第一讲 方阵问题（一）
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数
与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做
方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里
一层，每边上的人数就少 2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）
数。
例 1：有一条公路长 900 米，在公路的一侧从头到尾每隔 10 米
栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分
成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的
段数多 1。
解：以 10米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）
练习与作业
1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行 11 人，共 11 行的
方阵。这个方阵里有多少同学？
2. 用棋子排成一个 6×6 的正方形，共需用棋子多少枚？
3. 有 1764 棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。
这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4. 576 人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
5. 棋子若干只，恰好可以排成每边 6 只的正方形，棋子的总数是多
少？棋子最外层有多少？
6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装 25盏，
四周共装彩灯多少盏？
第二讲 方阵问题（二）
例 3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为 60人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么
整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有 16人，此方阵中共有 256 人。
例 4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围
棋子 14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2个。知道最外面
一层每边放 14个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每
边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
练习与作业
1. 有 16 个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站 1 人，
如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？
2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽 1 棵树，如果每边栽 6棵，
四边一共栽多少棵树？
3. 有 100 个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个
正方形队。这个正方形四周站了多少个少先队员？
4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖 1 根，一
共竖 28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？
5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包
括四个角上都安装 1 盏），四周一共安装多少盏灯？
第三讲 巧求周长（一）
我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方
形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多边形
的周长转化为求长方形和正方形的周长。
例 1：如图 13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？
分析：要求这个多边形的周长，也就是求线段 AB＋BC＋CD＋DE
＋EF+FA 的和是多少，而在这六条线段中，只有 AB和 BC 这两条线段
的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边
形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图
13—2所示，这个大正方形是 ABCG.把线段 EF 水平向上移动，移到
CG边上，这样 CD＋EF 的长度正好与 AB的长度相等.同样把竖直方向
上的 DE边向左移动，移到 AG边上，这样 AF＋DE 的长度正好与 BC
边的长度相等.这样虽然 CD、DE、EF、FA 这四条线段的长度不知道，
但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就
转化为求一个正方形的周长。
练习与作业
1. 下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同，
所以它的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。
2. 下图的周长可以看成一个长由＿＿个 1 厘米的小线段组成，
宽由＿＿个 1 厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿＿
＿厘米。
3. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为＿＿厘米。
②周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长 l厘米）。
第四讲 巧求周长（二）
例 2.把长 2厘米宽 1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，
摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？
分析：先观察图 13—3，第一层有一个长方形，第二层有两个长
方形，第三层有三个长方形……找到规律，第十五层有十五个长方形.
同样，用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长
就转化为求一个长为 2×15=30（厘米）、宽为 1×15＝15（厘米）的
长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2
=45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为 90厘米。
练习与作业
1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为多少厘米。
②周长为多少厘米（每条小线段长度都是 1 厘米）？
2. 用 9 个边长为 2 厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为
多少厘米？
4. 街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。
在草坪四周从某顶点开始每 2米种一棵月季花，一共需种＿＿＿棵。
第五讲 逻辑推理初步
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任
何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它
们的过程中却很少用到算术或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关
键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的
判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。
例 1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受
到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我
只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是
真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通
过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
分析与解：题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种
