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结束
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h x g x h x f x
是 否
试卷类型：A
2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（文科）
2010．4
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无
效.
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案
无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集 1,2,3,4,5U ，集合 2,3,4A ， 2,5B ，则 ( )UB A ð =
A. 5 B. 1 2 5，， C. 1 2 3 4 5，，，， D.
2. 已知 i 为虚数单位，若复数 2 1 1a a i 为实数，则实数 a 的值为
A． 1 B． 0 C．1 D． 1 或1
3. 在长为 3m 的线段 AB 上任取一点 P , 则点 P 与线段两
端点 A 、 B 的距离都大于 1m 的概率是
A. 1
4 B. 1
3
C. 1
2 D. 2
3
4. 如图 1 的算法流程图, 若 32 ,xf x g x x ,
则 2h 的值为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ” 或“：=”)
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 图 1
5. 命题“若 ,x y 都是偶数，则 x y 也是偶数”的逆否命题是
A．若 x y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
6. 设变量 ,x y 满足约束条件
2,
,
2.
x
y x
x y
则目标函数 2z x y 的最小值为
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
7. 若 0x 且 1x xa b , 则下列不等式成立的是
A. 0 1b a B. 0 1a b C. 1 b a D. 1 a b
8. 函数 cos sin4 4f x x x
1
2
是
A. 最小正周期为 2 的偶函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 2 的奇函数 D. 最小正周期为 的奇函数
9. 高8 m 和 4 m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上, 且相距10 m , 则地面上观察两旗杆顶端
仰角相等的点的轨迹为
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 已知函数 sinf x x x ,若 1 2, ,2 2x x
且 1 2 0f x f x ,则下列不等式中
正确的是
A. 1 2x x B. 1 2x x C. 1 2 0x x D. 1 2 0x x
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
（一）必做题（11～13 题）
11．已知向量 a ,b 满足 1a , b =2, a b 1 , 则 a 与 b 的夹角大小是 .
12. 已知双曲线C :
2 2
2 2 1 0 0x y a ,ba b
的离心率 2e , 且它的
一个顶点到相应焦点的距离为1, 则双曲线 C 的方程为 .
13.图 2 是一个有 n 层 2n 的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,
第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点 ,…,第 n 层每边有 n 个点,
则这个点阵的点数共有 个. 图 2
图3
P
B C
D
A
O
（二）选做题（14~ 15 题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为 1 ,
4 2 .
x t
y t
(参数t R),
圆C 的参数方程为 2cos 2,
2sin .
x
y
(参数 0,2 ),
则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图 3, 半径为 5 的圆O 的两条弦
AD 和 BC 相交于点 P , ,OD BC P 为 AD 的中点,
6BC , 则弦 AD 的长度为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16. （本小题满分 12 分）
已知 5 1sin , 0, ,tan5 2 3
.
(1) 求 tan 的值;
(2) 求 tan 2 的值.
17. （本小题满分 12 分）
某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩（满分 100
分）如下表所示：
若单科成绩 85 分以上（含 85 分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的 2×2 列联表(单位:人)：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合 计 20
（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有
关系？
（3）若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门
不优秀的概率.
参考数据:
1 假设有两个分类变量 X 和Y ,它们的值域分别为 1 2,x x 和 1 2,y y ,其样本频数列联表(称
为 2 2 列联表)为:
则随机变量
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d 为样本容量；
②独立检验随机变量 2K 的临界值参考表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83
物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86
1y 2y 合计
1x a b a b
2x c d c d
合计 a c b d a b c d
2
0P K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18. （本小题满分 14 分）
在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, 11, 2AB BC AA ,
点 M 是 BC 的中点,点 N 是 1AA 的中点.
(1) 求证: //MN 平面 1ACD ;
(2) 过 , ,N C D 三点的平面把长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 截成
两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.
19. （本小题满分 14 分）
我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.
某市用水收费标准是：水费 基本费 超额费 定额损耗费,且有如下三条规定：
① 若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元；
② 若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；
③ 每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元.
