试卷类型：A
2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
2010．4
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条
形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使
用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、
错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
如果事件 A 、 B 互斥，那么 P A B P A P B .
如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P A B P A P B .
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
nP k C 1 n kk k
n p p 0,1,2, ,k n .
两数立方差公式: 3 3 2 2a b a b a ab b .
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知 i 为虚数单位，若复数 1 1a a i 为实数，则实数 a 的值为
A． 1 B． 0 C．1 D．不确定
2. 已知全集U A B 中有 m 个元素， ( ) ( )U UA B 中有 n 个元素．若 A BI 非空，
则 A BI 的元素个数为
A． mn B． m n C． m n D． n m
3. 已知向量 a sin ,cosx x ,向量 b 1, 3 ,则 a b 的最大值为
A. 1 B. 3 C.3 D.9
开始
输入 x
输出 h x
结束
f x g x
h x g x h x f x
是 否
4. 若 ,m n 是互不相同的空间直线, 是平面, 则下列命题中正确的是
A. 若 // ,m n n ,则 //m B. 若 // , //m n n ,则 //m
C. 若 // ,m n n ,则 m D. 若 ,m n n ,则 m
5. 在如图 1 所示的算法流程图, 若 32 ,xf x g x x ,
则 2h 的值为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ” 或“：=”)
A. 9 B. 8
C. 6 D. 4
6. 已知点 ,P x y 的坐标满足
1 0,
3 0,
2.
x y
x y
x
O 为坐标原点, 则 PO 的最小值为
A. 2
2
B. 3 2
2
图 1
C. 5 D. 13
7. 已知函数 sinf x x x , 若 1 2, ,2 2x x
且 1 2f x f x , 则下列不等式中正确的是
A. 1 2x x B. 1 2x x C. 1 2 0x x D. 2 2
1 2x x
8. 一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿,
汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻 t 的速度为 v t t 米/秒,
那么, 此人
A. 可在 7 秒内追上汽车 B. 可在 9 秒内追上汽车
C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 14 米 D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 7 米
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9～13 题）
9．若函数 cos cos 02f x x x
的最小正周期为 ,则 的值为 .
图3
P
B C
D
A
O
10. 已知椭圆C 的离心率 3
2e , 且它的焦点与双曲线 2 22 4x y 的焦点重合, 则椭圆C 的方
程为 .
11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 、 ，其分布列分别为：
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 .
12.图 2 是一个有 n 层 2n 的六边形点阵.它的中心是一个点,
算作第一层, 第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点 ,…,
第 n 层每边有 n 个点, 则这个点阵的点数共有 个.
13. 已知 2 n
x x
的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56︰3,
则该展开式中 2x 的系数为 . 图 2
（二）选做题（14~ 15 题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为 1 ,
4 2 .
x t
y t
(参数t R),
圆C 的参数方程为 2cos 2,
2sin .
x
y
(参数 0,2 ),
则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图 3, 半径为 5 的圆O 的两条弦
AD 和 BC 相交于点 P , ,OD BC P 为 AD 的中点,
6BC , 则弦 AD 的长度为 .
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16. （本小题满分 12 分）
已知 1tan 2,tan4 2
.
(1) 求 tan 的值; (2) 求
sin 2sin cos
2sin sin cos
的值.
D
B
C
A E
P
B
CA
17. （本小题满分 12 分）
如图 4, 在直角梯形 ABCD 中, 90 , 30 , 1,ABC DAB CAB BC AD CD ,
把△ DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示(点 D 记为点 P ), 点 P 在平面 ABC 上的正投影
E 落在线段 AB 上, 连接 PB .
(1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小;
(2) 求二面角 P AC B 的大小的余弦值.
图 4 图 5
18.（本小题满分 14 分）
一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离飞碟的距离 s (米)
成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 s (米)与飞行时间t (秒)满足 15 1 0 4s t t ,
每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个
飞碟飞出 0.5 秒时进行第一次射击, 命中的概率为 4
5 , 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射
击后 0.5 秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.
(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟
的概率;
(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;
(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个
飞碟的概率.