情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题
的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说
“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一
个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。
练习与作业
1. 有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个人有偶数
根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅笔数的 2 倍，他们
俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是＿＿。
2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，
比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学
是＿＿，最矮的同学是＿＿。
3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老
师将照片从 1 到 4 编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学
生回答如下；第一个学生：2 号是桃树，3号是李树；第二个学生：1
号是梨树，2 号是杏树；第三个学生：2 号是桃树，4 号是梨树；第
四个学生：4号是梨树 d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了
一半，那么，1号是＿＿，2 号是＿＿，3 号是＿＿，4 号是＿＿。
第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都
是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有 1 个 5 分币，4 个 2 分币，8 个 1 分币，要拿出 8
分钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按
照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有 7 种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适
当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
练习与作业
1. 用 2、5、8 三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大
的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2. 用 0、l、3、6 可以组成多少个四位数？
3. 有四张卡片分别写有数字 0.l、2、3，从中取出 2 张卡片并
排放在一起，可以组成多少个两位数？
4. 用两个 1、一个 2、一个 3 可以组成种种不同的四位数，这些
四位数一共有多少个？
5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？
第七讲 枚举问题（二）
问题 1.假设有 A、B、C 三个城市，从 A到 C必须经过 B．已知从
A到 B可以坐汽车或坐火车到达，而从 B到 C 则可以坐汽车或坐火车
或坐飞机到达．问：从 A 到 C可以有多少种不同的旅行方式？
分析 从 A 到 C（A→C）可分两个阶段进行：第一阶段，从 A到 B
（A→B）；第二阶段，从 B到 C（B→C），按照第一阶段使用的交通工
具不同可以分为两类：
A→B B→C A→
所以，从 A到 C 共有 2×3＝6 种不同的旅行方式。
上述解法中的图示叫做枝形图（图 44—1），在解不太复杂的计
数问题中很有用。
练习与作业
1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子，从
中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多
少种不同的装束？
2. 从甲地到乙地有 2 条不同的路可走，从乙地到丙地有 4 条不
同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同的路可走？
3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐
飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？
4. 小英从家到学校有三条路可走，从学校到少年之家有四条路
可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？
5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔
为一组，最多可以配成不重复的几组？
第八讲 平均数问题（一）
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如
“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均
数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间
的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。
一、算术平均数
例 1.用 4 个同样的杯子装水，水面高度分别是 4厘米、5 厘米、
7厘米和 8 厘米，这 4个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析：求 4个杯子水面的平均高度，就相当于把 4个杯子里的水
合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）
答：这 4 个杯子水面平均高度是 6 厘米。
练习与作业
1. 机械厂前 3 天平均每天加工零件 1259 只，后 4 天共加工零
件 5379 只，这星期内平均每天加工零件多少只？
2. 修路队 4 天修了两段公路，第一段长 430 米，第二段长 250
米，平均每天修多少米？
3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得 114 分，乙队
得 210 分，丙队得 186 分，丁队得 178 分。四个队的平均成绩是多少
分？
4. 东村小学 38 名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。在路旁
种了 190 棵，在校园内种的棵数是路旁的 3 倍。平均每人种蓖麻多少
棵？
第九讲 平均数问题（二）
二、加权平均数
例 3.果品店把 2 千克酥糖，3千克水果糖，5 千克奶糖混合成什
锦糖.已知酥糖每千克 4.40 元，水果糖每千克 4.20 元，奶糖每千克
7.20 元.问：什锦糖每千克多少元？
分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总
钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）
②什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克）
③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）
答：混合后的什锦糖每千克 5.74 元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例 3中的 5.74
元叫做 4.40 元、4.20 元、7.20 元的加权平均数.2千克、3 千克、5
千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的
作用，所以这样的数叫做“权数”。
练习与作业
1. A、B、C 三人储蓄，A 储了 1240 元，B比 A 少储 70 元，C 比
B多储 50 元。求 A、B、C三人平均储蓄额。
2. 甲、乙二数的平均数是 72，丙是 18。甲、乙、丙三个数的平
均数是多少？
3. 甲、乙的平均数是 30，乙、丙的平均数是 34，甲、丙的平均
数是 32。求甲、乙、而三个数的平均数。
4. 有 A、B、C 三个数，A 与 B 的平均数是 97，B 与 C 的平均数
为 132，A 与 C 的平均数为 125。问：这三个数的平均数是多少？
5. 小刚参加我学考试，前两次的平均分数是 85分，后三次的平
均分数是 90分。小刚前后几次考试的平均分数是多少？
第十讲 消去问题（一）
转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量
关系，有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整，使这些条件重
新组合，解答起来，往往容易一些。
例 1 学校买了 10 盒白粉笔和 4 盘彩粉笔共花了 32 元，每盒彩