(1) 求每户每月水费 y （元）与月用水量 x （立方米）的函数关系；
(2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份 用水量（立方米） 水费（元）
一 4 17
二 5 23
三 2.5 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求 m,n,a 的值.
20. （本小题满分 14 分）
已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点 2F 与抛物线 2
2 : 4C y x 的焦点重合，
椭圆 1C 与抛物线 2C 在第一象限的交点为 P ， 2
5| | 3PF .圆 3C 的圆心T 是抛物线 2C 上的动点,
圆 3C 与 y 轴交于 ,M N 两点，且| | 4MN .
（1）求椭圆 1C 的方程；
（2）证明:无论点T 运动到何处,圆 3C 恒经过椭圆 1C 上一定点.
21. （本小题满分 14 分）
已知数列 na 和 nb 满足 1 1a b ,且对任意 nN * 都有 1n na b , 1
21
n n
n n
a b
a a
.
(1) 判断数列 1
na
是否为等差数列, 并说明理由;
(2) 证明: 11 1n n
n na b .
2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C C B D A C
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，
满分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题．
11．
3
12.
2
2 13
yx 13. 23 3 1n n 14. 8 5
5 15. 2 5
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分 12 分）
(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识, 考查化归与转化的数学思想方法
和运算求解能力)
(1) 解:∵ 5sin , 0, ,5 2
∴ 2 1 2 5cos 1 sin 1 5 5
. …2 分
∴
5
sin 15tan cos 22 5
5
. …4 分
(2)解法 1:∵ 1tan 3
,
∴ 2
2tantan 2 1 tan
…6 分
2
12 3
11 3
3
4
. …8 分
∴ tan tan 2tan 2 1 tan tan 2
…10 分
1 3
2 4
1 31 2 4
2 . …12 分
解法 2: ∵ 1tan 3
,
∴ tan tantan 1 tan tan
…6 分
1 1
2 3
1 11 2 3
1 . …8 分
∴
tan tantan 2 1 tan tan
…10 分
11 3
11 1 3
2 . …12 分
17．（本小题满分 12 分）
(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，
以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
（1）解：2×2 列联表为(单位:人):
…4 分
（2）解：提出假设 0H ：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.
根据列联表可以求得
2
2 12 1 2
14 7
20 (5 ) 8.802 7.879136K
. …6 分
当 0H 成立时， 2( 7.879) 0.005P K .
所以我们有 99.5% 的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. …8 分
（3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为 5 人，
则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为 15 人. …10 分
故从 20 名学生中抽出 1 名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为 15 3
20 4
. …12 分
18. （本小题满分 14 分）
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，
以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
（1）证法 1：设点 P 为 AD 的中点，连接 ,MP NP .
∵ 点 M 是 BC 的中点,
∴ //MP CD .
∵ CD 平面 1ACD , MP 平面 1ACD ,
∴ //MP 平面 1ACD . …2 分
∵ 点 N 是 1AA 的中点,
∴ 1//NP A D .
∵ 1A D 平面 1ACD , NP 平面 1ACD ,
∴ //NP 平面 1ACD . …4 分
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计
物理成绩优秀 5 2 7
物理成绩不优秀 1 12 13
合 计 6 14 20
∵ MP NP P , MP 平面 MNP , NP 平面 MNP ,
∴ 平面 //MNP 平面 1ACD .
∵ MN 平面 MNP ,
∴ //MN 平面 1ACD . …6 分
证法 2: 连接 AM 并延长 AM 与 DC 的延长线交于点 P , 连接 1A P ,
∵ 点 M 是 BC 的中点,
∴ BM MC .
∵ BMA CMP , 90MBA MCP ,
∴ Rt MBA Rt MCP . …2 分
∴ AM MP .
∵ 点 N 是 1AA 的中点,
∴ 1MN // A P . …4 分
∵ 1A P 平面 1ACD , MN 平面 1ACD ,
∴ //MN 平面 1ACD . …6 分
(2) 解: 取 1BB 的中点Q , 连接 NQ ,CQ ,
∵ 点 N 是 1AA 的中点,
∴ //NQ AB .