19. （本小题满分 14 分）
已知抛物线C : 2 2x py 0p 的焦点为 F , A 、 B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的
不同两点，抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线分别为 1l 、 2l ，且 1 2l l ， 1l 与 2l 相交于点 D .
(1) 求点 D 的纵坐标；
(2) 证明： A 、 B 、 F 三点共线；
(3) 假设点 D 的坐标为 3 , 12
，问是否存在经过 A 、 B 两点且与 1l 、 2l 都相切的圆，
若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分 14 分）
已知函数 3 2f x x x ax b ( a,bR)的一个极值点为 1x .方程 2 0ax x b 的两个
实根为 , , 函数 f x 在区间 , 上是单调的.
(1) 求 a 的值和b 的取值范围;
(2) 若 1 2, ,x x , 证明: 1 2 1f x f x .
21. （本小题满分 14 分）
已知数列 na 和 nb 满足 1 1a b ,且对任意 nN * 都有 1n na b , 1
21
n n
n n
a b
a a
.
(1) 求数列 na 和 nb 的通项公式;
(2) 证明: 3 1 32 4 1 2
2 3 4 1 1 2 3
ln 1n n
n n
a a a aa a a anb b b b b b b b
.
2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评
分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分
正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C B B D D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题
5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题．
9．1 10.
2 2
18 2
x y 11. 乙 12. 23 3 1n n 13. 180
14． 8 5
5 15. 2 5
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分 12 分）
(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求
解能力)
（1）解法 1：∵ tan 24
，
∴
tan tan4 2
1 tan tan4
. …2 分
∴1 tan 21 tan
.
解得 1tan 3
. …4 分
解法 2：∵ tan 24
，
∴ tan tan 4 4
tan tan4 4
1 tan tan4 4
…2 分
2 1
1 2 1
1
3
. …4 分
（2）解:
sin 2sin cos
2sin sin cos
sin cos cos sin 2sin cos
2sin sin cos cos sin sin
…6 分
cos sin sin cos
cos cos sin sin
sin
cos
…8 分
tan
tan tan
1 tan tan
…10 分
1 1
2 3
1 11 2 3
1
7
. …12 分
17. （本小题满分 12 分）
(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，
以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
方法一:
(1) 解:在图 4 中,
∵ 90 , 30 , 1,ABC DAB CAB BC
D
B
C
A
∴ 1 3tan30 3
3
BCAB , 1 21sin30
2
BCAC , 60DAC .
∵ AD CD ,
∴△ DAC 为等边三角形.
∴ 2AD CD AC . …2 分
在图 5 中,
∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的正投影,
∴ PE 平面 ABC .
∵ BC 平面 ABC ,
∴ PE BC .
∵ 90CBA , 图 4
∴ BC AB .
∵ ,PE AB E PE 平面 PAB , AB 平面 PAB ,
∴ BC 平面 PAB .
∴ CPB 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角. …4 分
在 Rt△CBP 中, 1, 2BC PC DC ,
∴ 1sin 2
BCCPB PC
.
∵ 0 90CPB ,
∴ 30CPB .
∴直线 PC 与平面 PAB 所成的角为30 . …6 分
(2) 解:取 AC 的中点 F , 连接 PF , EF .
∵ PA PC ,
∴ PF AC .
∵ PE 平面 ABC , AC 平面 ABC ,
∴ PE AC .
∵ , PF PE P PF 平面 PEF , PE 平面 PEF ,
D
B
C
A
∴ AC 平面 PEF .
∵ EF 平面 PEF ,
∴ EF AC .
∴ PFE 为二面角 P AC B 的平面角. …8 分
在 Rt△ EFA 中, 1 1 302
AF AC , FAE ,
∴ EF AF tan30 3
3
, 2 2 2 3
3
AE EF AF .
在 Rt△ PFA 中, 2 2 2 22 1 3 PF PA AF .
在 Rt△ PEF 中，
3
13cos 33
EFPFE PF
.
∴二面角 P AC B 的大小的余弦值为 1
3 . …12 分
方法二:
解:在图 4 中,
∵ 90 , 30 , 1,ABC DAB CAB BC
∴ 1 3tan30 3
3
BCAB , 1 21sin30
2
BCAC , 60DAC .
