石景山区高三一模数学理有答案

北京市石景山区 2010 年 高 三 统 一 测 试 数学试题（理科） 考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．复数 2 1 i 等于 （ ） A． 2i B． 2i C．1 i D．1 i 2．已知命题 : , 2p x R x   ，那么命题 p 为 （ ） A． , 2x R x   B． , 2x R x   C． 2,  xRx D． 2,  xRx 3．已知平面向量 )2,1(a ， mbamb 则且 ,//),,2( 的值为 （ ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝ 2）为 （ ） A．80 B．60 C．40 D．20 5．经过点 P（2，-3）作圆 25)1( 22  yx 的弦 AB，使点 P 为弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线方程为 （ ） A． 05  yx B． 05  yx C． 05  yx D． 05  yx 6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A．求数列 }1{n 的前 10 项和 )( *Nn  B．求数列 }2 1{ n 的前 10 项和 )( *Nn  C．求数列 }1{n 的前 11 项和 )( *Nn  D．求数列 }2 1{ n 的前 11 项和 )( *Nn  7．已知函数 )(xf 的导函数 )(xf  的图象如图所示， 那么函数 )(xf 的图象最有可能的是 （ ） 8．已知函数 xxf x 2log)3 1()(  ，正实数 cba ,, 是公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(  cfbfaf 。若实数 d 是方程 0)( xf 的一个解，那么下列四个判断： ① ad  ;② ;bd  ③ ;cd  ④ cd  中有可能成立的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9．二项式 42( )x x  的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 。（用 数字作答） 10．已知曲线 C 的参数方程为      ,sin2 ,cos   y x （ 为参数），则曲线 C 的普通方程是 ； 点 A 在曲线 C 上，点 ( , )M x y 在平面区域 2 2 0 2 0 2 1 0 x y x y y           上，则|AM|的最小值是 。 11．如图，已知 PE 是圆 O 的切线，直线 PB 交圆 O 于 A、B 两点，PA=4，AB=12， 4 3AE  ，则 PE 的 长为 ， ABE 的大小为 。 12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出 60 名学 生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分 为 100 分），把其中不低于 50 分的成绩分成五段     ]100,90[70,60,60,50  后，画出部分频率分 布直方图（如图），那么历史成绩在 80,70 的学 生人数为 。 13．函数 2 2cos sin 2sin cosy x x x x    的最小正 周期为 ，此函数的值域为 。 14．在数列 }{ na 中，若 2 2 * 1 ,( 2, ,n na a p n n N    )p为常数 ，则称 }{ na 为“等方差数 列”，下列是对“等方差数列”的判断； ①若 }{ na 是等方差数列，则 }{ 2 na 是等差数列； ② })1{( n 是等方差数列； ③若 }{ na 是等方差数列，则 ),}({ * 为常数kNkakn  也是等方差数列； ④若 }{ na 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。 其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分虽为 cba ,, ，且 31, 2£ ¬cos .4a c C   （1）求 )sin( BA  的值； （2）求 Asin 的值； （3）求 CACB  的值。 16．（本题满分 13 分） 如图，两个圆形转盘 A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的 1 1 2 4 和 。某“幸运转盘 积分活动”规定，当指针指到 A，B 转盘阴影部分时，分别赢得积分 1000 分和 2000 分。 先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束， 若第一次未赢得积分，则终止活动。 （1）记先转 A 转盘最终所得积分为随机变量 X，则 X 的取值分别是多少？ （2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由。 17．（本题满分 14 分） 如图，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1， 90ACB   ，E 是棱 CC1 上动点，F 是 AB 中 点， 12, 4.AC BC AA   （1）求证： 1CF ABB 平面 ； （2）当 E 是棱 CC1 中点时，求证：CF//平面 AEB1； （3）在棱 CC1 上是否存在点 E，使得二面角 A—EB1—B 的大小是 45°，若存在，求 CE 的长，若不存在，请说明理由。 18．（本题满分 13 分） 在数列 }{ na 中， * 1 13, 2 1( 2, )n na a a n n n N      且 （1）求 32 ,aa 的值； （2）证明：数列 }{ nan  是等比数列，并求 }{ na 的通项公式； （3）求数列 nn Sna 项和的前}{ 。 19．