∵ //AB CD ,
∴ //NQ CD .
∴ 过 , ,N C D 三点的平面 NQCD 把长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 截成两部分几何体,
其中一部分几何体为直三棱柱QBC NAD , 另一部分几何体为直四棱柱 1 1 1 1B QCC A NDD . …8 分
∴ 1 1 11 12 2 2QBCS QB BC ,
∴ 直三棱柱QBC NAD 的体积 1
1
2QBCV S AB , …10 分
∵ 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积 1 1 2V 2 ,
∴直四棱柱 1 1 1 1B QCC A NDD 体积 2 1
3
2V V V . …12 分
∴ 1
2
V
V
1
2
3
2
1
3
.
∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为 1
3
. …14 分
(说明: 2
1
3V
V
也给分)
19．（本小题满分 14 分）
(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象
概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
（1）解：依题意，得
9 0
9
a, x m,y n x m a, x m.
其中 0 5a . …2 分
（2）解：∵ 0 5a ，
∴ 9 9 14a .
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元，故用水量 4 立方米，5 立方米都大于
最低限量 m 立方米. …4 分
将 4
17
x ,
y
和 5
23
x ,
y
分别代入 ，
得
17 9 4 ,
23 9 5 .
n m a
n m a
…6 分
两式相减, 得 6n .
代入 17 9 4n m a, 得 6 16a m . …8 分
又三月份用水量为 2.5 立方米，
若 2 5m . ，将 2 5
11
x . ,
y
代入 ，得 6 13a m ，
这与 6 16a m 矛盾. …10 分
∴ 2 5m . ，即该家庭三月份用水量 2.5 立方米没有超最低限量.
将 2.5,
11
x
y
代入 ，得11 9 a ，
由 6 16
11 9
a m ,
a.
解得 2
3
a ,
m .
…13 分
答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，
且 3 6 2m ,n ,a . …14 分
20．（本小题满分 14 分）
(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数
与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
（1）解法 1：∵抛物线 2
2 : 4C y x 的焦点坐标为 (1,0) ， …1 分
∴点 2F 的坐标为 (1,0) .
∴椭圆 1C 的左焦点 1F 的坐标为 1( 1,0)F ，抛物线 2C 的准线方程为 1x .
设点 P 的坐标为 1 1( , )x y ，由抛物线的定义可知 2 1 1PF x ,
∵ 2
5
3PF ,
∴ 1
51 3x ，解得 1
2
3x .
由 2
1 1
84 3y x ，且 1 0y ,得 1
2 63y .
∴点 P 的坐标为 2 2 63 3,
. …3 分
在椭圆 1C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
中， 1c .
2 2 2 2
1 2
2 2 2 22 | | | | ( 1) ( 6 0) ( 1) ( 6 0) 43 3 3 3a PF PF .
∴ 2 22, 3a b a c .
∴椭圆 1C 的方程为
2 2
14 3
x y . …6 分
解法 2：∵抛物线 2
2 : 4C y x 的焦点坐标为 (1,0) ， …1 分
∴点 2F 的坐标为 (1,0) .
∴ 抛物线 2C 的准线方程为 1x .
设点 P 的坐标为 1 1( , )x y ，由抛物线的定义可知 2 1 1PF x ,
∵ 2
5
3PF ,
∴ 1
51 3x ，解得 1
2
3x .
由 2
1 1
84 3y x ，且 1 0y 得 1
2 63y .
∴点 P 的坐标为 2 2( , 6)3 3
. …3 分
在椭圆 1C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
中， 1c .
由 2 2 2
2 2
1
4 24 1
9 9
c ,
a b c ,
.
a b
解得 2, 3a b .