∵ AD CD ,
∴△ DAC 为等边三角形.
∴ 2AD CD AC . …2 分
在图 5 中,
∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的射影,
∴ PE 平面 ABC .
∵ BC 平面 ABC ,
∴ PE BC .
∵ 90CBA , 图 4
∴ BC AB .
∵ ,PE AB E PE 平面 PAB , AB 平面 PAB ,
∴ BC 平面 PAB . …4 分
连接 EC ,
在 Rt△ PEA 和 Rt△ PEC 中, 2,PA PC PE PE ,
∴Rt△ PEA Rt△ PEC .
∴ EA EC .
∴ 30ECA EAC .
∴ 60CEB .
在 Rt△CBE 中， 1 3
tan 60 33
BCEB .
∴ 2 3
3AE AB EB .
在 Rt△ PEA 中， 2 2PE PA AE 2 6
3
. …6 分
以点 E 为原点, EB 所在直线为 x 轴,与 BC 平行的直线为 y 轴, EP 所在直线为 z 轴,建立空
间直角坐标系 E xyz ,则 0,0,0E , 2 3 ,0,03A
, 3 ,0,03B
, 3 ,1,03C
,
2 60,0, 3P
.
∴ 0,1,0BC , 2 60,0, 3EP
, 3,1,0AC , 3 2 6,1,3 3PC
.
(1)∵ cos , BC PCBC PC
BC PC
1
2
,
∴ , 30BC PC .
∴ 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为30 . …9 分
(2) 设平面 PAC 的法向量为 n , ,x y z ,
由 0,
0.
n AC
n PC
得
3 0,
3 2 6 03 3
x y
x y z
.
令 1x , 得 3y , 2
2
z .
∴n 21, 3, 2
为平面 PAC 的一个法向量.
∵ 2 60,0, 3EP
为平面 ABC 的一个法向量,
∴ cos ,
n EP
n EP
n EP
1
3
.
∵二面角 P AC B 的平面角为锐角,
∴二面角 P AC B 的平面角的余弦值为 1
3 . …12 分
18. （本小题满分 14 分）
(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理
能力、运算求解能力和应用意识)
(1)解:依题意设 (kp ks
为常数 ) ,由于 15 1 0 4s t t ,
∴ 0 415 1
kp tt
. …2 分
当 0.5t 时, 1
4
5p , 则
4
5 15 0.5 1
k ,解得 18k .
∴ 18 6 0 415 1 5 1p tt t
. …4 分
当 1t 时, 2
6 3
5 2 5p .
∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为 3
5 . …6 分
(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事
件 B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件： A AB . …7 分
∵ 4 3,5 5P A P B ，
∴ P A AB P A P A P B
4 4 3 2315 5 5 25
.
∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为 23
25
. …10 分
(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为 , 则 233 25B ,
.
∴至少命中两个飞碟的概率为 2 3P P P …12 分
C 2 2
3 1p p + C 3 3
3 p
2 323 2 233 25 25 25
15341
15625 . …14 分
19. （本小题满分 14 分）
(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与
方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)
(1) 解:设点 A 、 B 的坐标分别为 1 1,x y 、 2 2,x y ，
∵ 1l 、 2l 分别是抛物线C 在点 A 、 B 处的切线，
∴直线 1l 的斜率
1
' 1
1 x x
xk y p ，直线 2l 的斜率
2
' 2
2 x x
xk y p .
∵ 1 2l l ,
∴ 1 2 1k k , 得 2
1 2x x p . ① …2 分
∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,
∴
2 2
1 2
1 2, .2 2
x xy yp p
∴ 直线 1l 的方程为
2
1 1
12
x xy x xp p
,直线 2l 的方程为
2
2 2
22
x xy x xp p
.
由
2
1 1
1
2
2 2
2
,2
,2
x xy x xp p
x xy x xp p
解得
1 2 ,2
.2
x xx
py
∴点 D 的纵坐标为
2
p . …4 分
(2) 证法 1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0, 2
pF
.
