海淀区高三一模有答案（文科）

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （文科） 2010.4 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1. 在复平面内，复数 )1( ii  (i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.  30sin75cos30cos75sin  的值为（ ） A．1 B． 2 1 C． 2 2 D． 2 3 3. 已知向量 ba, ，则“a//b”是“a+b=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且满足 123 23  SS ，则数列 }{ na 的公差是（ ） A． 2 1 B．1 C．2 D．3 5．在同一坐标系中画出函数 axyayxy x a  ,,log 的图象, 可能正确的是 （ ） 6.一个体积为12 3 的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的 左视图的面积为（ ） A. 36 B．8 C． 38 D．12 7.给出下列四个命题: ①若集合 BA, 满足 ,ABA  则 BA  ； ②给定命题 qp, , 若“ qp  ”为真，则“ qp  ”为真； 1 1 x y O B 1 1 x y O A 1 1 x y O C 1 1 x y O D ③设 ,,, Rmba  若 ,ba  则 22 bmam  ； ④若直线 01:1  yaxl 与直线 01:2  yxl 垂直，则 1a . 其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.直线 12  byax 与圆 122  yx 相交于 A,B 两点（其中 ba, 是实数），且 AOB 是直 角三角形(O 是坐标原点)，则点 P ),( ba 与点 )1,0( 之间距离的最大值为（ ） A 12  B. 2 C. 2 D. 12  第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 若 ,0x 则 xxy 4 的最小值是____________________. 10. 已知动点 P 到定点（2，0）的距离和它到定直线 2: xl 的距离相等，则点 P 的轨迹 方程为_________. 11. 已知不等式组       ax xy xy ， 表示的平面区域的面积为 4，点 ),( yxP 在所给平面区域内， 则 yxz  2 的最大值为______. 12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时 间,绘成频率分布直方图（如图）.则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内的同学为 _______ 人. 13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________. 第 12 题 第 13 题图 2 4 6 8 10 12 x 0.14 0.12 0.05 0.04 小时 频率/组距 开始 a =2,i=1 i≥20 11a a   i=i+1 结束 输出 a 是 否 14. 若点集 2 2{( , ) | 1}, {( , ) | 1 1, 1 1}A x y x y B x y x y          ，则 （1）点集  1 1 1 1( , ) 1, 1,( , ) }P x y x x y y x y A      所表示的区域的面积为_____； （2）点集  1 2 1 2 1 1 2 2( , ) , ,( , ) ,( , )M x y x x x y y y x y A x y B       所表示的区域的面 积为___________ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 已知函数    sin ,f x A x x R    (其中 0, 0, 2 2A        ), 其部分图象如图所示. (I)求  f x 的解析式; (II)求函数 )4()4()(   xfxfxg 在区间 0, 2      上的 最大值及相应的 x 值. 16. （本小题满分 13 分） 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次，其中 O 为圆心，且标有 20 元、 10 元、0 元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可 能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费 了 218 元 ，第一次转动获得了 20 元，第二次获得了 10 元，则其共获得了 30 元优惠券.） 顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动. （I）若顾客甲消费了 128 元，求他获得优惠券面额大于 0 元的概率？ （II）若顾客乙消费了 280 元，求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率？ 