粉笔的价钱是白粉笔的 2.5 倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？
分析：依题意，用买 1 盒彩粉笔的钱可以买 2.5 盒白粉笔，那么，
买 4 盒彩粉笔的钱就可以买 4×2.5=10（盒）白粉笔。因此，可以理
解为花 32元买了 10+4×2.5=20（盒）白粉笔，这样，就可以求出 1
盘白粉笔的价格。
解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？
4×2.5=10（盒）
（2）白粉笔每盒多少元？
32÷（10+10）=32÷20=1.6（元）
（3）彩粉笔每盒多少钱？
1.6×2.5=4（元）
答：白粉笔每盒 1.6 元，彩粉笔每盒 4元。
练习与作业
1. 买一块橡皮和 4 支铅笔一共用去 2 角 7 分，买同样的一块橡
皮和 2 支铅笔的价钱是 1 角 5分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？
2. 甲班用 4 元 2角钱买了 4 支铅笔，3支圆珠笔；乙班用 10元
2角钱买了 4支铅笔和 8 支圆珠笔。问：铅笔、圆珠笔的单价各是多
少元？
3. 妈妈买 6 米白布，8 米花布.用去 21 元 3 角钱，王大妈买同
样的白布 6 米，同样的花布 6米，用去 18元钱。问：每米白布和每
米花布各多少钱？
4. 妈妈买 2 千克糖果和 1 千克饼干，共付 7 元 2 角，如果买 1
千克糖果和 2 千克饼干得付 6元，糖果和饼干每千克多少钱？
5. 小明买 6 本《红岩》、5本《新华字典》共用 7元 2 角；小刚
买 5 本《红岩》、6 本《新华宇典》共用 7 元 1 角。《红岩》和《新华
字典》每本售价各多少元？
第十一讲 消去问题（二）
例 1.从图 2-2 中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？
这样想：根据（1）、（2），可推出 1 个梨的重量等于 2 支香蕉的
重量；然后把（3）中的一个梨替换成 2 支香蕉，这样，（3）中就相
当于 1 个菠萝等于 2 个桃子和 3 支香蕉的重量，又回想到（2）中 1
个菠萝等于 4 支香蕉的重量，因此，2 个桃子实际上是 1 支香蕉的重
量，可推得 1 个菠萝等于 8 个桃子的重量。
例 2.1 头象的重量等于 4头牛的重量，1 头牛的重量又等于 3 匹
小马的重量，而 1 匹小马的重量刚好与 4 头小猪的重量相同，那么 1
头象的重量等于几头小猪的重量。
这样想：1匹小马刚好是 4 头小猪的重量，那么 3匹小马等于 12
头小猪的重量，又 1 头牛相当于 3 匹小马的重量，也就是 12头小猪
的重量，因此 4 头牛等于 48 头小猪的重量，也就是 1 头象的重量等
于 48头小猪的重量。
练习与作业
1. 美术小组第一天买了 3 盒彩笔和 1 支毛笔，付款 4 元 4 角 4 分，
第二天又买同样的 5 盒彩笔和 3 支毛笔，付款 7元 9角 6 分。求每盒
彩笔和每支毛笔的价钱？
2. 学校第一次买 3只篮球，4只排球用了 354 元，第二次买 2 只篮球，
3只排球用了 252 元。问：篮球与排球的单价各是多少元？
3. 甲求乙代买 5 千克酒、3 千克酱油，按售价交给乙 6.45 元。乙误
买为 3 千克酒、5千克酱油.结果拿回 2.10 元，问每千克酒、酱油各
多少元？
4. 王老师带了 30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。他买了 3 支钢笔和
5 支圆珠笔后，剩下的钱再买 2 支圆珠笔还差 4 角.再买 2 支钢笔还
差 2 元。每支钢笔多少元？
第十二讲 行程问题（一）
例 1.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两
人都按原定速度行进，那么 4小时相遇；现在两人都比原计划每小时
少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B两地相距多少千米？
分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小
时少走 1千米）仍然走 4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
这段路的长度是多少呢？就是两人 4小时一共比原来少行的路。由于
以现在的速度行走，他们 5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他们
恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。
解：1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间=（相
隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”
这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或
“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，
然后应用上面的关系式。
练习与作业
1. 一列火车平均每小时行用千米，这列火车从甲地到乙地共用
了 4 小时，问：甲、乙两地相距多少千米？
2. 一辆汽车 5 小时行了 280 千米，这辆汽车平均每小时行多少
千米？
3. 小明家到学校 1800 米，小明早晨上学，平均每分钟走 120 米，
问：小明从家到学校一共用多少分钟？
4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行，甲每分钟走 85米，
乙每分钟走 90米,18 分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？
5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行，甲车每小时行 55千米，
乙车每小时行 60千米，4小时后两车相遇。两地相距多少千米？
第十三讲 行程问题（二）
例 2.小王、小张步行的速度分别是每小时 4.8 千米和 5.4 千米。
小李骑车的速度为每小时 10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地，小
李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇 5 分钟后，
小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
分析：为便于分析，画出线段图 36-1：
图中 C 点表示小张与小李相遇地点，D 点表示他们相遇时小王所
在地点。根据题意，小王从 D点、小李从 C点同时出发，相向而行，
经过 5 分钟相遇。因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相
同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时
间为
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说，小张行完 AC这段路（也就是小李行完 CB这段路）用
了 130 分钟，而小李的速度是小张速度的 2（=10.8÷5.4）倍，所以
小李行完 AC这段路只需小张的一半时间（65分）。
练习与作业
1. 东西两地相距 500 千米，甲、乙两车同时从两地相向出发，
甲车每小时行 45千米，乙车每小时行 55千米。甲、乙两车几小时后
才能相遇？
2. 甲站到乙站相距 1100 千米，两列火车同时从两地相向开
出,10 小时相遇，快车每小时行用千米，慢车每小时行多少千米？
3. 甲、乙两人同时从相距 54千米的两地相向而行，甲的速度是
每小时 5千米，乙的速度是每小时 4千米，几个时后两人相遇？
4. 甲、乙两工程队合修一条长 935 米的公路，甲队以每天 45米
的速度由西端往东修，乙队以每天 40 米的速度由东端往西修，6 天
后两队相距多远？此工程共需多少天？
第十四讲 填补不完整的算式
数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.
解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步
简化题目直至问题完全解决.
问题 16.1 在下面这个算式中，不同的文字代表不同的数字，相
同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时，算式才能成立？
分析（1）从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.
因为在 0～9这十个数字中，只有 0+0=0，所以：明=0.即
（2）因为两个最大的一位数相加是 18，只能向高位进 1.因此：
分=1.即
（3）再由“是+是=10”可知：是=5.即
（4）由“1+就=5”可知：就=4.即
（5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即
练习与作业
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