 11 分 “在中标的企业中，没有来自河南省”概率为 5 1 15 3  12 分 “在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为 .5 4 5 11  13 分 17．（本题满分 14 分） （1）证明：三棱柱 ABC—A1B1C1 是直棱柱，  1BB 平面 ABC 1 分 又 CF 平面 ABC， 2 分 1BBCF  3 分 （2）解： 三棱柱 ABC—A1B1C1 是直棱柱，  1BB 平面 ABC， 又 AC 平面 ABC 1BBAC   90ACB BCAC  .1 BBCBB   AC 平面 ECBB1 6 分 ACSV SCBBECBBA   11 3 1 7 分 E 是棱 CC1 的中点， 22 1 1  AAEC 62)42(2 1)(2 1 11  BCBBECS ECBB 8 分 .4263 1 3 1 11   ACSV ECBBECBBA 9 分 （3）解：CF//平面 AEB1，证明如下： 取 AB1 的中点 G，联结 EG，FG GF, 分别是棱 AB、AB1 中点 .2 1,// 11 BBFGBBFG  又 .2 1,// 11 BBECBBEC  ECFGECFG  ,// 四边形 FGEC 是平行四边形 11 分 .// EGCF 12 分 又 CF 平面 AEB， EG 平面 AEB1， 13 分 //CF 平面 AEB1。 18．（本题满分 13 分） （1）解： ),2(22,3 * 11 Nnnnaaa nn   且 .6222 12  aa 2 分 .13232 23  aa 4 分 （2）证明： .21 222 1 )22( )1( 1 1 1 1 1          na na na nna na na n n n n n n }{ nan 数列 是首项为 411 a ， 公比为 2 的等比数列。 7 分 11 224   nn n na ， 即 ,2 1 na n n   }{ na 的通项公式为 )(2 *1 Nnna n n   9 分 （3）解： }{ na 的通项公式为 )(2 *1 Nnna n n   )321()2222( 1432 nS n n    11 分 .2 822 )1( 21 )21(2 2 2 2    nnnn n n 13 分 19．（本题满分 14 分） 解：（1）设椭圆的半焦距为 c， 依题意      3 ,3 6 a a c 解得 2c 由 .1,222  bcba 得 2 分 所求椭圆方程为 .13 2 2  yx 3 分 （2） .1,1  kxym 设 ),(),,( 2211 yxByxA ， 其坐标满足方程      1 13 2 2 kxy yx 消去 y 并整理得 ,06)31( 22  k 则 00)31(4)6( 22  kk ， 解得 0k 5 分 故 0, 31 6 21221    xx k kxx 6 分 0OBAO 1)()1()1()1( 2121 2 21212121  kxkxxxyyxx 7 分 0 13 311 31 60)1( 2 2 2 2      k k k kkk 3 3k 8 分 （3）由已知 2 3 1 || 2   k m ， 可得 )1(4 3 22  km 9 分 将 y mkx  代入椭圆方程， 整理得 .0336)31( 222  mkmk (*)0)33)(31(4)6( 222  mkkm . 31 33, 31 6 2 2 21221 k mxx k kmxx     10 分 ] 13 )1(12 )13( 36)[1())(1(2| 2 2 2 22 22 12 2|     k m k mkkAB 22 22 2 222 )13( )19)(1(3 )13( )13)(1(12     k kk k mkk 11 分 )0(4632 123 619 123 169 123 2 2 24 2      k k kkk k 12 分 当且仅当 2 2 19 k k  ， 即 3 3k 时等号成立， 经检验， 3 3k 满足（*）式 当 0k 时， 3| AB 13 分 综上可知 .2|| max AB 当|AB 最大时， AOB 的面积最大值 2 3 2 322 1 S 14 分 20．（本题满分 13 分） 解：（1） 323)( 2  bxaxxf 1 分 根据题意，得      ,0)1( ,2)1( f f 即      ,0323 ,23 ba ba 解得      .0 ,1 b a 2 分 .3)( 3 xxxf  3 分 （2）令 33)( 2  xxf 即 033 2 x ，解得 1x x -2 )1,2(  -1 （-1，1） 1 （1，2） 2 ( )f x + 0 - 0 + )(xf -2 极大值 极小值 2 ( 1) 2, (1) 2f f    [ 2,2]x  当 时， max min( ) 2, ( ) 2.f x f x   则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值 1 2,x x ，都有 1 2 max min| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 4f x f x f x f x    所以 4.c  所以 c 的最小值为 4。 7 分 （Ⅲ） (2, )( 2)M m m 点 不在曲线 ( )y f x 上。 设切点为 3 0 0 0 0 0( , ), 3x y y x x 则 2 0 0( ) 3 3f x x   ， 切线的斜率为 2 03 3.x  8 分 则 3 2 0 0 0 0 33 3 2 x x mx x     9 分 即 3 2 0 02 6 6 0x x m    ， 因为过点 (2, )( 2)M m m  ，可作曲线 ( )y f x 的三条切线 所以方程 3 2 0 02 6 6 0x x m    有三个不同的实数解 10 分 即函数 3 2( ) 2 6 6g x x x m    有三个不同的零点， 则 2( ) 6 12 .g x x x   令 ( ) 0, 0 2.g x x x   解得 或 x ( ,0) 0 （0，2） 2 （2，+∞） ( )g x + 0 - 0 + ( )g x 极大值 极小值 注：若有其它解法，请酌情给分。