17. （本小题满分 14 分） 如图：在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， 60 ,ABC PA    平面 ABCD， 点 ,M N 分别为 ,BC PA 的中点，且 2 ABPA . (I) 证明： BC ⊥平面 AMN ； (II)求三棱锥 AMCN  的体积； (III)在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 / /NM 平面 ACE ；若存在， 求出 PE 的长；若不存在，说明理由. 18. （本小题满分 14 分） 已知函数 1)( 2  xxf 与函数 )0(ln)(  axaxg . （I）若 )(),( xgxf 的图象在点 )0,1( 处有公共的切线，求实数 a 的值； （II）设 )(2)()( xgxfxF  ，求函数 )(xF 的极值. 19. （本小题满分 13 分） 已知椭圆C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 1 2 ， 且点（1， 3 2 ）在该 椭圆上. （I）求椭圆C 的方程； （II）过椭圆C 的左焦点 1F 的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，若 AOB 的面积为 7 26 ， 求圆心在原点 O 且与直线l 相切的圆的方程. 20. （本小题满分 13 分） 已知数列 na 满足： 11 a ， 2 1 2 1 2 , , 1 2 , ,2 n n n n a n a a       为偶数 为奇数 ， 2,3,4, .n   （Ⅰ）求 3 4 5, ,a a a 的值； N M P A B C （Ⅱ）设 12 1nnb a   ， 1,2,3...n  ，求证：数列 nb 是等比数列，并求出其通项公式； （III）对任意的 *2,m m N  ，在数列{ }na 中是否存在连续．．的 2m 项构成等差数列？若存 在，写出这 2m 项，并证明这 2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由. 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文） 参考答案及评分标准 2010．4 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C D A B A 第 II 券（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 9.4 10. xy 82  11.6 12.30 13. 1 2 14. ， 12 15.（本小题满分 13 分） 解：（I）由图可知，A=1 …………1 分 ,24 T 所以 2T ……………2 分 所以 1 ……………3 分 又 1)4sin()4(  f ，且 2 2     所以 4   ……………5 分 所以 )4sin()(  xxf . ……………6 分 （II）由（I） )4sin()(  xxf ， 所以 )4()4()(   xfxfxg =sin( ) sin( )4 4 4 4x x        sin( )sin2x x  ……………8 分 cos sinx x  ……………9 分 1 sin 22 x ……………10 分 因为 ]2,0[ x ，所以 ],0[2 x ， ]1,0[2sin x 故： ]2 1,0[2sin2 1 x ， 当 4 x 时， )(xg 取得最大值 2 1 . …………… 13 分 16. （本小题满分 13 分） 解：（I）设“甲获得优惠券”为事件 A …………… 1 分 因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等， 所以指针停在 20 元，10 元，0 元区域内的概率都是 3 1 . …………… 3 分 顾客甲获得优惠券，是指指针停在 20 元或 10 元区域， 根据互斥事件的概率，有 3 2 3 1 3 1)( AP ， …………… 6 分 所以，顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是 2 3 . （II）设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B …………… 7 分 因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为 x 元， 第二次获得优惠券金额为 y 元，则基本事件空间可以表示为： {(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10), (10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}  ， …………… 9 分 即  中含有 9 个基本事件，每个基本事件发生的概率为 9 1 . ………… 10 分 而乙获得优惠券金额不低于 20 元，是指 20x y  ， 所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个， ………… 11 分 所以乙获得优惠券额不低于 20 元的概率为 3 2 9 6)( BP ………… 13 分 答：甲获得优惠券面额大于 0 元的概率为 3 2 ，乙获得优惠券金额不低于 20 元的概 率为 3 2 . 