试卷类型：A
2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数 学(文科)
2010．4
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字
笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在
答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后．用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错
涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 10 小题．每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中．只
有一项是符合题目要求的
l．设全集 1,2,3,4,5U ，集合 2,3,4A ， 2,5B ，则 UB A ð
A． 5 B． 1,2,5 C． 1,2,3,4,5, D．
2．已知 i 为虚数单位，若复数 2( 1) ( 1)a a i 为实数，则实数 a 的值为
A． 1 B．0 C． 1 D． 1 或 1
3．在长为 3m 的线段 AB 上任取一点 P ，则点 P 与线段两端点 A 、 B 的距离都大于 1m 的概
率是
A． 1
4 B． 1
3
C． 1
2 D． 2
3
4．在如图 1 所示的算法流程图中，若 ( ) 2xf x ，
2g x x ，则 2h 的值为
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ”或“=”)
A．9 B．8
C．6 D．4
5．命题“若 x ， y 都是偶数，则 x y 也是偶数”的逆否命题是
A．若 x y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
6．设变量 x ， y 满足约束条件
2,
,
2
x
y x
x y
则目标函数 2z x y 的最小值为
A．6 B．4 C．3 D．2
7．若 0x 且 1x xa b ，则下列不等式成立的是
A． 0 1b a B． 0 1a b C．1 b a D．1 a b
8．函数 1cos sin4 4 2f x x x
是
A．最小正周期为 2 的偶函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 2 的奇函数 D．最小正周期为 的奇函数
9．高 8m 和 4m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距 10m，则地面上观察两旗杆顶端
仰角相等的点的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．已知函数 sinf x x x ，若 1 2, [ , ]2 2x x 且 1 2 0f x f x ，则下列不等式中
正确的是
A． 1 2x x B． 1 2x x C． 1 2 0x x D． 1 2 0x x
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分
(一) 必做题 (11~13 题)
11．已知向量 a ，b 满足 1a ， 2b ， 1a b ，则 a 与b 的夹角大小是 ．
12．已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的离心率 2e ，且它的一个顶点到相应焦点
的距离为 1，则双曲线C 的方程为 ．
13．图 2 是一个有 n 层 ( 2)n 的六边形点阵．它的中心是一个点，算作
第一层，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，…，第 n 层
每边有 n 个点，则这个点阵的点数共有 个．
则该展开式中 2x 的系数为 ．
(二) 选做题 (14~15 题．考生只能从中选做一题)
14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为 1
4 2
x t
y t
(参数t R )，
圆C 的参数方程为 2cos 2
2sin
x
y
(参数 [0,2 ] )，
则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．
15．(几何证明选讲选做题) 如图 3，半径为 5 的圆O 的两条弦
AD 和 BC 相 交 于 点 P ， OD BC ， P 为 AD 的 中 点 ，
6BC ，则弦 AD 的长度为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分 12 分)
已知 5sin 5
， 1tan 3
．
(1) 求 tan 值；
(2) 求 tan 2 的值．
17．(本小题满分 12 分)
某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20
名学生某次考试成绩（满分 100 分）如下表所示：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数 学 成
绩
95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83
物 理 成
绩
90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86
若单科成绩 85 分以上（含 85 分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的 22 列联表（单位：人）：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合 计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合 计 20
（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之
间有关系？
（3）若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少
有一门不优秀的概率．
参考数据：
①假设有两个分类变量 X 和Y ，它们的值域分别为 1 2,x x 和 1 2,y y ，其样本频数列联表
（称为 22 列联表）为：
1y 2y 合计
1x a b a b
2x c d c d
合计 a c b d a b c d
则随机变量
2
2
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d 为样本容量；
②独立检验随机变量 2K 的临界值参考表：
2P K ok 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
ok 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．(本小题满分 14 分)
在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC ， 1 2AA ，
点 M 是 BC 的中点．点 N 和 1AA 的中点．
(1) 求证： //MN 平面 1ACD ；
(2) 过 N ，C ，D 三点的平面把长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 截成
两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．
19．(本小题满分 14 分)
我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．且有如下三条规定：
① 若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a
元；
② 若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米
付 n 元的超额费；
③ 每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元
(1) 求每户每月水费 y (元) 与月用水量 x (立方米) 的函数关系；
(2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份 用水量（立方米） 水费（元）
一 4 17
二 5 23
三 2.5 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求 m ，n ，a 的值．
20．(本小题满分 14 分)
已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的右焦点 2F 与抛物线 2C ： 2 4y x 的焦点重合，
椭圆 1C 与抛物线 2C 在第一象限的交点为 P ， 2
5
3PF ．圆 3C 的圆心T 是抛物线 2C 上
的动点，圆 3C 与 y 轴交于 M ， N 两点，且 4MN ．
(1) 求椭圆 1C 的方程；
(2) 证明：无论点T 运动到何处，圆 3C 恒经过椭圆 1C 上一定点．
21．(本小题满分 14 分)
已知数列 na 和 nb 满足 1 1a b ，且对任意 *n N 都有 1n na b ， 2
1
1
n n
n n
a b
a a
.
(1) 判断数列 1
na
是否为等差数列，并说明理由；
(2) 证明： 11 1n n
n na b ．
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