∴ 直线 AF 的斜率为
2
1
2 21
1
1 1 1
2 22
0 2AF
x ppy x ppk x x px
，
直线 BF 的斜率为
2
2
2 22
2
2 2 2
2 22
0 2BF
x ppy x ppk x x px
.
∵
2 2 2 2
1 2
1 22 2AF BF
x p x pk k px px
…6 分
2 2 2 2
2 1 1 2
1 22
x x p x x p
px x
2
1 2 1 2 1 2
1 22
x x x x p x x
px x
2 2
1 2 1 2
1 22
p x x p x x
px x
0 .
∴ AF BFk k .
∴ A 、 B 、 F 三点共线. …8 分
证法 2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0, 2
pF
.
∴
2 2 2
1 1
1 1, ,2 2 2
x p xpAF x xp p
，
2 2 2
2 2
2 2, ,2 2 2
x p xpBF x xp p
.
∵
2 2
1
2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2
2
2
p x
p x x x x xp
p x p x x x x x
p
, …6 分
∴ //AF BF
.
∴ A 、 B 、 F 三点共线. …8 分
证法 3：设线段 AB 的中点为 E , 则 E 的坐标为 1 2 1 2,2 2
x x y y
.
抛物线C 的准线为 : 2
pl y .
作 1 1,AA l BB l , 垂足分别为 1 1,A B .
∵ 由(1)知点 D 的坐标为 1 2 ,2 2
x x p
,
∴ DE l .
∴ DE 是直角梯形 1 1AA B B 的中位线.
∴ 1 1
1
2DE AA BB . …6 分
根据抛物线的定义得: 1 1,AA AF BB BF ,
∴ 1 1
1 1
2 2DE AA BB AF BF .
∵ AD DB , E 为线段 AB 的中点,
∴ 1
2DE AB .
∴ 1 1
2 2AB AF BF ,即 AB AF BF .
∴ A 、 B 、 F 三点共线. …8 分
(3)解: 不存在. 证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为 M ，
依题意得 ,MA AD MB BD ，且 MA MB ，
由 1 2l l ，得 AD BD .
∴ 四边形 MADB 是正方形.
∴ AD BD . …10 分
∵点 D 的坐标为 3 , 12
，
∴ 12
p ,得 2p .
把点 D 3 , 12
的坐标代入直线 1l , 得
2
1 1
1
31 4 2 2
x x x
解得 1 4x 或 1 1x ,
∴点 A 的坐标为 4,4 或 11, 4
.
同理可求得点 B 的坐标为 4,4 或 11, 4
.
由于 A 、 B 是抛物线 C 上的不同两点，不妨令 11, 4A
, 4,4B .
∴
2 23 1 1251 12 4 16AD
,
2
23 1254 4 12 4BD
. …13 分
∴ AD BD , 这与 AD BD 矛盾.
∴经过 A 、 B 两点且与 1l 、 2l 都相切的圆不存在. …14 分
20. （本小题满分 14 分）
(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学
思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1) 解:∵ 3 2f x x x ax b ,
∴ ' 23 2f x x x a .
∵ 3 2f x x x ax b 的一个极值点为 1x ,
∴ ' 21 3 1 2 1 0f a .
∴ 1a . …2 分
∴ ' 23 2 1 3 1 1f x x x x x ,
当 1
3x 时, ' 0f x ;当 1 13 x 时, ' 0f x ;当 1x 时, ' 0f x ;
∴函数 f x 在 1, 3
上单调递增, 在 1 ,13
上单调递减,在 1, 上单调递增.
∵方程 2 0ax x b 的两个实根为 , , 即 2 0x x b 的两根为 , ,
∴ 1 1 4 1 1 4,2 2
b b .
∴ 1, b , 1 4b . …4 分
∵ 函数 f x 在区间 , 上是单调的,
∴区间 , 只能是区间 1, 3
, 1 ,13
, 1, 之一的子区间.
由于 1, ,故 1, ,13
.
若 0 ,则 1 ,与 1 矛盾.
∴ , 0,1 .