17. （本小题满分 14 分） 证明：(Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形，所以 AB=BC 又 60ABC   ，所以 AB=BC=AC， ……………1 分 又 M 为 BC 中点，所以 BC AM …………… 2 分 而 PA  平面 ABCD， BC  平面 ABCD,所以 PA BC …………… 4 分 又 PA AM A ，所以 BC  平面 AMN …………… 5 分 （II）因为 1 1 33 12 2 2AMCS AM CM       …………… 6 分 又 PA  底面 ,ABCD 2,PA  所以 1AN  所以，三棱锥 N AMC 的体积 3 1V AMCS AN  ………… 8 分 1 3 313 2 6     ………… 9 分 (III)存在 …………… 10 分 取 PD 中点 E，连结 NE，EC,AE, 因为 N，E 分别为 PA，PD 中点，所以 ADNE 2 1// …………… 11 分 又在菱形 ABCD 中， 1/ / 2CM AD 所以 MCNE// ，即 MCEN 是平行四边形 …………… 12 分 所以， ECNM // ， 又 EC 平面 ACE ， NM 平面 ACE 所以 MN // 平面 ACE ， …………… 13 分 即在 PD 上存在一点 E，使得 / /NM 平面 ACE ， 此时 1 22PE PD  . …………… 14 分 18. （本小题满分 14 分） 解：（I）因为 (1) 0, (1) 0f g  ， 所以点 )0,1( 同时在函数 )(),( xgxf 的图象上 …………… 1 分 因为 xaxgxxf ln)(,1)( 2  ， '( ) 2f x x ， ……………3 分 '( ) ag x x  ……………5 分 由已知，得 )1(')1(' gf  ，所以 2 1 a ，即 2a  ……………6 分 （II）因为 xaxxgxfxF ln21)(2)()( 2  （ )0x ……………7 分 所以 x ax x axxF )(222)(' 2  ……………8 分 当 0a 时， 因为 0x ，且 ,02  ax 所以 0)(' xF 对 0x 恒成立， 所以 )(xF 在 ),0(  上单调递增， )(xF 无极值 ……………10 分； 当 0a 时， 令 0)(' xF ，解得 1 2,x a x a   （舍） ……………11 分 所以当 0x  时， '( ), ( )F x F x 的变化情况如下表： x ),0( a a ( , )a  )(' xF  0 + )(xF  极小 值  ……………13 分 所以当 ax  时， ( )F x 取得极小值，且 aaaaaaaF ln1ln21)()( 2  . ……………14 分 综上，当 0a 时，函数 )(xF 在 ),0(  上无极值； 当 0a 时，函数 ( )F x 在 ax  处取得极小值 aaa ln1 . 19. （本小题满分 13 分） 解：（I）设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 1,( 0)x y a ba b     ，由题意可得 2 1 a ce , 又 222 cba  ，所以 22 4 3 ab  ……………2 分 因为椭圆 C 经过（1， 3 2 ），代入椭圆方程有 1 4 3 4 9 1 2 2  aa 解得 2a ……………4 分 所以 1c  ， 2 4 1 3b    故椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  . ……………5 分 （Ⅱ）解法一： 当直线l x 轴时，计算得到： 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B   ， 1 1 1 3| | | | 1 32 2 2AOBS AB OF        ，不符合题意. ……………6 分 当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为： ( 1)y k x  , 0k 由 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ，消去 y ，得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     …………7 分 显然 0  成立，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 2 1 2 2 8 ,3 4 kx x k     2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k    ……………8 分 又 2 21 22 21 2 21 2 21 )()()()(|| xxyyxxAB  2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 1 ( ) 4k x x k x x x x          4 2 2 2 2 2 64 4(4 12)1 (3 4 ) 3 4 k kk k k     ……………9 分 即 2 2 2 2 2 12 1 12( 1)| | 1 3 4 3 4 k kAB k k k       又圆 O 的半径 2 2 | 0 0 | | | 1 1 k k kr k k       ……………10 分 所以 2 2 2 22 1 1 12( 1) | | 6 | | 1 6 2| |2 2 3 4 3 4 71AOB k k k kS AB r k kk            ……………11 分 化简，得 4 217 18 0k k   ，即 2 2( 1)(17 18) 0k k   ， 解得 2 2 1 2 181, 17k k   （舍） ……………12 分 所以， 2 | | 2 21 kr k    ，故圆O 的方程为： 2 2 1 2x y  . ……………13 分 （Ⅱ）解法二： 设直线l 