（本题满分 14 分） 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 3 6 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ，直线 mkxyl : 交椭圆于不同的两点 A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求 , 0,m k OA OB k   且 求 的值（O 点为坐标原点）； （3）若坐标原点 O 到直线l 的距离为 2 3 ，求 AOB 面积的最大值。 20．（本题满分 13 分） 已知函数 ( ) 2ln .pf x px xx    （1）若 2p  ，求曲线 ( ) (1, (1))f x f在点 处的切线； （2）若函数 ( )f x 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （3）设函数 2( ) , [1, ]eg x ex  若在 上至少存在一点 0x ，使得 0 0( ) ( )f x g x 成立，求实 数 p 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1—5CBDAA 6—8BAC 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9．24，81 10． 2 2( 2) 1x y   11．80，30 12．18 13． ,[ 2, 2]  14．①②③④ 注：一题两空的第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13 分） 解：（1） ABC在 中， CBA   CCBA sin)sin()sin(   又 4 3cos C ， 20  C ， .4 7cos1sin 2  CC .4 7)sin(  BA 3 分 （2）由正弦定得得 .sinsin C c A a  .8 14 2 4 71sinsin    c CaA 8 分 （2）由余弦定理得 Cabbac cos2222  4 3121)2( 222  bb ， 则 0232 2  bb 解得 2 12  bb 或 （舍） 11 分 .2 3 4 321cos||||  CCACBCACB 13 分 16．（本题满分 13 分） 解：（1）X 的取值分别是：0 分，1000 分，3000 分 3 分 （2）由已知得，转动 A 盘得到积分的概率为 1 2 ， 转动 B 盘得到积分的概率为 1 4 5 分 设先转 A 盘所得的积分为 X 分，先转 B 盘所得的积分为 Y 分，则有 1 1( 0) 1 ,2 2P X     6 分 1 1 3( 1000) (1 )2 4 8P X      ， 7 分 1 1 1( 3000) .2 4 8P X     8 分 1 3 1 60000 1000 3000 .2 8 8 8EX        9 分 同理： 3( 0) 4P Y   10 分 1( 2000) ,8P Y   11 分 1( 3000) .8P Y   12 分 3 1 1 50000 2000 3000 .4 8 8 8EY        故先转 A 盘时，赢得积分平均水平较高。 13 分 17．（本题满分 14 分） （1）证明：三棱柱 ABC—A1B1C1 是直棱柱，  1BB 平面 ABC 又 CF  面 ABC， CF BB  ，1 分 90ACB  °，AC=BC=2，F 是 AB 中点 CF AB  2 分 又 1 ,BB AB B  3 分 CF  平面 ABB1。 4 分 （2）证明：取 AB1 的中点 G，联结 EG，FG ,F G 分别是棱 AB、AB1 中点， 1 1 1/ / , 2FG BB FG BB  又 1 1 1/ / , 2EC BB EC BB / / ,FG EC FG EC  四边形 FGEC 是平行四边形，6 分 / / .CF DG 7 分 CF  平面 AEB1， EG  平面 AEB1 8 分 / /CF 平面 AEB1。 9 分 （3）解：以 C 为坐标原点，射线 CA，CB，CC1 为 , ,x y z 轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 .C xyz 则 C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4） 10 分 设 (0,0, )E m ，平面 AEB1 的法向量 ( , , )n x y z 则 1 ( 2,2,4), ( 2,0, )AB AE m     且 1 ,AB n AE n     于是 1 2 2 4 0, 2 0 0 AB n x y z AE n x y mz                  所以 ,2 4 2 mzx mz zy     取 2, ( , 4,2)z n m m  则 12 分  三棱柱 ABC—A1B1C1 是直棱柱，  1BB 平面 ABC， 又 AC 平面 ABC 1BBAC   90ACB BCAC  .1 BBCBB   AC 平面 ECBB1 CA 是平面 EBB1 的法向量， (2,0,0)CA  二面角 A—EB1—B 的大小是 45°， 则 2 2 2 2 2cos45 2| | | | 2 ( 4) 2 CA n m CA n m m              13 分 解得 5 .2m  在棱 CC1 上存在点 E，使得二面角 A—EB1—B 的大小是 45°。 此时 5 .2CE  14 分 18．（本题满分 13 分） （1）解： * 1 13, 2 1( 2, )n na a a n n n N       且 2 1 4 1 6.a a       2 分 3 2 6 1 1.a a     4 分 （2）证明： 1 1 1 1 1 ( 2 1) 1 1.( 1) 1 1 n n n n n n a n a n n a n a n a n a n                      }{ nan 数列 是首项为 411 a ， 公比为-1 的等比数列。 