惠州市高三一模数学试题及答案(理科）

惠州市 2010 届高三第一次高考模拟考试 数学试题(理科） （2010 年 4 月） （本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷 选择题（共 40 分） 一、选择题(本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符 合题目要求的) 1．复数 1 1 i 的虚部是（ ） A ． 1 2  B ． 1 2 C ． 1 2 i D ．1 2．对于非零向量 ,a b   ，“ a b  ∥ ”是“ 0a b    ”成立的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．集合  2 ,xA y y x R   ，  2, 1,0,1,2B    ，则下列结论正确的是 ( ) ． A ．  0A B    ， B ．  ( ,0]R A B  ð U C ．   2, 1,0R A B   ð I D ．   1,2R A B ð I 4．已知 ABC 的斜二测直观图是边长为 2的等边 1 1 1A B C ，那么原 ABC 的面积为 ( ) ． A ． 2 3 B ． 3 C ． 2 6 D ． 6 5．已知 ,m n 是两条直线， ,  是两个平面，给出下列命题：①若 ,n n   ，则 ∥ ； ②若平面  上有不共线的三点到平面  的距离相等，则  ∥ ；③若 ,n m 为异面直线 , , ,n n m m    ∥ ∥ ，则 ∥ ．其中正确命题的个数是 ( ) ． A ．3 个 B ． 2 个 C ．1个 D ． 0 个 6．在平面直角坐标系中，矩形OABC ， (0,0)O ， (2,0)A ， (0,1)C ，将矩形折叠，使O 点落 在线段 BC 上，设折痕所在直线的斜率为 K，则 K 的取值范围为 ( ) ． A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[ 1,0] D ．[ 2,0] 7．已知等比数列 na 中 2 3 4, , ,a a a 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 1 1a  公 比 1q  则 na 等于 ( ) ． A ． 12 n B ． 22 n C ． 12n D ． 22n 8．某饮料厂搞促销，公开承诺，“凡购买本厂的某种饮料的顾客可用 3 只空罐换一罐饮料。”如 若购买 10 罐饮料，实际可饮用 14 罐饮料；若需饮用 10 罐，应购买 7 罐；(注：不能借他人的 空罐)；若购买 100 罐饮料，实际可饮用 m 罐饮料；若需饮用 100 罐，应购买 n 罐。则（ m , n ） 为 ( ) ． A ． (147,67) B ． (147,69) C ． (149,67) D ． (149,69) 第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分） 二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分．每小题 5 分，满分 30 分） （一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数 ( ) 1 lg(2 )f x x x    的定义域为 ． 10．下表是某工厂 10 个车间 2010 年 2 月份产量的统计表，1 到 10 车间的产量依次记为 1 2 10A A A， ，…， （如： 2A 表示 2 号车间的产量为 900 件）． 图 1 是统计下表中产量在一定范围内车间个数的一个 算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ． 11．已知双曲线 2 2 2 1x ya    0a  的右焦点与抛物线 车间 1 2 3 4 5 产量 1100 900 950 850 1500 车间 6 7 8 9 10 产量 810 970 900 830 1300 图 1 0 1n i ， 结束 开始 输入 1 2 10A A A， ， ， 否 10?i  1i i  图 2 是 900?iA  图 2 否 输出n 是 第 15 题 图 2 8y x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是 ． 12． 61( )mx x  的展开式中 3x 的系数为15，则 m 的值为 ． 13． 2 0 (2 1 )x dx   ． （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一 题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点 π2 2 , 4      作圆 4sin  的切线，则切 线极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图， O 的割线 PAB 交 O 于 ,A B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，已知 6PA  ， 22 3AB  ， 12PO  ，则 O 的半径是__ ． 三、解答题(本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系下，已知 (2,0)A ， (0,2)B ， (cos2 ,sin 2 )C x x ， ( )f x AB AC  uuur uuur ． （1）求 ( )f x 的表达式和最小正周期； （2）当 0 2x   时，求 ( )f x 的值域． 17．（本小题满分 12 分） 袋中有同样的球 5 个，其中 3 个红色， 2 个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸 1 个， 当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 为此时已摸球的次数。 (1) 求随机变量 的概率分布列； (2) 求随机变量 的数学期望与方差。 8．（本小题满分 14 分） 已知斜三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面是直角三角形， 90ACB   ，侧棱与底面所成角为 ，点 1B 在底面上的射影 D 落在 BC 上． （1）求证： AC  平面 1 1BB C C ； （2）若 1cos 3   ，且当 1 3AC BC AA   时，求二面角 1C AB C  的大小． 19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆的一个顶点为  0, 1A  ，焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 022  yx 的距离 为 3． （1）求椭圆的方程； （2）设直线 )0(  kmkxy 与椭圆相交于不 同的两点 ,M N ．当 ANAM  时，求 m 的取值范围． 20．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) exf x mx x   R， ． （1）若 em  ，试确定函数 ( )f x 的单调区间； （2）若 0m  ，且对于任意 xR ， ( ) 0f x  恒成立，试确定实数 m 的取值范围； （3）设函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x   ，求证： (1) (2)F F …… 1 2( ) (e 2) ( ) n nF n n    N ． 21．（本小题满分 14 分） 已知数列{ }na 中， 1 2a  ，对于任意的 *,p q N ，有 p q p qa a a   （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若数列{ }nb 满足： 31 2 4 2 3 42 1 2 1 2 1 2 1n bb b ba         …… 1 *( 1) ( )2 1 n n n b n N   ， 第 18 题图 求数列{ }nb 的通项公式； （3）设 *3 ( )n n nC b n N   ，是否存在实数  ，当 *n N 时， 1n nC C  恒成立，若存在， 求实数  的取值范围，若不存在，请说明理由。