的方程为 1x ty  ， 由 2 2 1 14 3 x ty x y     ，消去 x，得 2 2(4 3 ) 6 9 0t y ty    ……………7 分 因为 0  恒成立，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 1 22 2 6 9,4 3 4 3 ty y y yt t       ……………8 分 所以 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4y y y y y y     2 2 2 2 36 36 (4 3 ) 4 3 t t t    2 2 12 1 4 3 t t   ……………9 分 所以 2 1 1 2 2 1 6 1 6 2| | | |2 4 3 7AOB tS FO y y t       化简得到 4 218 17 0t t   ，即 0)1)(1718( 22  tt ， 解得 2 1 1,t  2 2 17 18t   （舍） …………11 分 又圆O 的半径为 2 2 | 0 0 1| 1 1 1 tr t t       ……………12 分 所以 2 1 2 21 r t    ，故圆O 的方程为： 2 2 1 2x y  ……………13 分. 20.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 1 1a  ，所以 2 11 2 3a a   ， 3 1 1 522 2a a   ， 4 21 2 7a a   , 5 2 1 1322 2a a   …………3 分 （Ⅱ）由题意，对于任意的正整数 n ， 12 1nnb a   ， 所以 1 2 1nnb a   …………4 分 又 12 2 2 2 1 (2 1) 1 2( 1) 2n n n na a a b       所以 1 2n nb b  …………6 分 又 1 11 12 1 1 2b a a     …………7 分 所以 nb 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 2n nb  …………8 分 （III）存在. 事实上，对任意的 *2,m k N  ，在数列{ }na 中， 2 , 2 1, 2 2, 2 2 1....,m m m m ma a a a    这连续的 2m 项就构成一个等差数列 ……10 分 我们先来证明： “对任意的 *2,n n N  ， 1 *(0,2 ),nk k N  ，有 12 2 1 2n n k ka      ” 由（II）得 12 1 2n n nb a    ，所以 12 2 1n na    . 当 k 为奇数时， 1 1 2 12 2 1 2 22 1 12 22 2n n n kk ka a a           当 k 为偶数时， 1 1 22 2 2 22 1 2 1 2n n n kk ka a a         记 1 , ,2 1, ,2 k k k k k      为偶数 为奇数 因此要证 12 2 1 2n n k ka      ，只需证明 2 1 1 1 2 2 1 2n n k ka       ， 其中 2 * 1 1(0,2 ),nk k N  (这是因为若 2 1 1 1 2 2 1 2n n k ka       ，则当 2 1 1  kk 时，则 k 一定是奇数， 有 1 1 2 12 2 1 2 22 1 12 22 2n n n kk ka a a           = 212)2 2 1 12(22 1)212(22 1 111 k k k nnn     ； 当 21 kk  时，则 k 一定是偶数，有 1 1 22 2 2 22 1 2 1 2n n n kk ka a a         = 212)2 212(21)212(21 111 k k k nnn   ) 如此递推，要证 2 1 1 1 2 2 1 2n n k ka       ， 只要证明 3 2 2 2 2 2 1 2n n k ka       ， 其中 1 1 2 1 1 , ,2 1, ,2 k k k k k      为偶数 为奇数 ， 3 * 2 2(0,2 ),nk k N  如此递推下去， 我们只需证明 1 2 2 2 2 2 1 2n n k ka       ， 1 * 2 2(0,2 ),n nk k N   即 1 2 2 1 1 1 52 1 32 2 2a        ，即 3 5 2a  ，由（I）可得， 所以对 *2,n n N  ， 1 *(0,2 ),nk k N  ，有 12 2 1 2n n k ka      ， 对任意的 *2,m m N  ， 1 2 2 1 2m m i ia      ， 1 2 1 12 1 2m m i ia       ，其中 *),12,0( Nii m  ， 所以 2 1 2 1 2m mi ia a     又 12 1 2  m ma ， 2 112 1 12    m ma ，所以 2 1 2 1 2m ma a    所以 2 , 2 1, 2 2, 2 2 1....,m m m m ma a a a    这连续的 2m 项， 是首项为 1 2 2 1m ma   ，公差为 1 2  的等差数列 . …………13 分 说明：当 12 mm  （其中 * * 1 1 22, ,m m N m N   ）时， 因为 12222122 22222 ,...,,,  mmmmm aaaa 构成一个项数为 22m 的等差数列，所以从这个数 列中任取连续的 12m 项，也是一个项数为 12m ，公差为 1 2  的等差数列.