7 分 14 ( )n na n      ， 即 14 ( 1) ,n na n    }{ na 的通项公式为 1 *4 ( 1) ( )n na n n N     （3）解： 1 *4 ( 1) ( )n na n n N     所以当 n 是奇数时， 1 2 1 1 1[4 ( 1) ] ( 8).2 n n k n k k k S a k n n             10 分 当 n 是偶数时， 1 2 1 1 1[4 ( 1) ] ( ).2 n n k n k k k S a k n n            12 分 综上， 2 2 1 ( 8),2 1 ( ), ,2 n n n S n n n       是正奇数, - 是正偶数 13 分 19．（本题满分 14 分） 解：（1）设椭圆的半焦距为 c， 依题意      3 ,3 6 a a c 解得 2c 由 .1,222  bcba 得 2 分 所求椭圆方程为 .13 2 2  yx 3 分 （2） , ( 1)m k y kx k k x      设 ),(),,( 2211 yxByxA ， 其坐标满足方程 2 2 13 ( 1) x y y kx       消去 y 并整理得 2 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0,k x k x k     4 分 则 2 2 2 2(6 ) 4(1 3 )(3 3) 0k k k      （*） 5 分 故 2 2 1 2 1 22 2 6 3 3,1 3 1 3 k kx x x xk k       6 分 0OBAO 1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( 1)x x y y x x kx kx       2 2 2 1 2 1 2(1 ) ( )k x x k x x k     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 6 3(1 ) 01 3 1 3 3 1 k k kk k kk k k            3k   经检验 3k   满足式（*）式 8 分 （3）由已知 2 3 1 || 2   k m ， 可得 )1(4 3 22  km 9 分 将 y mkx  代入椭圆方程， 整理得 .0336)31( 222  mkmk (*)0)33)(31(4)6( 222  mkkm . 31 33, 31 6 2 2 21221 k mxx k kmxx     10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 36 12( 1)| | (1 )( ) (1 )[ ] (3 1) 3 1 k m mAB k x x k k k          22 22 2 222 )13( )19)(1(3 )13( )13)(1(12     k kk k mkk 11 分 )0(4632 123 619 123 169 123 2 2 24 2      k k kkk k 12 分 当且仅当 2 2 19 k k  ， 即 3 3k 时等号成立， 经检验， 3 3k 满足（*）式 当 0k 时， 3| AB 综上可知 .2|| max AB 13 分 当|AB 最大时， AOB 的面积最大值 2 3 2 322 1 S 14 分 20．（本题满分 13 分） 解：（1）当 2p  时， 函数 2( ) 2 2ln , (1) 2 2 2ln1 0f x x x fx        2 2 2( ) 2f x x x    曲线 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线的斜率为 1(1) 2 2 2 2.f     1 分 从而曲线 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 0 2( 1),y x   即 2 2y x  （2） 2 2 2 2 2( ) .p px x pf x p x x x       3 分 令 2( ) 2h x px x p   ，要使 ( )f x 在定义域（0，∞）内是增函数 只需 ( ) 0h x  在（0，+∞）内恒成立 4 分 由题意 20, ( ) 2p h x px x p    的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为 1 (0, )x p    ， min 1( ) ,h x p p    只需 1 0, 1p pp   即 时， ( ) 0, ( ) 0h x f x  ( )f x 在（0，+∞）内为增函数，正实数 p 的取值范围是 1, 6 分 （3） 2( ) [1, ]eg x ex  在 上是减函数， x e  时， min( ) 2;g x  min1 , ( ) 2x g x e 时 ， 即 ( ) [2,2 ]g x e 1 分 ①当 0p  时， 2( ) 2h x px x p   其图象为开口向下的抛物线，对称轴 1x p  在 y 轴的左侧， 且 (0) 0h  ，所以 ( ) [1, ]f x x e在 内是减函数。 当 0p  时，在 ( ) 2h x x  因为 [1, ]x e ， 所以 2 2( ) 0, ( ) 0.xh x f x x     此时， ( ) [1, ]f x x e在 内是减函数。 故当 0p  时， ( ) [1, ]f x x e在 上单调递减 max( ) (1) 0 2f x f    ，不合题意； ②当 0 1p  时，由 [1, ]x e 1 0x x    所以 1 1( ) ( ) 2ln 2ln .f x p x x x xx x       又由（2）知当 1p  时， ( ) [1, ]f x x e在 上是增函数， 1 1 12ln 2ln 2 2x x e e ex e e           ，不合题意； 11 分 ③当 1p  时，由（2）知 ( ) [1, ]f x x e在 上是增函数， (1) 0 2f   又 ( ) [1, ]g x x e在 上是减函数， 故只需 max min( ) ( ) , [1, ]f x g x x e  而 max min 1( ) ( ) ( ) 2ln , ( ) 2f x f e p e e g xe      即 1( ) 2ln 2,P e ee    解得 2 4 1 ep e   ， 所以实数 p 的取值范围是 2 4( , )1 e e  。 13 分 注：另有其它解法，请酌情给分。