广州二模数学试题理

试卷类型：A 2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(理科) 2010．4 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字 笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后．用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅 笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错 涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件 A 、 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   ． 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  ． 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好投生 k 次的概率 ( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k n nP k C p p k n    ． 两数立方差公式： 3 3 2 2( ) ( )a b a b a ab b     ． 一、选择题：本大题共 8 小题．每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中．只有 一项是符合题目要求的 l．已知 i 为虚数单位，若复数 ( 1) ( 1)a a   i 为实数，则实数 a 的值为 A．  1 B．0 C． 1 D．不确定 2．已知全集U A B  中有 m 个元素，   U UA A 中有 n 个元索，若 A B 非空，则 A B 的元素个数为 A． mn B． m n C． m n D． n m 3．已知向量  sin ,cosa x x ，向量  1, 3b  ，则 a b 的最大值为 A．1 B． 3 C．3 D．9 4．若 m ， n 是互不相同的空问直线， 是平面，则下列命题中正确的是 A．若 //m n ， n  ，则 //m  B．若 //m n ， //n  ，则 //m  C．若 //m n ， n  ，则 m  D．若 m n ， n  ，则 m  5．在如图 1 所示的算法流程图中，若 ( ) 2xf x  ，   2g x x ，则  2h 的值为 (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“  ”或“=”) A．9 B．8 C．6 D．4 6．已知点  ,p x y 的坐标满足 1 0, 3 0, 2 x y x y x          O 为坐标原电，则 PO 的最小值为 A． 2 2 B． 3 2 2 C． 5 D． 13 7．已知函数   sinf x x x ，若 1 2, [ , ]2 2x x    且    1 2f x f x ，则下列不等式中正确的是 A． 1 2x x B． 1 2x x C． 1 2 0x x  D． 2 2 1 2x x 8．一个人以 6 米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红 变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻 t 的速度为  v t t 米／秒。那么，此人 A．可在 7 秒内追上汽车 B．可在 9 秒内追上汽车 C．不能追上汽车，但其间最近距离为 14 米 D．不能追上汽车，但其间最近距离为 7 米 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 (一) 必做题 (9~13 题) 9．若函数 ( ) cos( ) cos( ) ( >0)2f x x x    的最小正周期为 ，则 m 的值为 ． 10．已知椭圆C 的离心率 3 2e  ，且它的焦点与双曲线 2 22 4x y  的焦点重台，则椭圆C 的方程为 ． 11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 、 ，其分布列分别为：  0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 ． 12．图 2 是一个有 n 层 ( 2)n  的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 第一层．第 2 层每边有 2 个点．第 3 层每边有 3 个点，…，第 n 层 每边有 n 个点，则这个点阵的点数共有 个． 13．已知 2 n x x     的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56：3， 则该展开式中 2x 的系数为 ． (二) 选做题 (14~15 题．考生只能从中选做一题) 14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为 1 4 2 x t y t      (参数t R )， 圆C 的参数方程为 2cos 2 2sin x y       (参数 [0,2 ]  )， 则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ． 15．(几何证明选讲选做题) 如图 3，半径为 5 的圆O 的两条弦 AD 和 BC 相交于点 P ， OD BC ， P 为 AD 的中点， 6BC  ，则弦 AD 的长度为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分 12 分) 已知 tan 24       ， 1tan 2   ． (1) 求 tan 值； (2) 求 sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( )             的值． 17．(本小题满分 12 分) 如图 4，在直角梯形 ABCD 中， 90ABC DAB    °． 30CAB  °， 1BC  ， 把 DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示 (点 D 记为点 P )．点 P 在平面 ABC 上的正投 影 E 落在线段 AB 上，连接 PB ． (1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小； (2) 求二面角 P AC B  的大小的余弦值．  0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 18．(本小题满分 14 分) 一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离飞碟的距离 s (米) 成反比．每一个 飞碟飞出后离运动员的距离 s (米) 与飞行时间 t ( 秒)满足 15( 1) (0 4)s t t    ，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再 进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为 4 5 ， 当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后 0.5 秒进行第二次射击，子弹的飞行时间 忽略不计． (1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中 飞碟的概率； (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率； (3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中 两个飞碟的概率 19．(本小题满分 14 分) 已知抛物线C ： 2 2 ( 0)x py p  的焦点为 F ， A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点 A 、B 处的切线分别为 1l 、 2l ，且 1 2l l ， 1l 与 2l 相交于点 D ． (1) 求点 D 的纵坐标； (2) 证明： A 、 B 、 F 三点共线； (3) 假设点 D 的坐标为 3 , 12     ，问是否存在经过 A 、B 两点且与 1l 、 2l 都相切的圆，若 存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分 14 分) 已知函数   3 2 ( , )f x x x ax b a b R     的一个极值点为 1x  .方程 2 0ax x b   的两个实根为 ，     ，函数  f x 在区间[ , ]  上是单调的 (1) 求 n 的值和b 的取值范围； (2) 若 1x ， 2 [ , ]x   证明：    1 2 1f x f x  ． 21．(本小题满分 14 分) 已知数列 na 和 nb 满足 1 1a b ，且对任意 n N °都有 1n na b  ， 2 1 1 n n n n a b a a    . (1) 求数列 na 和 nb 的通项公式； (2) 证明： 3 1 32 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 ... 1 (1 ) ...n n n n a a a aa a a an nb b b b b b b b              ．