∴方程 2 0x x b 的两根 , 都在区间 0,1 上. …6 分
令 2g x x x b , g x 的对称轴为 1 0,12x ,
则
0 0,
1 0,
1 4 0.
g b
g b
b
解得 1 04 b .
∴实数 b 的取值范围为 1 ,04
. …8 分
说明:6 分至 8 分的得分点也可以用下面的方法.
∵ 1 1 4 1 1 1 4 1,2 2 2 2
b b 且函数 f x 在区间 , 上是单调的,
∴ 1, ,13
.
由
1 ,3
1,
1 4 0.b
即
1 1 4 1 ,2 3
1 1 4 1,2
1 4 0.
b
b
b
…6 分
解得 1 04 b .
∴实数 b 的取值范围为 1 ,04
. …8 分
(2)证明:由(1)可知函数 f x 在区间 , 上单调递减,
∴函数 f x 在区间 , 上的最大值为 f , 最小值为 f .
∵ 1 2, ,x x ,
∴ 1 2f x f x f f
3 2 3 2b b
3 3 2 2
2 1
1 4 1b b
1 4 1b b . …10 分
令 1 4t b , 则 21 14b t , 1 4 1b b 31 54 t t .
设 31 54h t t t , 则 ' 21 5 34h t t .
∵ 1 04 b ,
∴ 0 1t .
∴ ' 21 5 34h t t 0 .
∴函数 31 54h t t t 在 0,1 上单调递增. …12 分
∴ 1 1h t h .
∴ 1 2 1f x f x . …14 分
21. （本小题满分 14 分）
(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思
想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:∵对任意 nN * 都有 1n na b , 1
21
n n
n n
a b
a a
,
∴ 1
2 2
1 1
1 1 1
n n n
n n n n
a b a
a a a a
.
∴
1
1 1 1
n na a
,即
1
1 1 1
n na a
. …2 分
∴数列 1
na
是首项为
1
1
a
,公差为 1 的等差数列.
∵ 1 1a b , 且 1 1 1a b ,
∴ 1 1a b 1
2
.
∴ 1 2 1 1
n
n na
. …4 分
∴ 1
1na n
, 1 1n n
nb a n
. …6 分
(2)证明: ∵ 1
1na n
,
1n
nb n
, ∴ 1n
n
a
b n
.
∴所证不等式 3 1 32 4 1 2
2 3 4 1 1 2 3
ln 1n n
n n
a a a aa a a anb b b b b b b b
,
即 1 1 1 1 1 1 1ln 1 12 3 4 1 2 3nn n
.
① 先证右边不等式: 1 1 1ln 1 1 2 3n n
.
令 ln 1f x x x , 则 ' 1 11 1
xf x x x
.
当 0x 时, ' 0f x ,
所以函数 f x 在 0, 上单调递减.
∴当 0x 时, 0 0f x f , 即 ln 1 x x . …8 分
分别取 1 1 11, , , ,2 3x n
.
得 1 1 1 1 1 1ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 12 3 2 3n n
.
即 1 1 1 1 1 1ln 1 1 1 1 1 12 3 2 3n n
.
也即 3 4 1 1 1 1ln 2 12 3 2 3
n
n n
.
即 1 1 1ln 1 1 2 3n n
. …10 分
② 再证左边不等式: 1 1 1 1 ln 12 3 4 1 nn
.
令 ln 1 1
xf x x x
, 则
'
2 2
1 1
1 1 1
xf x x x x
.
当 0x 时, ' 0f x ,
所以函数 f x 在 0, 上单调递增.
∴当 0x 时, 0 0f x f , 即 ln 1 1
xx x
. …12 分
分别取 1 1 11, , , ,2 3x n
.
得 1 1 1 1 1 1ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 12 3 2 3 1n n
.
即 1 1 1ln 1 1 1 1 12 3 n
1 1 1
2 3 1 n
.
也即 3 4 1 1 1 1ln 2 2 3 2 3 1
n
n n
. 即 1 1 1ln 1 2 3 1n n
.
∴ 3 1 32 4 1 2
2 3 4 1 1 2 3
ln 1n n
n n
a a a aa a a anb b b b b b b b
. …14 分
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