∴椭圆 1C 的方程为
2 2
14 3
x y . …6 分
（2）证法 1: 设点T 的坐标为 0 0( , )x y ,圆 3C 的半径为 r ，
∵ 圆 3C 与 y 轴交于 ,M N 两点，且| | 4MN ,
∴ 2 2
0| | 2 4MN r x .
∴ 2
04r x .
∴圆 3C 的方程为 2 2 2
0 0 0( ) ( ) 4x x y y x . …8 分
∵ 点T 是抛物线 2
2 : 4C y x 上的动点,
∴ 2
0 04y x ( 0 0x ).
∴ 2
0 0
1
4x y .
把 2
0 0
1
4x y 代入 消去 0x 整理得: 2 2 2
0 0(1 ) 2 ( ) 02 4x y yy x y . …10 分
方程 对任意实数 0y 恒成立，
∴
2 2
1 0,2
2 0,
4 0.
x
y
x y
解得 2,
0.
x
y
…12 分
∵点 (2,0) 在椭圆 1C :
2 2
14 3
x y 上,
∴无论点T 运动到何处,圆 3C 恒经过椭圆 1C 上一定点 2, 0 . …14 分
证法 2: 设点T 的坐标为 0 0( , )x y ,圆 3C 的半径为 r ，
∵ 点T 是抛物线 2
2 : 4C y x 上的动点,
∴ 2
0 04y x ( 0 0x ). …7 分
∵ 圆 3C 与 y 轴交于 ,M N 两点，且| | 4MN ,
∴ 2 2
0| | 2 4MN r x .
∴ 2
04r x .
∴ 圆 3C 的方程为 2 2 2
0 0 0( ) ( ) 4x x y y x . …9 分
令 0 0x ,则 2
0 04y x 0 ,得 0 0y .
此时圆 3C 的方程为 2 2 4x y . …10 分
由
2 2
2 2
4,
1,4 3
x y
x y
解得 2,
0.
x
y
∴圆 3C : 2 2 4x y 与椭圆 1C 的两个交点为 2, 0 、 2, 0 . …12 分
分别把点 2, 0 、 2, 0 代入方程 进行检验，
可知点 2, 0 恒符合方程 ，点 2, 0 不恒符合方程 .
∴无论点T 运动到何处,圆 3C 恒经过椭圆 1C 上一定点 2, 0 . …14 分
21．（本小题满分 14 分）
(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括
能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1) 解: 数列 1
na
为等差数列. …1 分
理由如下:
∵对任意 nN * 都有 1n na b , 1
21
n n
n n
a b
a a
,
∴ 1
2 2
1 1
1 1 1
n n n
n n n n
a b a
a a a a
.
∴
1
1 1 1
n na a
,即
1
1 1 1
n na a
. …3 分
∴数列 1
na
是首项为
1
1
a
,公差为 1 的等差数列. …4 分
(2) 证明: ∵ 1 1a b , 且 1 1 1a b ,
∴ 1 1a b 1
2
.
由(1)知 1 2 1 1
n
n na
.
∴ 1
1na n
, 1 1n n
nb a n
. …6 分
所证不等式 11 1n n
n na b ,即
111 11 1
n nn
n n
,
也即证明
11 11 11
n n
n n
.
令 ln 11
xf x xx
,
则 '
2
1 ln
( 1)
x xxf x x
.
再令 1 lnxg x xx
,
则 '
2
1 1g x xx
2
1 x
x
. …8 分
当 1x 时, ' 0g x ,
∴函数 g x 在 1, 上单调递减.
∴当 1x 时, 1 0g x g ,即 1 ln 0x xx
.
∴当 1x 时, '
2
1 ln
( 1)
x xxf x x
0 .
∴函数 ln
1
xf x x
在 1, 上单调递减. …10 分
∵ 1 11 1 11n n
,
∴ 1 11 11f fn n
.
∴
1 1ln 1 ln 11
1 11 1 1 11
n n
n n
. …12 分
∴
11 1ln 1 ln 11
n n
n n
.
∴
11 11 11
n n
n n
.
∴ 11 1n n
n na b 成立. …14 分
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